考慮大幅值輸入的隨機子空間識別*

秦世強， 康俊濤， 周旺保

(武漢理工大學土木工程與建筑學院 武漢，430070)

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考慮大幅值輸入的隨機子空間識別*

秦世強， 康俊濤， 周旺保

(武漢理工大學土木工程與建筑學院 武漢，430070)

隨機子空間識別是一種可靠的時域模態參數識別算法，通常是利用結構在零初始狀態作用下的動力響應來識別結構模態參數，而并沒有考慮大幅值輸入對識別結果的影響。針對此問題，研究了大幅值輸入對隨機子空間識別的影響并探討了方法的適用性。首先，介紹了考慮大幅值輸入的隨機子空間識別理論基礎；然后，通過一個兩自由度系統進一步考慮了不同階次模態、模態振型的相對精度隨采樣數和大幅值輸入的變化情況；最后，以菜園壩長橋大橋拱肋脈動試驗為算例，研究了考慮大幅值輸入識別方法的適用性。結果表明：考慮大幅值輸入能夠提高識別的模態參數精度；相比頻率，模態振型精度隨采樣數的變化具有一定的隨機性；考慮大幅值的隨機子空間識別對模態試驗的完備性要求較高。

橋梁工程； 模態參數； 大幅值輸入； 隨機子空間識別； 蒙特卡洛

引 言

模態參數識別是橋梁健康監測的一個重要組成部分。由于模態參數只取決于結構的固有屬性，因此可以利用模態參數進行損傷識別、有限元模型修正和動力性能評估[1-3]。對大型橋梁和土木工程結構而言，利用環境激勵進行模態參數識別(亦稱工作模態識別)已經成為共識[4-7]。文獻[8-10]對環境激勵下模態識別的效率和精度進行了研究。近年來，環境激勵的模態參數識別算法也得到進一步的完善和細化，主要體現在計算效率高、自動化程度高及識別結果準確等方面。目前，常用的環境激勵模態參數識別方法包括峰值拾取法、頻域分解法、時域隨機子空間識別及小波分析等[11]。

盡管環境激勵模態參數識別算法已經較為成熟，但是仍存在一些并非由算法本身導致的問題。文獻[12]指出，目前工作模態識別存在兩個主要的問題，其中之一是由于環境荷載頻帶窄，對結構的激勵程度有限,因此只有結構低階模態能夠被識別，而對局部損傷更敏感的高階模態難以識別。Farrar等[13]在總結橋梁結構激勵方法時指出，環境激勵是大型橋梁唯一切實可行的激勵方法，但其缺點是不一定能激勵起測試者感興趣的頻段。宗周紅等[14]指出，影響有限元模型修正的一個主要問題是試驗模態的不完備性，即對結構局部損傷更為敏感的高階模態無法被環境荷載激勵。文獻[15]指出，對橋梁結構而言，在所有的環境荷載中，交通荷載(車輛)的強度最大，頻帶最寬，對結構的激勵程度較高，因此可以將交通荷載視作結構的大幅值輸入，從而識別部分高階模態。文獻[16]基于協方差驅動的隨機子空間識別，首先將這種思想轉變為現實，給出了理論解釋，并通過單自由度系統數值模擬和一個高速鐵路連續梁橋工作模態識別驗證了這種考慮大幅值輸入進行模態參數識別的可能性，但其數值模擬沒有考慮識別的模態振型精度，且工程實例測試較為完備，沒有考察這種方法的適用性。

筆者在文獻[16]基礎上，進一步利用一個兩自由度系統的蒙特卡洛模擬，研究高低階次模態隨采樣數和大幅值輸入的變化異同，并考察大幅值輸入對模態振型精度的影響。對考慮大幅值輸入的隨機子空間識別的適用性問題，則通過菜園壩橋拱肋脈動試驗來研究。

1 理論基礎

結構隨機狀態空間模型可以表述為

(1)

其中：yk為環境振動測試得到的結構動力響應；xk為離散狀態空間的狀態向量；A，C分別為狀態矩陣和輸出矩陣；wk，vk分別為建模誤差、傳感器誤差與環境激勵荷載之和，一般假設為白噪聲。

將式(1)中的輸出響應yk寫成遞歸的表達形式

(2)

