多項式的問題特征對合并同類項遷移的影響

張令偉，連四清，王 晨

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多項式的問題特征對合并同類項遷移的影響

張令偉1，連四清1，王 晨2

（1．首都師范大學數學科學學院，北京 100048；2．北京市第八中學，北京 100032）

多項式的合并同類項測試結果表明：正負號個數與字母個數對合并同類項的遷移成績都有極其顯著的影響，同類項間距離影響不顯著；正負號個數與字母個數對合并同類項的交互效應極其顯著．對能否完成合并同類項遷移的分析結果表明：正負號個數的變化與字母個數的多少對是否能在合并同類項中進行遷移有影響，而同類項間距離影響較小．

遷移；工作記憶；認知負荷

1 問題提出

通過比較源問題獲得靶問題解決方法或途徑，是學生學習數學知識和方法的基本心理機制，甚至被認為是解決新問題的唯一方法[1]．已有研究對源問題和靶問題的表面內容的相似程度（如，對源問題和靶問題有不同事件情節、不同事件類型和不同對象對應[2~4]的相似）對原理（源問題和靶問題在原理相同情況與原理不同情況[5]下的相似）的理解、領悟和運用做了較為深入的實驗研究．然而大部分研究主要關注樣例（即源問題與靶問題）的相似程度對遷移的影響，而且研究采用的測試材料主要是概率計算和代數應用題．采用的概率計算和代數應用題的表征形式多數是文字信息．

數學信息有文字、符號和圖形3種表征形式，不同的數學問題在表征形式上具有較為明顯的差異．如，多數情況下，概率計算、代數應用題為文字表征，文字信息在抽取數學關系時易受到無關信息的干擾，因而對其問題信息的認知具有較大認知負荷，從而影響源問題解決途徑或方法的遷移．

自從提出樣例設計要堅持減輕學生的工作記憶負擔或認知負荷，研究者就逐漸開始關注單個樣例設計中文字、符號、圖形等多種信息源設計的合理性．在樣例學習過程中，如果多重信息源的教學材料設計的不合理，將會分散學生的注意力從而增加認知負荷，產生“分散注意效應”，影響學生通過樣例獲得表征該領域知識的基本概念和圖式[6]．其中，文本和圖解的信息整合是一種視覺因素的整合，整合材料的視聽表征可能提高問題解決的成績和促進問題解決的遷移．Sweller[7]通過一系列實驗說明了這一假設．結果發現：視聽信息的整合促進了問題解決遷移的成績[8]．通過Sweller的一系列實驗表明圖形和符號表征的信息對遷移有影響．

從已有的研究可以看出，在數學學科知識領域中，樣例學習和呈現方式的研究涉及的知識主要是概率計算、相等關系理解和代數應用題．這些知識多以文字信息形式呈現，而對于多重信息源的數學知識對遷移的影響研究還比較少．數學學科領域的多重信息源呈現形式的知識對遷移影響與Sweller的實驗結果是否一致，研究較少．代數中的多項式的知識呈現包含了文字、圖形和符號等多種信息形式．為了研究多重信息源呈現形式的數學學科知識對遷移的影響，研究者以初中代數的多項式為實驗材料，擬通過研究，探索多項式的問題特征對合并同類項的遷移的影響，從而為教師在多項式合并同類項教學中，選擇樣例呈現方式提供實驗依據．

2 研究過程

選擇北京市某中學的初一兩個班的學生作為被試，兩個班均為普通班，共61名學生．被試在實驗前均沒有學習過多項式合并同類項知識．

采用“4×2×2”三因素被試內設計．這里4表示負號個數，賦值為0、1、2、3；第一個2表示同類項間距離，賦值為0、1；第二個2表示字母個數，即每個單項式中含兩個字母與含3個字母．負號個數、同類項間距離和字母個數均為被試內變量．研究變量為遷移成績．

實驗材料包括學習材料和測試材料．學習材料由3道合并同類項的例題和合并同類項法則組成．學習材料中的例題和法則由任課教師講授．測試材料由16道測試題組成，按多項式中負號個數分別為0、1、2、3個，同類項間距離為距離等于0或1，字母個數為每個單項式中含2個字母與含3個字母編寫測試題，每一類有一道測試題．在測試材料試卷上沒有給出所學合并同類項的法則．為了消除題目的順序影響，測試材料采用拉丁方設計，共16套測試問卷．

