中美小學數學教材的比較研究——以三年級“分數的認識”為例

丁 銳，Yan Ping Xin

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中美小學數學教材的比較研究——以三年級“分數的認識”為例

丁 銳1，Yan Ping Xin2

（1．東北師范大學教育學部，吉林長春 130024；2．美國普渡大學教育學院，西拉法葉 47907）

對比美國的（簡稱）和中國人教版兩個版本的三年級小學數學教材中有關“分數的認識”部分（主要包括分數的引入、分數的意義、分數的大小比較等）的編寫依據、主題、內容設計、組織結構和核心概念及規律的呈現方式等．結果發現，美國的教材在三年級“分數的認識”部分強調不同的分數模型，比較忽視對分母、分子意義的理解；重視概念和規律的嚴謹性/完整性，但較少鼓勵學生探究；同時，該教材注重不同的表征和方法，但是內容之間缺少較為緊密的聯系．相比較來說，人教版數學教材在“分數的初步認識”部分則更強調學生對分數的基本意義（整體、分子、分母）的理解，而不是不同模型的介紹；強調通過直觀和操作幫助學生建立分數的概念，進行大小比較；鼓勵學生對規律進行探索和總結，重視計算和運算規律；內容設計由淺入深、邏輯聯系緊密．

教材比較；小學數學；分數的意義；分數模型

1 問題提出

近年來，由于上海在2009和2012年兩次PISA測試中名列前茅，各國的教育研究者對“儒家文化圈”（尤其是中國）教育的關注再次升溫．教科書的比較研究成了解釋東西方教育差異的重要視角．由于分數是小學生對數的認識的一次重要擴充，所以分數部分一直是小學數學教材比較的熱點．研究者們對分數的基本性質[1]、分數的概念體系[2]、分數和小數的關系[3]、分數的加減法[4]、分數的乘除法[5~7]等都做了比較研究．其中Charalambos等（2010）的教材比較研究采用了橫向和縱向兩個大維度，橫向包括背景信息和整體結構兩個部分，縱向包括與學生交流、對學生的要求以及聯系3個方面[4]．Li, Chen, & An（2009）從宏觀和微觀兩個維度進行教材比較，宏觀維度主要包括以前的章節內容、頁數、教材整體的內容安排、教材焦點內容的組織結構；微觀維度主要是指數學的概念化，包括內容的引入、例子的類型、復雜程度和呈現方式，以及練習題的類型和個數等[5]．另外，教材的編寫依據是教材比較的基礎，而主要核心概念和規律的呈現方式更能反映教材編者的基本理念，因此，研究者從編寫依據、主題、內容設計、組織結構、核心概念和規律的呈現方式5個方面來對中國人教版和美國的enVision兩個版本的三年級教材中有關“分數的認識”部分的內容進行比較．

2 研究方法

2.1 研究方法

研究主要采用內容分析法，分析框架主要包括5個方面：編寫依據（課程標準的要求）；主題（主要內容、與其它相關內容的關系）；內容設計（呈現方式、主要內容的設計等）；組織結構（內容順序、結構）；核心概念和規律（概念和規律的個數、呈現方式、要求）．

2.2 研究內容

研究主要選取了三年級的“分數的認識”這個內容，主要是因為無論在中國還是美國，第一次比較系統的認識分數都是在三年級，是后面相關內容學習的重要基礎．因此，研究者認為通過這個內容的比較，不但可以看出兩個教材的編者對分數是如何理解的，更能夠透過這樣一個比較來發現兩個教育體系對類似問題的處理有何不同．具體地說，比較的內容主要包括分數的引入、分數的大小比較、分數意義的理解等．同時，為了說明該部分內容與其它相關內容的聯系，也對兩個教材的其它年級有關分數的內容進行了簡單的整理和比較．

2.3 研究材料

比較了美國的（后面簡寫為）和人教版的小學數學教材．

其中，是美國Pearson公司2012年出版的小學數學教材[8]，該教材是根據美國2010年公布的《共同核心課程標準（）》（后面簡稱）編制的．教材是目前美國大陸非常有競爭力的一個教材，有超過600萬美國兒童在使用該教材[9]，約占美國全國兒童人口的十分之一．