可以看到，結構的輸出響應是由兩個部分構成:a.結構的初始狀態x0所決定，b.環境荷載wk和vk所決定。在橋梁結構動載試驗中，一般會單獨進行脈動試驗，由于脈動荷載引起的結構振動屬于微幅振動，因此式(2)中的第1項約等于0，進而利用子空間算法識別零初始狀態下的系統矩陣，識別模態參數。因此，目前識別算法中并沒有考慮大幅值輸入對模態參數識別的影響。

在協方差驅動的子空間識別算法中，輸出協方差Λi定義為

(3)

其中：N為離散采樣數。

(4)

式(4)展開過程中根據互不相關白噪聲特性，消去了交叉項，具體說明如下。式(1)中的wk和vk被假定為互不相關的白噪聲，且其協方差為

(5)

其中：E為數學期望；δpq為克羅內克函數。

由此可以知道，當p，q不相等時，其協方差為零，即式(4)中的交叉項為零。式(4)中的第1項是由大幅值輸入引起，由于初始狀態為一定值，其決定的狀態矩陣A和輸出矩陣C亦為定值，因此，隨著采樣數N的增加，該項值趨近于零；第2項是由環境激勵引起，根據式(3)對輸出協方差的定義可知，隨著N的增加，該項值逼近其真實值。根據式(4)的定性分析表明：在考慮大幅值初始狀態后，當N較小時，輸出協方差的精度由初始狀態決定；當N趨近于無窮時，輸出協方差的精度由環境荷載決定。因此，在考慮了大幅值輸入之后，必然存在一個采樣點數N，使得大幅值輸入對輸出協方差精度的影響為零。考慮大幅值輸入得到協方差后，可以進一步求得系統矩陣A和C，從而求得結構的模態參數。具體流程與一般的協方差驅動的隨機子空間識別相同，隨機子空間算法(stochastic subspace identification,簡稱SSI)算法識別過程可參考文獻[8]。

2 兩自由度系統模擬

2.1 系統描述

文獻[16]給出了一個單自由度系統考慮大幅值輸入情況的蒙特卡洛數值模擬，但并沒有研究大幅值輸入對模態振型的影響。筆者利用一個兩自由度系統數值模擬進一步考察大幅值輸入對模態振型的影響。

如圖1所示的兩自由度系統，u(t)為白噪聲環境激勵，y(t)為加速度響應。令系統的質量陣M、阻尼陣C和剛度陣K分別為

計算得到該振動系統模態參數的理論解如下。

頻率:f1=2.85 Hz；f2=6.97 Hz

阻尼比：ξ1=0.89%;ξ2=1.92%

圖1 兩自由度系統Fig.1 2-degree of freedom system

2.2 參數設定

蒙特卡洛模擬抽樣次數n取為200，環境荷載利用白噪聲模擬。結構動力學中，初始狀態可以是初始位移、初始速度和初始加速度，均會導致結構的自由振動。不失一般性，算例中利用初始位移來模擬大幅值初始狀態的作用。初始位移僅考慮質量塊m1在水平方向的位移，考慮6種不同的初始位移x0=0，0.007 5，0.015，0.025，0.035和0.045 m，對比了有無初始位移及初始位移大小對識別的模態參數的精度影響。在環境荷載和初始位移作用下質量塊的加速度響應y(t)直接由隨機狀態空間方程遞推求得，離散化時取采樣頻率fs=100 Hz，采樣數N=18，25，26，…，216總計15種情況，再利用協方差驅動的SSI算法，采用考慮非零初始條件得到的加速度響應，識別系統的模態參數。相比有限元模擬動力響應方法，隨機狀態空間方程模擬方法具有效率高、誤差小的優點。對200次模擬識別的模態參數求標準差以衡量其識別精度。假定一次計算響應并識別出模態參數為一個計算量，則整個計算量為200×15×6=18 000個計算量。圖2給出了質量塊1在初始位移為0.015 m時的自由振動響應及初始位移為0時的隨機振動響應。為便于對比幅值大小，將兩種響應的y坐標范圍設置相同。

