多狀態系統預防性維修組合模型

張 斌，張 瑩，刁海濤，張婧怡（南京信息工程大學 數學與統計學院，南京 210044）

多狀態系統預防性維修組合模型

張 斌，張 瑩，刁海濤，張婧怡
（南京信息工程大學 數學與統計學院，南京 210044）

文章研究了兩部件系統的預防性維修組合問題。根據子系統正常與否，將系統分為四個不同的運行狀態。當單個子系統發生故障時，系統能夠繼續工作，但單位時間的收益將發生變化。定期對子系統進行預防性維修，可以減小子系統的故障率。構建了狀態轉移方程，并求出各狀態的穩態概率。綜合考慮了單位產品的獲利、減產的損失、不合格品的損失、故障維修費用和預防性維修費用等，以有效生產率滿足閾值為約束條件，以單位時間凈收益最大為目標，提出預防性維修組合優化模型。分析了模型參數對預防性維修決策的影響。

多狀態；馬爾可夫過程；維修組合

0 引言

許多實際系統通常包括多個子系統。在使用過程中，如果對系統的維修不足，可能導致突發性故障頻發，從而造成巨大的經濟損失；如果對系統的維修過度，又將使維修費用過高，甚至維修費用超過系統本身的成本很多倍。因此，在故障前對系統進行預防性維修及預防性維修決策的優化非常重要。

根據系統運行情況的不同可以將系統分為多個運行狀態。Lad和Kulkarni(2010)[1]根據故障的影響對系統的狀態進行了分類。Liu和Huang(2010)[2]利用半更新過程描述一個多狀態系統的每個單元在維修后的運行情況，進而提出最優預防性維修方案。Sheu等(2012)[3]考慮了系統存在兩類故障，通過引入故障率函數改進因子提出不完全預防性維修模型。Attia和Abou Elela等(2011)[4]針對存在正常運行、異常運行和故障三個狀態的系統，在假定故障率是預防性維修次數函數的基礎上，提出不同狀態下預防性維修策略的優化模型，但僅考慮了單部件系統的維修問題。本文將文獻[4]提出的故障率是預防性維修次數函數的思想由單部件系統推廣到兩部件系統，根據子系統的運行情況將系統分為正常運行、系統運轉但生產率降低、生產率不變但過程失控和停止運行四個狀態。根據狀態轉移規律，構建了狀態方程。在單位時間平均凈收益最大的前提下，以有效生產率滿足閾值為條件，提出了多狀態系統的預防性維修組合模型。本文所提方法可以為兩部件系統的預防性維修組合提供決策依據。

1 四狀態系統模型

假設某系統由兩個獨立的子系統并聯組成，每個子系統有兩種工作狀態：正常狀態和故障狀態。根據子系統正常與否，可以將系統的運行狀態分為四種：

狀態0：兩個子系統都正常，系統處于完全正常狀態；

狀態1：子系統2正常，但子系統1故障，系統處于不完全正常狀態1；

狀態2：子系統1正常，但子系統2故障，系統處于不完全正常狀態2；

狀態3：兩個子系統都故障，系統處于完全故障狀態。

當單個子系統發生故障時，系統能夠繼續工作，即系統處于狀態1或狀態2時可以繼續運行。子系統i(i=1，2)發生故障的時間和維修時間服從指數分布，子系統i(i=1，2)的故障率為λi，維修率為μi。當系統處于狀態1或狀態2時，經過維修可以使系統修復到初始狀態，即“修舊如新”。子系統的故障事件互不影響，且在極短的時間內不會出現兩個子系統同時故障的情況。當系統處于狀態3時，系統停止運行，通過維修可將其修復到初始狀態，維修率為μ。系統在狀態 j(j=1，2，3)下的維修時間就是系統在該狀態的逗留時間。系統的狀態轉移如圖1所示。