參與比較的另外一個版本的教材是人教社2014年出版的小學數學教材，該教材依據修訂后的《義務教育數學課程標準（2011版）》（簡稱《標準（2011年版）》）編制[10]．

3 研究結果

3.1 兩個版本教材三年級“分數的認識”部分編寫依據的比較

兩個版本的教材都是在三年級第一次正式出現了分數的內容，教材在三年級有兩章內容與分數有關，第九章是“理解分數”，第十章是“分數的比較和等值”．而人教版的小學數學教材在三年級安排了“分數的初步認識”．

的編寫依據是[11]，而人教版教材依據的是《標準（2011版）》[12]．表1展示了兩個版本教材所依據的課程標準對相關內容的要求．

表1 EVM和人教版教材有關三年級“分數的認識”編寫依據的比較

相對來說，中國數學課程標準的要求更簡潔明了，而的內容要求更為詳盡；中國數學課程標準在第一學段有關分數的要求非常低，只要求學生“結合具體情境，初步認識分數”，而要求比較全面的理解分數的意義，不僅包括“部分—整體”模型，還包括分數的數軸模型；在三年級只有分數比較的內容，沒有分數計算的內容，而人教版則不但包括同分母分數的比較，還包括簡單同分母分數的加減法．中對于分數比較的內容也非常豐富，不但涉及同分母分數的比較，同分子分數的比較，還涉及在數軸上尋找等值分數，分數和整數的關系，并且強調用推理的方式來驗證自己判斷的合理性，但是沒有關于分數計算的內容．

總的來說，更強調“理解分數也是數”，也就是分數的測量意義，并在此基礎進行分數的比較，理解等值分數；而《標準（2011版）》中相關的要求更強調“初步”，要求結合具體情境來認識分數，并進行分母小于10的同分母分數的加減計算．

3.2 兩個版本教材中有關分數的主題和內容的比較

表2呈現了兩個版本教材中有關分數內容的安排．表3則稍微詳細地比較了三年級“分數的認識”的內容．

表2 EVM和人教版教材有關分數內容的安排

注：由于部分內容和本研究的相關不大，所以未展開

由表2看到，兩個教材在年級安排、選擇主題、內容順序等方面均有顯著的差異．

教材幾乎在每個年級都安排了分數的內容，而且有些內容多次涉及，比如等值分數、分數與小數的關系、分數的計算等（當然每個年級所學的內容逐步加深），但是對于分數的意義的理解卻幾乎在三年級一次性完成的，包括了面積模型、線段模型、群體模型和數軸模型；而人教版教材中二年級、四年級都幾乎沒有分數的內容，在其他年級分數相關內容大部分只涉及一次，只是分數的加減法在三年級有一次簡單計算（分母為10以內的同分母的分數），在五年級有一次系統學習（同分母、異分母都有），而分數的意義則分為兩個水平的學習，第一次是三年級的初步認識，第二次是五年級的系統的對分數意義的理解，幾乎包含了分數意義的所有方面．相對于，人教版對其他很多內容的處理則都是一次性的，比如，在學習了約分和通分之后，一次性學習分數和小數的互化，而不是像一樣分為幾個階段、不同水平的互化．總的來說，盡管人教版教材加入了數軸模型的內容，但仍較為忽視對分數的測量意義的學習，所以學生是否能夠建立起完整的“分數”概念，是否會忽視分數本身也是一個絕對的數值[14]，仍然是值得進一步研究的問題．

從選擇的主題和內容看來，的內容比較全面，不但包括分數的意義、分數的大小比較、等值分數、分數的計算，也非常強調分數與數（整數、小數）的關系（甚至還有一章是關于如何從分數的概念擴展到小數的概念），并且還有一些人教版教材幾乎沒有出現的內容，比如基準分數，利用基準分數來估計和比較分數大小．有研究者認為由于分數在從整數擴充到有理數，再由有理數擴充到實數的過程中，起到非常關鍵的作用，因此小學數學教材中有關分數和小數部分的內容的安排上，應該充分考慮分數與整數以及小數的關系[3，15]，這對學生建立完整的數概念有重要的作用．