首先讓任課教師講解合并同類項例題和法則，被試在教師指導下學習十分鐘學習材料，接著給被試發放測試材料，然后讀指導語：“根據剛才學習的3道例題和法則，解答測試卷上的16道練習題，練習題完成的時間是15分鐘．”15分鐘后統一收回測試卷．

按滿分6分的評分標準對被試答卷進行評分，答案完全不正確即不能遷移記0分；能找到同類項的記2分，能把同類項前面系數提出的記4分，能正確算出結果的記6分．

3 研究結果

對合并同類項問題解決遷移成績進行描述性統計，結果如表1所示．從表1可以看出：與同類項間距離相比較而言，正負號個數和字母個數對合并同類項問題解決遷移成績有一定的影響．對于字母個數為兩個，在同類項間距為0與1情況下，正負號個數的4個水平的遷移成績平均分從高到低依次是：水平1>水平3>水平2>水平4；對于字母個數為3個，在同類項間距為0與1的情況下，正負號個數的4個水平的遷移成績平均分從高到低依次是：水平1>水平3>水平4>水平2．對合并同類項問題解決遷移成績進行4×2×2重復測量方差分析，結果如表2所示．

表1 初中一年級合并同類項遷移成績表

注：表中1、2、3、4分別表示正負號的水平1、水平2、水平3、水平4，也就是對應多項式中分別含有負號個數為0、1、2、3；1、2分別表示同類項間距為0、1；1、2分別表示多項式中每個單項式含有字母個數為2、3

表2 初中一年級合并同類項遷移成績方差統計表

表2數據表明：正負號個數的主效應極其顯著（=207.566，=0.000），這說明正負號個數因素對遷移成績影響極其顯著；正負號個數的4個水平的遷移成績平均分從高到低依次是：水平1（5.520?5）>水平3（4.582?0）>水平2（2.147?5）>水平4（2.114?8）；水平2與水平4對遷移成績影響沒有顯著差異（=0.052，=0.821）．同類項間距離的主效應不顯著（=1.267，=0.265>0.05），這說明同類項間距離因素對遷移成績影響不顯著．字母個數的主效應極其顯著（=20.747，=0.000），這說明字母個數因素對遷移成績影響極其顯著．正負號個數×同類項間距離交互效應不顯著（=0.013，=0.911>0.05），這說明正負號個數主效應不存在同類項間距離差異．正負號個數×字母個數交互效應極其顯著（=54.055，=0.000），這說明正負號個數主效應存在字母個數差異．同類項間距離×字母個數交互效應不顯著（=0.010，=0.919>0.05），這說明同類項間距離主效應不存在字母個數上的差異．正負號個數×同類項間距離×字母個數三因素交互作用不顯著（=0.295，=0.589>0.05），這說明正負號個數×同類項間距離交互效應不存在字母個數差異．

進一步對正負號個數因素在字母個數的兩個水平上做簡單效應檢驗，結果顯示：在字母個數為2水平上=301.014，=0.000<0.05；在字母個數為3水平上=38.718，=0.000<0.05．這說明對于字母個數為2與字母個數為3來說，正負號個數因素對合并同類項問題解決的遷移成績都有極其顯著的影響．字母個數為2與字母個數為3相比較而言，正負號個數因素對遷移成績的影響不一致；在字母個數為2的水平上，正負號個數的4個水平的遷移成績平均分從高到低依次是：水平1（5.697?0）>水平3（4.926?9）>水平2（1.2259）>水平4（0.819?7），在字母個數為3的水平上，正負號個數的4個水平的遷移成績平均分從高到低依次是：水平1（5.344?3）>水平3（4.237?7）>水平4（3.409?8）>水平2（3.065?6）．正負號個數×字母個數交互作用如圖1所示．

注：在圖1中C1表示多項式中每個單項式含有字母個數為2，C2表示多項式中每個單項式含有字母個數為3

4 分析與討論

實驗的基本設想是：正負號個數對合并同類項遷移成績有影響，正負號的個數不同對遷移成績的影響不同；同類項間距離對合并同類項遷移成績有影響，不同的同類項間距離對遷移成績有不同影響；字母個數對合并同類項遷移成績也有影響，且不同的字母個數對遷移成績也會有不同的影響．

