基于Copula-GARCH模型的新興產業與上證指數相依性研究

葛亮（福建中醫藥大學 人文與管理學院，福州 350122）

基于Copula-GARCH模型的新興產業與上證指數相依性研究

葛亮
（福建中醫藥大學 人文與管理學院，福州 350122）

文章利用Copula-GARCH模型對2005年1月1日至2014年4月30日上證交易所新興產業指數和上證綜合指數進行建模，然后運用ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-t模型，將邊緣分布概率積分變化后的2個服從均勻分布的序列作為Copula模型的邊緣分布，得到了較好的擬合效果。通過建立正態Normal Copula函數、t-Copula函數、Gumbel Copula函數、Clayton Copula函數和Frank Copula函數的5個二元Copula模型，并采用AIC法、BIC法、切比雪夫距離和歐式距離4種檢驗擬合優度的方法選擇最優的t-Copula模型。同時利用GPD法對2個指數做了尾部相關性分析，發現下尾比上尾具有更好的相依性，說明極端情形（如金融危機）下兩指數的漲跌幅度較大。

Copula-GARCH模型；新興產業指數；上證指數；相依性

0 引言

在轉變經濟增長方式、加快產業轉型升級的目標下，新興產業成為實現國民經濟又好又快發展道路中的重要角色。新興產業的發展離不開國家與金融業的參與和支持，同時新興產業的發展也促進了金融業的良好發展。因此對戰略性新興產業發展與金融業的政策支持和創新研究受到各界人士的廣泛關注。本文主要針對現有文獻從新興產業市場與金融市場間的相依因素來展開研究[1-3]，目前對兩個市場的股票收益率之間的相依性問題研究還比較少[4,5]，本文以新興產業市場與上證市場的股票指數收益率，運用Archimedean Copulas簇、Archiman Copulas簇和廣義Pareto分布(GPD)為邊緣分布函數。對單變量的邊緣分布構建GARCH(1,1)-t模型，運用Copula模型研究新興產業市場和證券市場（以上證綜合指數為例）的相依性。

1 Copula理論及選擇

Copula理論是可以分解為多個邊緣累積分布和一個連接Copula函數的多維度聯合累積分布函數，通過將單變量分布特征轉化為其邊緣分布，并由Copula函數來闡述多變量之間的相依性。由于本文旨在研究新興產業市場與上證綜合指數日收益率之間的二元相關性，下面就針對二元Copula函數作一個簡要的介紹。

1．1 Sklar定理

Sklar定理：假設兩個邊緣分布分別為F(x)、G(y)的聯合分布函數為H(x，y)，則可以找到一個連接Copula函數C，滿足：

如果u=F(x)、ν=G(y)是連續的，則存在唯一的函數C(u，ν)。

1．2 相依性

假設X和Y是兩指數收益率序列，每個收益率分別由其邊緣分布u=F(x)和ν=G(y)來描述其特性。由Copula函數C(u，ν)來刻畫兩市場收益率之間的相關性，常用的相依性的測度方法有Kendall的τ和Spearman的ρ，可分別表示為：

除了研究兩市場收益率序列的相依關系外，研究單個收益率序列的突漲（或暴跌）是否會引起另一個收益率序列的相應或相反的變化，從而對證券或金融市場產生更大的影響。這就是金融中的尾部效應，即研究尾部相關性。其Copula函數C(u，ν)的上尾、下尾相依系數分別為：

可見，上尾、下尾部相依系數刻畫了兩市場收益率在突發事件下的相依程度，這對于證券或金融市場的波動性分析是極其有用的。

1．3 Copula模型參數估計

通過采用含參數的Copula函數估計，可以很好地顯示多個時間序列數據的非對稱性和厚尾特性[6]，因此選取Normal Copula函數、t-Copula函數、Gumbel Copula函數、Clayton Copula函數和Frank Copula函數，來擬合新興產業指數與上證綜合指數收益率的相關性。

采用兩階段的極大似然法進行Copula模型的參數估計，其極大似然方程為：

其中，θ=(θ1，…，θN;α)。

第一步，對單變量的邊緣分布進行參數估計：

其中，n=1，2，…，N。

第二步，在完成單變量參數估計后，對α進行估計：

1．4 擬合優度評價

選取合適的Copula函數來度量變量間的相關結構尤其關鍵。擬合優度評價（Goodness of Fit）是選取與觀測值配合最優Copula函數的一個重要標準，本文采用AIC法則、BIC法則、切比雪夫距離和歐氏距離來評價Copula方法的有效性。具體方法如下:

（1）AIC法則

式中：PC(i)，PE(i)分別為聯合分布（Copula）頻率值和經驗分布（Empirical）頻率值；FC(i)，FE(i)分別為聯合分布值和經驗值；n為實測樣本序列的長度，k為參數的個數。

（2）BIC法則

（3）切比雪夫距離

（4）歐氏距離

2 實證分析

指數收益率之間相關的非對稱在市場處于下降的趨勢時（熊市），尤其是急劇下降時，比正常時或上升時（牛市）的相關性大[7]。因此市場趨于下降時，分析股票指數收益率尾部的相關性將會導致高估金融資產分散化降低風險的作用。

2．1 樣本選取

本文的目標在于分析我國新興產業市場和金融市場之間的關系，因此選取新興產業指數和上證指數的市場日收益率為主要研究對象，由于新興產業起步較晚，故選定2005年1月1日至2014年4月30日為樣本區間，共計2261個觀測值。數據來源于雅虎財經網。根據證券/金融市場日收盤價計算對數收益率rt計算公式為：

其中，Pt為第t個à易日的指數收盤價格。

2．2 描述性分析

本文對選取的樣本數據采用R3.1.0和Matlab2014a軟件分析。表1給出了新興產業指數與上證綜合指數對數日收益率的描述性統計結果。

表1 新興產業指數和上證綜合指數收益率描述性統計

從均值來看，兩序列對數收益率均呈現正的平均收益率，其中新興產業收益率高達0.0706；與上證綜合指數日收益率的中位數值相比，新興產業收益率達到0.226，接近其3倍，表明新興產業指數對我國證券市場指數收益率具有正向效應。

從偏度和峰度看，兩序列對數收益率的偏度均為負，表明均有較長的左偏現象；新興產業指數的峰度值小于3，而上證綜合指數的峰度值大于3，且具有尖峰厚尾性，因此兩序列都拒絕正態分布的假設。從ADF檢驗統計量結果可知，兩序列拒絕平穩性的假設，即存在單位根。

從Jauque-Bera統計量看，P值均為0，說明均拒絕服從正態分布的假設。因此，可以通過ARMA-GARCH模型對收益率殘差序列進行過濾，得到無序列相關和無異方差的平穩的殘差序列。圖1反映了收益率的波動情形。

圖1新興產業指數和上證綜合指數收益率時序圖

圖2 新興產業指數和上證綜合指數收益率直方圖

從圖1可以看出收益率呈集聚效應，即大的波動之后出現大波動的可能性更大，反之亦然。圖2反映了收益率序列的左偏特性和厚尾效應。

從收益率分布和正態分布的圖形可以看出，新興產業指數和上證綜合指數的收益無論是在上尾還是下尾都比正態分布的上、下尾部更厚，即風險更大。

2．3 Copula-GARCH-t模型

根據Copula理論，選擇合適的Copula函數描述金融產品的相依結構，只要能夠確定每個市場或資產收益率的邊際分布，即可獲得整個市場或資產組合的聯合分布[8]。大量實證表明金融時間序列具有明顯的尖峰厚尾性、波動聚集性及其杠桿效應；而且具有序列自相關性和異方差性，可以通過GARCH族模型很好地消除這些特征，因此GARCH族模型被認為是目前較優的刻畫金融時間序列波動的模型。通過GARCH模型可以對原時間序列進行殘差分析，將得到的殘差序列標準化為[0,1]區間上的均勻分布，就可以進行Copula參數估計了。

本文采用t-Copula函數來度量兩指數收益率的相依性。t連接函數能夠反映尾部的相關程度，而高斯連接函數不能反映尾部的相關程度。因此假設收益率序列的隨機誤差項服從t分布，選擇ARMA(1,1)-GARCH(1,1)分布模型作為收益率的邊際分布，其模型形式如下：

式中，n=1表示上證綜合指數；n=2表示新興產業指數；C為二元學生t分布Copula函數；It-1為初始時刻t=1到t-1時刻的信息集。TVn(…)表示均值為0，方差為1，自由度為參數νn的標準化t分布函數。

2．4 邊緣分布及參數估計

由于二元Copula函數是兩變量的邊際分布為[0,1]區間的均勻分布所構成的二維聯合分布函數，必須先進行分布形式檢驗，使得殘差項序列服從獨立的[0,1]均勻分布。檢驗獨立均勻分布的主要步驟如下：

①確定隨機變量在ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-t模型下的相應參數，將殘差序列（Innovations）除以對應時間的條件標準差序列（Sigmas）得到標準化的殘差序列（Residuals）；

②通過Ljung-Box Q統計量對第①步過濾后的殘差序列進行序列自相關檢驗，以確保序列獨立性；

③通過概率積分轉換獲得標準化的殘差序列的累積概率分布，并對標準化殘差序列的累積概率分布進行KS檢驗（概率P值接近于1），結果顯示無法拒絕原假設，累積概率分布服從均勻分布。

