PEP（A）版與IBID版數學教材中平面向量例題難度的比較

濮安山，徐慧敏

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PEP（A）版與IBID版數學教材中平面向量例題難度的比較

濮安山1，徐慧敏2

（1．揚州大學數學科學學院，江蘇揚州 225002；2．江蘇省新海高級中學，江蘇連云港 222000）

運用數學題的綜合難度模型對中國PEP（A）版和澳大利亞IBID版數學教材中向量一章的例題難度進行比較．發現：（1）IBID版教材數學例題綜合難度大于PEP（A）版；（2）在探究、背景、知識含量3個因素上PEP（A）版教材數學例題的難度高于IBID版，而在運算和推理方面IBID版數學例題的難度要高于PEP（A）版；（3）探究因素方面，在識記水平和理解水平上IBID版高于PEP（A）版，但在應用水平和探究水平上PEP（A）版比IBID版高；（4）背景因素方面，兩套教材的例題編排都以無背景題為主，有背景題所占比例極??；（5）在運算因素方面，PEP（A）版教材中無運算、數值運算、簡單符號運算例題所占比例都高于IBID版，而在運算難度最高的復雜符號運算的題量卻比IBID版的要少很多．

教材比較；國際學校；幾何；向量；綜合難度

1 引 言

2003年，教育部修訂高中數學教學大綱，頒布了《普通高中數學課程標準》（實驗稿）．PEP（The People’s Education Press）版數學教材是人民教育出版社根據《普通高中數學課程標準》（實驗稿）編寫的教材，包括A、B兩版，是目前國內用量最大的[1]．IBID版數學高水平教材由澳大利亞IBID出版社出版，被國內國際中學廣為利用[2]．例、習題的配置是數學教材的重要組成部分，一定程度反映了數學教材編寫者的價值取向和編寫風格．所以，比較這兩種教材中的數學問題是很有必要的．

選取人民教育出版社《普通高中數學課程標準實驗教科書（A版）》（2007版）中必修4向量一章內容作為比較對象．之所以選擇向量作為比較對象，一是因為兩種教材中都有，都獨立成章．另外是向量的重要性，向量是近代數學中的重要概念之一，是溝通代數、幾何和三角函數的橋梁，是解決某些數學、物理問題的工具，是數學教材中的重要知識．這里主要運用鮑建生教授“數學課程的綜合難度模型”比較兩種教材向量一章例題的難度，旨在分析編寫者對例題設置的意圖，為平面向量教材的編寫與修訂提供借鑒和參考．

2 研究方法

PEP（A）版教材中平面向量的知識安排在必修4第二章，IBID版數學教材平面向量知識在（Ⅱ）第26章．利用“數學課程的綜合難度模型”，采用文本質性分析和定量刻畫相結合的研究方法．

（1）模型的選擇．選擇了鮑建生教授的“數學課程的綜合難度模型”[3]．

該模型由5個因素構成的五邊形，這5個因素分別是探究、背景、運算、推理、知識含量，其中的每個因素又都細化為不同的層次水平．這里主要考察5個因素上兩種教材例題的水平如何？

（2）題目的選擇．例題是教材編者精心選擇的，在題目的類型、背景、難度、作用等方面都能體現編者的設計意圖．而例題的難度最能反映試題的核心要素，故比較例題的綜合難度，就可以全貌地了解例題的狀況．

PEP（A）版教材向量一章不同類型數學題的數量統計如表1．

表1 PEP（A）版向量各種類型數學題數量統計

IBID版向量一章不同類型數學題的數量統計如表2．

表2 IBID版向量各種類型數學題數量統計

從上述表格可以看出，兩套教材在問題的設置上有著明顯的差異，PEP（A）版教材的問題類型豐富，但相對來說數量較少．而IBID版教材無論是例題的數量還是總數都占著明顯的優勢．問題的數量只能看到表面的現象，要想了解問題的質量還要運用科學的工具對兩套教材問題進行更深層的比較．

以上統計的各種類型數學題中只有以“例”、“Example”形式出現的問題是完整給出題干和分析解答過程的數學題．而出現在教材的“探索”、“思考”、“練習”、“習題”、“Exercises”中的數學題只有題干，沒有解答過程．對于沒有給出完整解答過程的數學題，如果對其做綜合難度分析，會使分析結果帶有研究者的主觀性，降低了研究結果的客觀性．所以只選擇了教材中的例題作為比較對象．具體題目確定為PEP（A）版37個“例”，IBID版53個“Example”．