同時，對于同樣一個主題，兩個教材的處理也很不同．對于一些重要內容會列舉各種情況，比如在三年級分數的大小比較和排序的這一章，不但介紹了如何使用模型進行同分母分數、同分子分數的大小比較，還有使用基準分數比較，使用數軸進行比較等．而人教版則只在認識幾分之一、幾分之幾的同時，利用直觀模型學習了分數大小比較的內容，排序則只在練習中出現，并沒有像那樣試圖呈現所有的模型和方式．

盡管在年級之間傾向于螺旋設計，但是在每個年級的內容設計中，卻傾向于水平設計，也就是每個年級的有關分數的內容之間較少層層深入的設計，而比較多的是同水平的內容，并且每一種方法都需要一節課的時間來學習，比如，三年級的分數的意義，就涉及到分數與面積、分數和群體、分數和數軸、分數和線段等；而分數的大小比較等，則涉及使用模型比較（同分母、同分子）、使用基準分數比較和使用數軸比較等．相對的，人教版的教材中沒有羅列這么多的內容，卻傾向于圍繞一個內容，展開越來越深入的學習．比如，在三年級的內容中，人教版并沒有列出專門的一節課來學習分數的大小比較，但是卻在認識簡單分數（幾分之一、幾分之幾）的同時，讓學生通過直觀的物體和圖形來學習同分子和同分母分數的大小比較的內容；在學習分子意義的同時，了解分數單位，為后面的分數計算做好鋪墊．

3.3 兩個教材三年級有關“分數的認識”的呈現形式及內容比較

表3呈現了兩個版本教材每節課的設計方式，通常，每節課只有一個例題，而人教版每節課通常有2~5個連續的逐層深入的例題，后面還有一個“做一做”，也是對前面學習內容的擴展．

表3 兩個版本教材的新課呈現形式

表4詳細的比較了兩個版本教材三年級有關“分數的認識”的內容，通常的教材每節課都是圍繞例題展開的，所以這里面也只列了每節課的例題的內容；而人教版節數比較少，但是每節課的內容非常豐富，通常包含幾個例題，做一做的內容也是對所學內容的深入學習，所以，會比較詳細地列出人教版的例題以及做一做的內容．同時，為了比較的方便，還在教材內容后面附上一些“解讀”，幫助理解教材編者設計的意圖．

表4 EVM和人教版教材三年級有關“分數的認識”內容的比較

表4詳細展示了兩個版本在三年級“分數的認識”部分的內容．人教版的三年級教材只有一章的內容涉及分數，題目為“分數的初步認識”，主要內容包括認識幾分之一、幾分之幾、同分母分數的比較和加減法，1減幾分之幾，以及分數的群體意義，和如何求一個群體的分數部分的大小（最后這兩個部分是人教版教材2014年新加上去的）．版本的教材在三年級共有兩章的內容涉及分數，分別是“理解分數”和“分數的比較和等值”，內容非常的豐富．“理解分數”部分從體會平均分，到理解分數可以表示區域（面積模型）的一部分，也可以表示一個群體的一部分，數軸上的一個點，以及長度的一部分，另外除了分數這4種不同的意義之外，還涉及到如何用直觀的方式來求出一個群體的分數部分的大小以及如何用常用的基準分數來估計分數的大小，教材對這幾部分內容的安排是并列的，每節課都有兩頁，除了“一個群體的分數部分的大小”是銜接了上一節課的內容之外，其它內容之間的聯系并不緊密．“分數的比較和等值”部分包括使用分數條、數軸、基準分數來比較同分母分數、同分子分數的大小，并通過數軸上的分數大小比較來初步認識整數和分數的關系．

每節新課都有引導性的問題，均給出解決方法和結論．人教版則沒有引導性的問題，但是注重引導學生的思維，比如在“分數的簡單計算”部分的前兩個例題中寫出思維過程，在“分數的簡單應用”中的解決問題中也同樣給出了解決問題的思路．