圖2 自由振動響應和隨機振動響應Fig.2 Free vibration response and ambient vibration response

2.3 結果分析

圖3和圖4分別為兩自由度系統的頻率和阻尼比相對精度隨采樣數的變化情況。相對精度是指利用200次模擬得到的標準差除以頻率或阻尼比得到的無量綱量，該值越小，則表明多次模擬識別的模態頻率和阻尼比穩定性越高，可信程度更高。圖5為模態振型的精度隨采樣數的變化。

首先，觀察頻率的相對精度變化情況。從圖3可以看出：

圖3 不同初始位移下頻率相對精度隨采樣數的變化Fig.3 The relative accuracy of frequencies with data samples under different initial displacements

1) 初始條件為0的曲線一直呈現下降趨勢，表明隨著采樣數的增加，輸出協方差逐漸逼近其真實值，頻率識別精度越高；

2) 對初始位移不為0的曲線，從斜率可以看出，曲線下降的趨勢經歷快、慢、快3個過程，對初始位移較大的情況，甚至出現反彎點(如初始位移為0.035 m的曲線，采樣數為104對應的點即為反彎點)，這與理論推導中的定性分析結果一致，表明在拐點處初始位移的影響逐漸趨于零，環境荷載起主導作用；

3) 在相同的采樣數下，初始位移越大，識別的頻率精度越高，表明大幅值的初始位移能夠提高模態頻率的識別精度；

4) 無論是零初始位移還是非零初始位移曲線，當采樣數大到一定程度時，頻率的精度提升不明顯。

以上幾點在圖4和圖5中也有所體現。

其次，觀察第1階模態和第2階模態識別精度隨采樣數N的變化情況，對比圖3～圖5中的(a)和(b)圖，可以看出：

圖4 不同初始位移下阻尼比相對精度隨采樣數的變化Fig.4 The relative accuracy of damping ratios with data samples under different initial displacements

圖5 不同初始位移下模態振型精度隨采樣數的變化Fig.5 The accuracy of mode shapes with data samples under different initial displacements

1) 第2階模態參數精度隨采樣數增加會出現一個明顯提升點(反映在曲線上突降點)，其后也呈現與第1階模態參數相同的變化規律，這表明相對高階次的模態參數精度對采樣數更為敏感；

2) 在曲線的末尾段，模態1比模態2更為聚攏，表明要是不同初始位移下識別的模態參數達到同樣精度，高階次模態需要更多的采樣數；

3) 在較低的采樣數下，高階次模態對應的曲線圖無變化規律，甚至在圖4(b)和圖5(b)中，零初始位移曲線有些跳點呈現上升趨勢，這表明對高階模態而言，在采樣數較少時，無法用理論分析結果來預測其精度水平。

最后，對比頻率、阻尼比和模態振型的識別結果可以發現，不同初始位移的頻率精度隨采樣數的變化曲線最能體現理論分析的結果，而阻尼比和振型的精度變化出現更多的隨機性。這也反映了目前工作模態分析中常見的現象，即頻率識別精度較高，而阻尼比和振型的識別精度難以控制，尤其是阻尼比，識別的結果呈現較大的離散性。

3 菜園壩橋拱肋模態參數識別

文獻[16]通過一個測試完備的連續梁橋的工程實例得到了如下結論：a.考慮大幅值輸入后，識別的模態參數精度有所提高；b.考慮大幅值輸入后，能夠識別一些結構的高階模態。筆者通過菜園壩長江拱肋脈動試驗進一步研究考慮大幅值輸入的隨機子空間識別方法的適用性。

3.1 試驗介紹

菜園壩長江大橋主橋為主跨420 m的鋼桁梁、鋼箱系桿拱組合結構。拱肋脈動試驗是全橋荷載試驗的一部分，旨在了解其結構固有振動特性。全橋荷載試驗包括主橋和引橋靜載試驗和動載試驗。脈動試驗對主橋橋面和拱肋分別進行單獨測試，這里選取上游側拱肋脈動試驗數據進行分析。對拱肋進行脈動試驗時，測試其無車狀態下在環境荷載作用下的加速度響應。測試利用2個941B加速度拾振器完成，一個作為參考點傳感器，另一個作為移動傳感器。拱肋共布置19個測點，測點均位于吊桿處。測點布置如圖6所示，分18個測試組完成，每個測試組采樣時間約3～5 min，采樣頻率為20 Hz。