3 研究結果與分析

3.1 綜合難度

PEP（A）版例題和IBID版例題各難度因素的難度值統計如表3所示．

表3 兩套教材例題難度因素對照

根據兩套教材各難度因素的加權平均值畫出兩套教材的數學題綜合難度五邊形如圖1．

圖1 兩套教材例題綜合難度五邊形

這個五邊形直觀地顯示出：（1）在探究、背景、知識含量3個因素上PEP（A）版教材數學例題的難度高于IBID版，而在運算和推理方面IBID版數學例題的難度要高于PEP（A）．（2）兩套教材的5個因素中，背景因素的難度值相比其他4個因素要小很多，兩套教材都特別注重運算，這是由向量自身的知識結構決定的，教材中大量篇幅介紹了向量的加、減、數乘、數量積、向量積運算，其次才是幾種運算的應用．（3）兩套教材都沒有保持5個因素的平衡性，特別是IBID版教材的綜合難度五邊形向右傾斜的程度要高于PEP（A）版．

探究、背景、運算、推理、知識含量5個因素對應的權重均值分別為1=0.210，2=0.120，3=0.185，4=0.225，5=0.260．PEP（A）版5個因素難度的加權均值為1=2.48，2=1.32，3=2.78，4=2.19，5=2.70，得PEP（A）的綜合難度為2.39．而IBID版5個因素難度的加權均值為=2.23，=1.06，=3.40，=2.30，=2.60，得IBID版的綜合難度為2.45．，即IBID版教材數學題綜合難度大于PEP（A）版數學題綜合難度．

3.2 探 究

PEP（A）版教材的37個例題在探究的4個水平上的表現是：識記水平的占16.22%的題量，理解水平的占24.32%，應用水平的占54.05%，探究水平的占5.41%．IBID版教材的53個例題在探究的4個水平上的表現是：探究水平的占22.64%的題量，理解水平的占32.08%，應用水平的占45.28%，探究水平的占0．（如圖2所示）

圖2 兩套教材探究因素各個水平題量折線圖

從圖2可以看出在識記水平和理解水平上IBID版要求高于PEP（A）版，在應用水平和探究水平上PEP（A）版的要求要比IBID版高，IBID版的數學題并沒有體現探究水平，兩套教材都相當重視數學知識的應用．這也體現了《普通高中數學課程標準》（實驗稿）對于數學課程的要求：“高中數學課程有助于學生認識數學的應用價值，增強應用意識，形成解決簡單實際問題的能力．”[4]

3.3 背 景

PEP（A）版教材的37個例題有86.49%無背景題，2.7%是個人生活背景，2.7%是公共常識背景，8.11%是科學背景題．IBID版教材的53個例題有96.22%是無背景題，1.89%是個人生活背景題，1.89%是公共常識背景題，沒有科學背景的題．4種類型題的比例所成折線圖如圖3．

圖3 兩套教材背景因素各個水平題量折線圖

由圖3可知兩套教材的例題編排都以無背景題為主，有背景題所占比例極?。陨犀F象可能是由高中階段學生數學學習方式決定的，高中階段的學生數學學習方式已經由初中階段的半抽象、半具體轉變為可以依靠完全抽象思維來解決數學問題的程度了．這就使得教材編寫者可以直接抽象出問題的關鍵編寫成數學題，而不需要大量的背景鋪墊來激發學生的學習熱情．PEP（A）版的例題中有8.11%是科學背景的題，這種在例題中滲透科學背景的方式在向量的概念引入時就已體現．而IBID版教材通篇都沒有涉及向量和物理等學科的聯系．PEP（A）版將向量與物理聯系的如此密切印證了《普通高中數學課程標準》（實驗稿）對于數學課程的界定：“高中數學課程是學習高中物理、化學、技術等課程和進一步學習的基礎．”[4]

3.4 運 算

PEP（A）版教材的37個例題有18.92%是無運算例題，8.11%是數值計算得題目，48.65%是簡單符號計算，24.32%是復雜符號．IBID版教材的53個例題有5.66%是無運算例題，39.62%為簡單符號運算，54.72%為復雜符號運算，其中數值運算的題目為0．