3.4 “分數的引入”的內容設計

下面呈現了兩個教材在“分數的引入”部分的內容設計．從中可以管窺二者在具體內容設計上的差異．這里主要比較了兩個教材的第一節課和第二節課，這是因為教材中第一節課是認識平均分，第二節課是認識幾分之幾．而人教版第一節課是認識幾分之一，第二節課是認識幾分之幾．兩個版本教材后面的內容差異也較大，所以前兩節課具有較高的可比性．

教材中的第一節課的內容主要是認識平均分，并且要學習幾等分的說法（halves, thirds, fourths等）．第二節課的內容是“分數與區域（fractions and regions）”，該部分由一個“招待客人”的現實情境引入（將一個盤子中的食物分成6份，吃掉2份，還剩4份），然后問每一份表示什么，吃了多少，還剩下多少，緊接著就介紹了分數和單位分數的概念，并結合例題認識分數每個部分都代表什么，以及分子、分母的定義．具體內容見圖1．

圖1 EVM教材中“分數與區域”部分的例題

人教版第一節課的主要內容是認識幾分之一，包括3個活動，分別是“分月餅”（認識1/2和1/4，引出初步的分數描述性的定義，并認識分子、分母、分數線），“折紙”（感受平均分），“比一比”（分子為1的分數的大小比較，基于直觀圖形的比較）．第二節課也包含3個內容，首先是通過將正方形紙片平均分成4份，描出其中的幾份，認識四分之幾；第二個活動是將彩紙條平均分為10份，認識其中的幾份（同時將分數的描述性定義進一步擴充）；第三個活動是涂一涂和比一比，通過涂色的活動，充分感知和比較同分母分數的大?。?/p>

總的來說，教材該部分的內容設計比較注重整體性和情境性，但是缺乏層次感．教材一次性將所有內容全部呈現，直接認識整體、平均分、幾分之幾、幾分之一、分子、分母等，給出的概念多而且較抽象，并且缺乏對概念的體驗過程；教材給出的例題的情境比較復雜，包含太多的信息，學生既要學習“單位分數”，又要學習“空白的部分”是幾分之幾，“剩余部分”是幾分之幾，缺乏由淺入深的概念層級關系，容易造成概念混淆．

而人教版該部分的內容設計強調概念的層級關系以及體驗操作．先學習幾分之一，再學習幾分之幾；通過對幾分之一的大小比較，充分體會分母的意義，通過同分母分數的大小比較，充分感知分子的意義；教材中的動手操作活動比較充分，有較多的分一分、涂色、折紙等活動，給學生較多的感知、體驗的機會．這種設計有助于學生逐步建立起比較穩固的分數的基本概念．

3.5 兩個版本教材三年級“分數的認識”部分組織結構的比較

根據表4，可以整理出兩個版本教材有關“分數的初步認識”的組織結構圖（如圖2和圖3所示）．

由圖2、圖3看到教材中涉及到的模型比較多，比較強調不同模型的功能，后面的分數大小的比較方法和尋找等值分數等都是從不同的模型中引申出來的．長度模型在人教版教材中出現過，但沒有強調，而對來說是分數條的重要基礎，而分數條模型在后面的分數比較和等值分數中起著非常大的作用．

人教版教材沒有強調各個不同的模型以及多種不同的比較方法，內容相對聚焦，不同模型只是暗線，更強調分數基本的意義（整體、分子、分母），而從這個基本意義出發，來學習比較、計算、應用等，而這些內容的學習反過來又加強了學生對分數意義的理解．比如，通過對幾分之一的學習來充分認識分母的意義，并通過直觀來進行幾分之一的分數大小的比較，通過幾分之幾的學習來充分認識分子的意義，并通過直觀比較，來學習簡單同分母分數的比較，而這個比較的過程，進一步加深學生對分母和分子意義的理解．在分子的意義的學習過程中，沒有出現單位分數的概念，卻強調了幾個幾分之一，而這一學習，又為分數加減法的學習進行了較好的鋪墊，學生可以通過直觀的面積模型解決幾個幾分之一加減幾個幾分之一的問題．