由于脈動試驗全過程無車過橋，而環境荷載引起的橋梁振動屬于微幅振動，因此可以將脈動試驗下橋梁動力響應視作零初始狀態下振動響應。相比環境荷載，車輛荷載頻帶較寬，對橋梁引起的振動也不可忽視，因此將車輛荷載引起的橋梁自由振動響應視作橋梁處于大幅值狀態下的振動響應。

從上面的試驗描述可知，拱肋的脈動試驗測試相對簡易，重點考察考慮大幅值輸入的隨機子空間識別對這種測試不夠完備的情況適用性。

圖6 測點布置圖Fig.6 The layout of measuring points

3.2 結果分析

圖7和圖8分別是利用脈動試驗響應(無大幅值輸入)和行車試驗數據(有大幅值輸入)計算得到的穩定圖，圖中“.f”，“.d”和“.v”分別表示頻率、阻尼比和模態振型向量的穩定點，而圓圈十字表示三者共同的穩定點。頻率、阻尼比和振型的穩定準則分別為相鄰兩階的容差不超過1%，5%和1%。

圖7 利用脈動試驗數據提取的穩定圖Fig.7 The stabilization diagram extracted from ambient vibration test

圖8 利用行車試驗數據提取的穩定圖Fig.8 The stabilization diagram extracted from driving test

對比兩圖可以看出：

1) 在0～2 Hz范圍內，考慮大幅值后得到的穩定圖顯示更多的穩定點，穩定軸更為清晰；

2) 在6～8 Hz范圍內，考慮大幅值后的穩定圖明顯少了一個清晰的穩定軸，即產生了模態遺漏。

將識別的拱肋前6階模態頻率和阻尼比列入表1，對比可以發現，二者識別的阻尼比較為離散，但頻率基本一致，且考慮大幅值輸入后識別的模態頻率偏大。

表1 拱肋前6階頻率和阻尼比

Tab.1 The frequencies and damping ratios of first six modes of arch rib

模態脈動試驗行車試驗f/Hzξ/%f/Hzξ/%10．312．670．331．6320．470．930．491．2530．663．080．712．6440．851．450．860．9651．321．271．331．4561．603．721．642．80

從試驗結果可以看出，在測試相對簡易的情況下，考慮大幅值輸入的隨機子空間識別并沒有達到識別高階模態和提高識別精度的目的，與理論分析和數值模擬有所差異。這表明，考慮大幅值輸入的隨機子空識別對測試的完備性要求較高，限于各個工程不同以及測試過程所用儀器等差異，無法給出一個模態試驗完備與否的明確區分標準。文獻[7]指出，根據過往工程經驗，在采樣頻率為100 Hz，采樣時間為960 s左右時能夠較準確識別橋梁結構的模態參數(包括模態振型)，同時還需要考慮移動傳感器的時間來保障測試的完備性。

4 結 論

1) 考慮大幅值輸入后，輸出協方差由兩部分組成:a.由大幅值輸入決定；b.由環境荷載決定。二者的精度隨采樣數變化成反比，即存在一個采樣數，使得大幅值對輸出協方差的影響為零。

2) 數值模擬表明，考慮大幅值輸入后識別的模態參數精度得到提高，且輸入幅值越大，精度提高程度越高。模態振型的變化規律與頻率相仿，但存在更多的隨機性。

3) 試驗研究表明，考慮大幅值輸入的隨機子空間識別對測試的完備性要求較高，當測試完備性較低時，考慮大幅值的識別方法不能達到理論推導和數值模擬的效果。

4) 目前仍無法給出一個測試完備性與否的評判標準，但可以參考現有研究對環境振動測試能夠準確識別結構的模態參數所設置的標準。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.06.009

*國家自然科學基金資助項目(51608408)；中央高校基本科研業務專項資金資助項目(WUT-2014-IV-047)

2014-11-26；

2015-03-03

TU311

秦世強，男，1987年7月生，博士、副教授。主要研究方向為橋梁健康監測、結構動力學系統識別。曾發表《Effects of initial conditions in operational modal analysis》(《Structural Control and Health Monitoring》2014,Vol.24,No.4)等論文。 E-mail：shiqiangqin@163.com