4種類型題的比例所成折線圖如圖4．

圖4 兩套教材運算因素各個水平題量折線圖

從圖4可以看出，PEP（A）版教材中無運算、數值運算、簡單符號運算例題所占比例都高于IBID版教材，而在屬于運算難度最高的復雜符號運算的題量卻比IBID版的要少很多．PEP（A）版教材例題的運算水平多數集中在簡單符號運算，而IBID版教材的例題多數集中在復雜符號運算．兩套教材中屬于數值運算的例題所占的比例都比其它3種運算難度要少，這是由向量知識的特殊性決定的，在向量學習中發現，向量的加、減、數乘、數量積運算以及坐標運算是不同于以往的簡單的數值加減乘除等運算的．在向量的加、減、數乘、數量積、坐標運算中雖然有時不涉及字母未知數，但是它們仍然是屬于符號運算的內容．

3.5 推 理

PEP（A）版教材的37個例題有27.03%是無推理例題，27.03%為簡單推理例題，45.94%是復雜推理例題．IBID版教材的53個例題有13.21%為無推理例題，41.51%為簡單推理例題，45.28%為復雜符號推理．

4種類型題的比例所成折線圖如圖5．

可以看出，兩套教材在推理因素的3個難度水平上的題量呈上升趨勢，最高難度的題量最多．PEP（A）版教材的無推理難度的題量約是IBID版教材的兩倍，但在簡單推理難度上，PEP（A）版教材的題量要比IBID版少，在復雜推理難度上PEP（A）版教材的題量略多于IBID版．PEP（A）版教材的無推理和簡單推理兩個水平的題量是相同的．兩套教材都特別重視解題過程中數學推理的應用，推理是數學思維的核心．

3.6 知識含量

PEP（A）版教材的37個例題中單個知識點的例題占21.62%，兩個知識點的占18.92%，3個知識點的占27.03%，4個以上知識點的占32.43%．IBID版教材的53個例題中單個知識點的占11.32%，兩個知識點的占15.09%，3個知識點的占26.42%，4個以上知識點的占47.17%．4種類型題的比例所成折線圖如圖6．

圖6 兩套教材知識因素各個水平題量折線圖

由圖6可知IBID版教材4個難度水平上的題量隨著難度的增加而增多．PEP（A）版教材4個難度水平的題量整體呈上升趨勢，但是兩個知識點的題量比單個知識點的題量要少，IBID版教材的4個以上知識點的題量要比人教版的多很多．

4 結論與啟示

4.1 結 論

對兩套教材給出的數學例題的綜合難度分析后得出以下結論．

（1）IBID版教材數學例題綜合難度大于PEP（A）版．

（2）在探究、背景、知識含量3個因素上PEP（A）版教材數學例題的難度高于IBID版，而在運算和推理方面IBID版數學例題的難度要高于PEP（A）版；兩套教材都沒有保持5個因素平衡性，背景因素的難度值相比其它4個因素要小很多，都特別注重運算．

（3）在探究因素方面，在識記水平和理解水平上IBID版高于PEP（A）版，但在應用水平和探究水平上PEP（A）版要比IBID版高，IBID版的數學題并沒有體現探究水平，兩套教材都非常重視數學知識的應用．

（4）在背景因素方面，兩套教材的例題編排都以無背景題為主，有背景題所占比例極?。?/p>

（5）在運算因素方面．PEP（A）版教材中無運算、數值運算、簡單符號運算例題所占比例都高于IBID版教材，而在運算難度最高的復雜符號運算的題量卻比IBID版的要少很多；PEP（A）版教材例題的運算水平多數集中在簡單符號運算，而IBID版教材的例題多數集中在復雜符號運算．

（6）在推理因素方面．例題量呈上升趨勢，最高難度的題量最多；PEP（A）版教材的無推理難度的題量約是IBID版教材的兩倍，但在簡單推理難度上，PEP（A）版教材的題量要比IBID版少，在復雜推理難度上PEP（A）版教材的題量略多于IBID版．PEP（A）版教材的無推理和簡單推理兩個水平的題量是相同的．

（7）在知識含量因素方面．IBID版教材各個水平上的題量隨著難度的增加而增多，而PEP（A）版教材4個難度水平的題量整體呈上升趨勢，但兩個知識點的題量比單個知識點的題量要少，IBID版教材的4個以上知識點的題量要比人教版的多很多．