總的來說，人教版更強調分數的基本意義和“初步認識”，所以不求全面，試圖建立知識之間的內部聯系；而則更重視全面理解分數不同模型的意義，多種不同的方法的呈現，但是對于分子和分母的意義的強調不夠，并且由于涉及的內容過多，又多是簡單介紹，使得學生不但不容易建立起對分數模型的全面理解，反而很難掌握分數的基本意義．

3.6 兩個版本教材三年級“分數的認識”部分涉及的重要概念和規律的比較

表5呈現了兩個版本的教材中相關的概念和規律的比較．在教材中出現了6個比較重要的概念，每個概念的定義都比較嚴謹；而人教版教材中有關概念均是描述性的．

表5 EVM和人教版教材三年級有關“分數的認識”概念和規律的比較

由表5可知，教材中有較多的概念、除了比較重要的分數、分子、分母、單位分數的概念之外，學習數軸上的分數時還介紹了帶分數的概念．而人教版教材在分數的初步認識的內容中，只有非常少的概念，而且概念也都是非常簡單的描述性的概念．尤其值得注意的是，盡管人教版教材中沒有出現分數單位的概念，但是由于學生在學習中涉及較多有關分數單位的操作和體驗，所以在學習同分母分數的加減法的時候，使用單位分數的含義來解釋，也顯得比較自然．

另外，教材中出現了較多的規律，卻沒有鼓勵學生自己探究規律是如何產生的，練習題也多是讓學生應用規律來解決問題，而人教版的教材上沒有出現分數大小比較的規律，卻鼓勵學生通過動手和觀察圖形來感受和總結．

4 結論與討論

4.1 分數模型的建立：多而淺vs. 少而精

通過比較，可以發現在分數的初步認識部分，教材試圖呈現一個有關分數的較為完整的圖畫，除了面積模型以后，還有長度模型（后來發展為分數條、基準分數），群體模型，以及數軸模型，而人教版教材比較強調面積模型，在此基礎上出現了長度模型和群體模型，但是在這個階段沒有出現數軸模型．

通過對“分數初步認識”前兩節課的內容設計的比較，可以發現教材強調在情境中對分數意義的整體性理解，一開始就引進大量抽象概念，有較多的數量關系（單位1，部分與部分之間的關系），而沒有強調對分數各個部分意義的感知與理解；而人教版雖然只介紹了分數的描述性定義，卻通過大量的動手操作、體驗活動，讓學生充分理解面積模型中的平均分，以及分子、分母的含義．

Behr（1983）認為，在分數的5個子結構[13]中，“部分—整體”子結構是基礎的語義結構，其它4個子結構在“部分—整體”子結構上發展而成[14]．倪玉菁（1999）的研究結果顯示學生最容易掌握的是面積表征，其次是線段表征，再次為集合表征，最難的是數線表征[15]．因此，從這些研究結果來看，在學生剛開始接觸分數的時候，介紹較為簡單的面積模型似乎更合適，但是也不應該忽視分數的其它意義．劉春暉、辛自強（2010）認為應提供多種表征模型，尤其是數軸模型，能幫助學生形成較全面的分數概念[16]，這與張奠宙等人的觀點一致，就是應該強調在數軸上直觀表示分數[17]．但是這些概念模型并不需要一次性都教給學生，根據學生的理解水平和知識基礎，在不同階段強調不同的概念模型似乎更合適．

4.2 分數各部分意義的理解：模糊vs. 清晰

教材在編寫過程中，非常重視建立不同的概念模型，但是在分子、分母意義的理解方面下得筆墨明顯不夠．比如該教材比較強調分數條的使用來幫助學生進行分數比較，理解等值分數，估計分數的大小等，但是值得注意的是，由于分數條是比較固定的，“總體”比較含糊，沒有強調“平均分”的過程，使得學生很難建立正確的對分母意義的理解．

而人教版非常重視對分數各個部分意義的理解．不但在每道例題中都會強調是“誰”的幾分之幾，在內容的編排上，也是先學習幾分之一，比較幾分之一的大小，讓學生充分理解分母的意義，再認識幾分之幾，比較同分母分數的大小，讓學生體會分子的意義，也就是說，盡管學生學習的模型簡單，但是學生對分數的各個部分的意義的理解是比較扎實的．