ARMA（1，1）-GARCH(1,1)-t模型的參數估計如表2所示。

表2 ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-t模型的參數估計

本文選擇的ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-t模型對新興產業指數和上證綜合指數的收益率序列進行殘差過濾，估計結果如表3所示。通過對邊際分布檢驗，消除了原序列中存在的自回歸和異方差問題，得到獨立同分布的序列，并關注過濾后的收益率序列是否存在自相關性及其分布特性。

從表3可以發現，兩指數收益率序列的殘差序列存在左偏、厚尾現象；從JB統計值看，標準殘差序列{} ξnt不接受正態分布；Ljung-Box檢驗表明，兩序列拒絕自相關性；ADF檢驗表明殘差序列不存在單位根。因此，通過ARMA-GARCH-t模型對兩指數收益率序列過濾得到了不相關和無異方差的平穩殘差序列。

表3 ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-t模型的標準殘差分析

研究兩指數收益率序列{ξnt}間的相依性，可以通過MLE對ARMA-GARCH-t模型進行參數估計后，轉變為標準殘差序列{ξnt}下的相依性。Copula函數的相依性如表4所示。

表4 Copula函數的相依性

從相依系數的分析結果發現，t-Copula函數的相依性與原觀測值的相依性最接近，因此采用學生t分布的Copula函數來擬合二者之間的相依性最佳。

2．5 尾部相依性

從圖3可以看出，對樣本數據經過ARMA-GARCH-t模型的標準后的殘差序列平方不存在自相關性；同時殘差滯后30階Q檢驗概率P值均小于0.05，說明殘差序列不存在自相關，即標準化殘差服從獨立同分布，這恰恰滿足Copula-GARCH模型的條件。

圖3新興產業指數和上證綜合指數標準化誤差平方自相關函數圖

圖4新興產業指數和上證綜合指數標準化誤差QQ圖

從圖4可以看出，學生t分布可以很好地展現樣本數據中間部分的尖峰厚尾性，而對其尾部數據擬合效果不太好。通過采用GPD方法來擬合數據的尾部特征就顯得尤為重要，從擬合效果圖（圖略）中可以看出，基于內部核函數的累積分布和帕累托分布對尾部的擬合效果較好。

對于帕累托分布分析尾部特性一般要選取合適的閾值，而GPD參數估計通常采用極大似然估計。通過研究發現，閾值設定越高，超過閾值數據越少，則參數方差較大；相反，不能得到收斂的數據，同樣估計的偏差也較大。可以確定新興產業指數的上尾門限為1.13，下尾門限為-1.35。這樣可以保證每個尾部都有超過25%的數據即約有600個樣本值用來進行尾部擬合。同樣也可以確定上證綜合指數的上尾門限為1.15，下尾門限為-1.22。確定兩個指數的各自門限后，就可以通過GPD分布對數據的尾部進行估計建模，估計結果如表5所示。

表5 GPD估計的相關參數

2．6 擬合優度檢驗

基于不同Copula函數的擬合優度檢驗法，可以確定模型的擬合效果程度，其參數估計結果如表6所示。

表6 Copula函數的參數估計

從表6可以看出，AIC及BIC值越小，說明Copula函數擬合得越好。通過切比雪夫距離和歐式距離的計算，t-Copula函數擬合二者的分布模型最好，因此采用t-Copula函數構建模型來模擬二者之間的相依結構。

3 結論

本文以2005年1月1日至2014年4月30日上證à易所新興產業指數和上證綜合指數的數據采用Copula-GARCH-t模型進行建模分析。首先對兩個對數收益率的時間序列建立ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-t模型。作為Copula模型的邊緣分布，利用t-Copula函數可以很好地描述新興產業指數和上證綜合指數之間的相依關系，反映了兩個指數在宏觀政策反應和投資者心態等的趨同性。在靜態分析中，兩者的相關結構具有一定的對稱性，也說明新興產業指數和上證綜合指數的收益率相關性較強；同時發現下尾相關系數比上尾相關系數要大，說明兩指數同時下跌的可能性較大。也說明了新興產業的快速發展極大地影響了國家證券金融市場的發展，而且我國新興產業的發展也急需良好的金融服務和政策支持。

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（責任編輯劉柳青）

F830

A

1002-6487（2016）24-0170-04

國家社會科學基金資助項目(12CZZ051)；福建省教育廳A類社會科學基金資助項目（JAS150284）

葛 亮（1981—），男，江蘇南通人，博士研究生，講師，研究方向：經濟計量分析、衛生政策評價。