4.2 啟 示

（1）例題的選擇應把綜合性和特殊性相結合．

研究表明，兩套教材都沒有保持5個因素平衡性，背景因素的難度值相比其它4個因素要小很多，都特別注重運算．所以，例題的選擇和編制應與數學內容緊密結合，充分考慮其特殊性．如向量概念的引入，在5個因素中要特別注重背景知識，把背景嵌入到例題中，增強學生對向量作用的認識．

（2）適當加強例題的運算和推理難度．

研究表明，在探究、背景、知識含量3個因素上PEP（A）版教材數學例題的難度高于IBID版，而在運算和推理方面IBID版數學例題的難度要高于PEP（A）版．運算和推理是數學證明的基礎和重要組成要素，運算和推理的難度也一定程度決定了數學問題的證明難度．可能考慮到PEP（A）版教材的應用范圍廣，要適用于不同省份、不同地區、不同文化背景、不同水平學生的適應性，是可以理解的．建議在原有例、習題的基礎上增加一些選作題，在推理與運算的難度上有所增加，用*號加以標注，給學有余力的學生選作．

（3）要注重數學的應用性．

數學應用的廣泛性是數學學科一個重要特征．數學教育家弗萊登塔爾很強調學生數學學習要關注數學的現實化．閱讀荷蘭的中小學數學教材的例、習題的選擇和編制可以看出，他們特別注重數學與現實世界的聯系，強調問題的現實背景，學生通過數學問題的解決，感覺到數學在現實中有原型，能體會到數學的作用和學習數學的意義．

研究表明，在背景因素方面，兩套教材的例題編排都以無背景題為主，有背景題所占比例極?。谛乱惠啍祵W課程改革中，中小學數學課程都特別突出了數學應用性理念，高中數學教材中也增加了數學建模的課程．但在實際的數學教學中，例、習題的背景因素和應用性常常被忽略．建議中國中小學數學教材的編寫者參考荷蘭的數學教材，結合中國的具體實情編制出有一定現實背景、突出數學現實應用的例、習題．

[1] 人民教育出版社．普通高中數學課程標準實驗教科書必修（4）[M]．北京：人民教育出版社，2007．

[2] Nigel Buckle, Iain Dunbar.[M]. Published by IBID Press, 2004.

[3] 鮑建生．中英兩國初中數學課程綜合難度的比較研究[D]．華東師范大學，2002．

[4] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（實驗稿）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

Comparison about Difficulty of Examples of Plane Vector between the PEP (A) Version and the IBDP Version

PU An-shan1, XU Hui-min2

(1. College of Mathematics Sciences, Yangzhou University, Jiangsu Yangzhou 225002, China;2. Xinhai Senior High School in Jiangsu, Jiangsu Lianyungang 222000, China)

Comparing the difficulty of examples about plane vector in PEP (A) version and IBIDversion mathematics textbook by means of math comprehensive difficulty model. It is found that (1) mathematics problem in IBID version is more difficult than PEP (A) version for the general difficulty of Mathematics; (2) For the three factors of exploration, background, and knowledge content, the difficulty of textbook in the PEP (A) version is higher than it in the IBID version, whereas the performance of difficulty is opposite; (3) In terms of inquiry factors between two sets of textbook: the requirements of IBID in memorizing level and understanding level are higher than that of the PEP (A) version, but the requirements of PEP (A) version in the application level and exploration are higher than IBID; (4) In terms of background factors between two sets of textbook: the most typical problems in the two sets of textbooks are no background layout, problems with background occupies a very small proportion; (5) In terms of operational factors between two sets of textbook: the examples problems in PEP (A) version of the textbook without operation, numerical computation, simple symbolic computation have higher proportion than IBID, but the quantities of problems with the most difficult operation and complex symbolic computation is less than IBID.

textbook comparison; international school; geometry vetor; mathematical difficulty

[責任編校：周學智]

G423.3

A

1004–9894（2016）03–0010–04

2016–01–19

江蘇高校品牌專業建設工程資助項目——數學與應用數學（PPZY2015B109）；2015年江蘇省研究生教育教學改革研究與實踐課題——全日制教育碩士研究生教育實習的研究——以學科教學（數學）為例（JGLX15_160）

濮安山（1964—），男，黑龍江安達人，教授，博士，碩士生導師，主要從事數學課程與教學研究．