另外，與教材相比，人教版在設計時比較強調讓學生動手操作，比如折一折、涂一涂等操作性的活動，這種活動能夠有效的幫助學生建立起有關分數的經驗，而這種經驗能幫助學生較好的從整數的學習過渡到分數的學習，減少整數經驗對分數學習的阻礙作用[18]．

4.3 關注的焦點：概念vs. 程序vs. 學生

相對來說，教材重視分數的各個層面的意義，以及分數與整數、小數、百分數、比等概念的關系，而且為了加深學生的理解，不惜在各冊教材中不斷地重復較為復雜的概念，比如“等值分數”等，試圖幫助學生建立起較為完整的有關分數的概念體系．而人教版在不同的概念模型方面花的筆墨明顯少了很多，非常重視分數的面積模型，卻較少提及分數的測量意義，也沒有專門的章節強調分數、整數、小數之間的關系，而更重視分數的計算和運算規律的學習．所以人教版教材在認識了分數的基本意義之后，很快進入分數的簡單計算和應用，“計算”占“分數的初步認識”內容的三分之一；而美國的三年級教材有兩章共15節分數的內容，其中僅涉及分數大小比較和等值分數，而幾乎沒有分數計算的內容，僅有“群體的分數部分”涉及一點計算（8的1/4份是多少），但目的并非學習整數與分數相乘，而是通過畫圖來直觀理解群體的分數部分的大?。员M管美國的教材提供了大量嚴謹的概念、規律，但由于缺乏對核心概念意義的深刻體驗和對相關規律的系統訓練，學生很難真正理解概念和規律的意義[19]；而中國的教材則由于概念簡單明了，計算的學習由淺入深，學生更容易在了解基本概念的基礎上，提高程序的流暢性．而且，人教版教材較為強調對學生思維的引導，比如，在學習分數的簡單計算時，在例題的下面給出“想”的過程，而在學習使用分數來解決問題的時候，更給出了解決問題的基本思路，這可能是新版人教版教材的一個亮點．

兩本教材有關概念以及規律的呈現方式的比較結果顯示，教材更常用直接呈現的方式，直接給出了核心概念以及重要的規律，而人教版教材則較少給出規律，更鼓勵學生在體驗的過程中，自己總結和探究．這個研究結果與Xin（2007）和Xin等（2011）的發現恰恰相反，Xin在她的研究中比較了課改前（1997—1999）中美的小學數學教材，結果發現，中國數學教材更多的提供嚴謹的學術概念，而美國的教材則鼓勵學生去探索發現[20~21]．課改以后，中國的小學數學教材借鑒了西方很多國家的經驗，強調學生的體驗、自主探索，而美國教材則可能借鑒了亞洲教材的嚴謹性．

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Comparison of Elementary Mathematics Textbooks between China and USA: A Case Study of “Knowing Fractions”

DING Rui1, Yan Ping Xin2

(1. Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;2. Purdue University, West Lafayette 47907, US)

A five-dimension framework (i.e., alignment with the standards, topics, content design, structure, and core conceptions) was used to compare “knowing fractions” between two primary mathematics textbooks (enVision Math and Chinese People Education Press (PEP) Math) in US and China. Results revealed that, enVision math (EVM) emphasizes multiple representations using different models of fractions, however it falls short in explaining the meaning of numerator and denominator; it provides comprehensive definition of the concepts, but seldom encourages students to find the patterns themselves. The EVM presents many models of the concept, but neglects the relationships among them. In contrast, PEP math emphasizes an understanding of each element in a fraction, such as “whole,” “numerator,” and “denominator,” but not different models of fractions; it encourages students to explore and find patterns through visual image and hands-on experiences as well as practices through comparing and calculation. In addition, the content progresses from easy to more difficult with logical connections.

textbook comparison; primary mathematics; fraction concepts; models of fractions

[責任編校：周學智]

G40-059.3

A

1004–9894（2016）03–0020–09

2016–01–05

東北師范大學教師教學發展基金項目——美國小學教師培養的個案研究（15B1XZJ011）

丁銳（1978—），女，滿族，遼寧本溪人，副教授，博士，主要從事小學數學教育、課堂環境、教師教育等研究．