4.1 正負號個數對合并同類項遷移的影響

結果表明正負號個數的主效應極其顯著，這說明正負號個數因素對合并同類項遷移成績影響極其顯著．這一結果與預期基本一致．結果說明，不同的正負號個數影響合并同類項的問題解決．其原因一方面可能是：學生先前的負數概念和正負數的加減運算法則不熟悉，導致合并同類項的步驟和結果錯誤，這是由于負數參與的運算（減法）要比正數的加法運算復雜的多，相對于減法運算來說，個體在計算加法運算時更傾向于使用提取策略[8]，而負數的負號具有符號和減法運算兩個作用；另一方面可能是：在每個多項式中含有的4個單項式的系數正負情況中，除第一項系數均是正數外，其余三項系數的正負情況復雜（+++、++-、+-+、+--、-++、-+-、--+、---），在學生判斷哪些單項式為同類項過程中，正負號個數干擾了這種判斷．正負號個數的4個水平的遷移成績平均分從高到低依次是：水平1>水平3>水平2>水平4；水平2與水平4對合并同類項的遷移成績影響沒有顯著差異．這與長度效應理論基本一致，長度效應理論認為問題解決的信息越多，問題解決的長度越長，越容易引起錯誤[9]．在正負號個數的4個水平下的16道測題中，4個單項式系數分別為四正、三正一負、兩正兩負、一正三負，4個正數合并同類項沒有給學生增加正負符號的認知負荷，因此4個正數合并同類項遷移成績最好；相對于系數為4個正數而言，系數為兩正兩負的多項式增加了學生的工作記憶負荷，因此遷移成績低于系數為4個正數的遷移成績；而系數為三正一負和一正三負的問題長度幾乎一樣，都比系數為兩正兩負的問題的長度長，導致學生在判斷哪些項是同類項以及合并同類項過程中，工作記憶負荷增加，因此遷移成績最低．

4.2 同類項間距離對合并同類項遷移的影響

與預期有些不同的是，對于先前沒有學習合并同類型的學生來說，同類項間距離的主效應不顯著，也就是說同類項間距離因素對遷移成績影響不顯著．這說明同類項相鄰或者有間距對判斷哪些單項式是同類項以及合并同類項都沒有顯著影響．這與Sweller的注意分散效應和Mayer的空間臨近效應不太一致．注意分散效應認為學習者在學習過程中必須參照多元表征的信息并加以整合才能理解，所以多元表征的信息最好在空間上臨近，否則分散學生的注意而浪費整合信息需要的認知資源，從而無形中增加學生的外在負荷；空間臨近效應是指意義相近的言語和圖象在空間上臨近呈現要比分離呈現效果好．與預期結果不一樣的原因可能是：在測試題的3個變量中，相對于正負號個數和字母個數而言，同類項間的距離變量只有相鄰和距離為1兩種水平，變量水平的變化的判斷需要的工作記憶負荷較少，產生的錯誤也相對較少．

4.3 字母個數對合并同類項遷移的影響

正如假設的那樣，對于沒有經驗的被試來說，字母個數的主效應極其顯著，也就是說字母個數因素對遷移成績影響極其顯著．這說明字母個數因素對判斷哪些單項式是同類項以及合并同類項問題解決步驟和過程有影響．這與Sweller的實驗結果基本一致．這是因為字母是一種代數符號，代數符號具有因素特性，它的儲存和保持需要依賴語音環記憶；而且代數符號具有更多的視覺空間特性[10~12]，更多的依賴視空間記憶[13]．這就是說每個單項式都承載著視聽信息，單項式中字母越多，單項式承載的信息量越大；在判斷哪些項是同類項時，需要的視聽認知資源也越多；而且代數符號的代數運算需要利用更多的工作記憶資源[14]．

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Effect of the Problem Characteristics of Polynomial on the Transfer of Combining Similar Items

ZHANG Ling-wei1, LIAN Si-qing1,WANG Chen2

(1. Mathematics Science Institute of Capital Normal University, Beijing 100037, China;2. Beijing No.8 High School, Beijing 100032, China)

Experimental results show that: the main effect of the number of positive and negative is extremely significant; the main effect of the number of letters is extremely significant; the main effect of the distance of similar items is not significant. In addition, the interaction between the number of positive and negative sign x number of letters is extremely significant.

transfer; working memory; cognitive load

[責任編校：陳雋]

G420

A

1004–9894（2016）03–0093–03

2016–01–06

張令偉（1976—），女，河北邢臺人，博士生，中學一級教師，主要從事數學教育與心理測量研究．