圖1系統的狀態轉移圖

2 狀態方程及穩態概率

為了計算系統在穩態下處于狀態 j(j=0，1，2，3)的概率Pj，先考慮轉移概率Pij(t+Δt)，其中Δt＞0。由柯爾莫哥洛夫-切普曼公式，得則：

已知系統在0時刻處于狀態0，即：

由于系統在初始時刻的狀態是0為已知，故將Pij(t)簡記為Pj(t)。在Δt很小的情況下，可以得到該馬爾可夫過程的轉移概率為：

式（2）方程兩邊對Δt=0求導，得狀態微分方程為：

由于系統的任何一個狀態只能從其他狀態轉換得來，因此，該過程是一個不可復歸的馬爾可夫過程，其穩態概率存在。由及，得各狀態的穩態概率滿足方程：

由式(4)解得各狀態的穩態概率為：

其中，A=λ1(λ1+μ2)(λ2+μ)+λ2(λ1+μ)(λ2+μ1)+μ(λ1+μ2) (λ2+μ1)系統在穩態時的可用度為：

可用度是系統能工作時間與能工作時間、不能工作時間的和之比，是系統的可用性參數。對于一個多狀態系統，如果系統所處狀態不同，產生的收益也不同，僅考慮可用度或將可用度作為目標函數來制定預防性維修方案并不合理。實際生產中，系統的有效生產率往往比可用度更加受關注。為此，本文將有效生產率滿足閾值作為約束條件，以系統的單位時間平均凈收益為目標函數來確定最優預防性維修方案。

3 預防性維修組合模型

3．1 模型假設

為了構建預防性維修組合模型，對系統作如下假設：

（1）系統在正常狀態下的生產率為R(單位時間內生產的產品數)，過程能力指數Cp=Cpk=1，即過程輸出無偏且規范限在±3σ處，其中σ為質量特性的標準差。在狀態1下，系統能夠繼續運行，但生產率減小到r=αR(0＜α＜1)。在狀態2下，系統輸出的生產率不變，但過程處于失控狀態，過程輸出質量特性的均值漂移δσ。此時，生產不合格產品的比率將增多。

（2）正常狀態下生產一件產品的平均獲利為d，產量減少一件的損失為Clp，過程失控時生產一件不合格產品的損失為d1。

（3）為了減小系統故障的發生率，定期對子系統進行預防性維修。預防性維修分為完全預防性維修和不完全預防性維修。不完全預防性維修的作用通常分為減小實際年齡和減小故障率。本文假定預防性維修不能使系統完全修復，但隨著預防性維修次數的增加系統的故障率將降低，即故障率是預防性維修次數的函數，λi=λi(ni)，i=1，2，其中，ni為子系統i在單位時間內的預防性維修次數。

（4）系統在故障狀態1、狀態2、狀態3下單位時間的故障維修費用分別為CCM1、CCM2、CCM3。對子系統i(i=1，2)進行一次預防性維修的費用為CPMi(i=1，2)，預防性維修不影響系統工作且維修時間可以忽略不計。

（5）系統的各類故障能夠被及時發現，并立即維修。系統在故障狀態1或狀態2下的運行時間等于對狀態1或狀態2的維修時間。

3．2 維修組合模型構建

系統在使用期內單位時間平均凈收益等于系統在各狀態下的收益減去預防性維修費用，即目標函數為：

其中，EPj(j=0，1，2，3)為系統處于狀態 j時單位時間的收益，R1為系統的平均有效生產率，p(0＜p＜1)為生產任務完成率的閾值。

本文的目標是在滿足約束條件的前提下，尋找單位時間內對子系統進行預防性維修的次數ni(i=1，2)，使單位時間平均凈收益AE(n)最大。

系統處于狀態0時，工作正常。在該狀態下，單位時間的收益等于生產率乘以單位產品的收益，即EP0=R×d。系統處于狀態1時單位時間的收益等于生產產品的收益減去產量減少的損失再減去故障維修費用，即：

同理，系統處于狀態2時，單位時間的收益等于生產有效產品的收益減去有效產品減少的損失再減去不合格品損失和故障維修費用，即：

其中，IRR為系統處于狀態2時的不合格品率。

在狀態2下產品的不合格品率為：

系統在狀態3下將停止運行，此時立即對系統進行故障維修。因此，系統在該狀態下單位時間的收益為負值，等于停機減產的損失與故障維修費用的和：

系統處于狀態0、狀態1和狀態2時的有效生產率分別為R、r和R×(1-IRR)。因此，系統的平均有效生產率為：

系統在單位時間內的預防性維修費用等于對子系統進行一次預防性維修的費用乘以預防性維修次數，即：

如果不考慮對子系統進行預防性維修，則系統在使用期內單位時間平均凈收益為：

4 數值分析

考慮某系統是由兩個獨立的子系統并聯而成，兩個子系統的故障率與預防性維修次數的關系分別為[10]：λ1(n1)=其中r1=1，r2=1.5。兩個子系統的維修率分別為：μ1=5，μ2=5。

系統在正常狀態下的生產率R=1000，單位產品獲利d=30。當子系統1發生故障時，生產率是正常狀態下的0.9倍，即α=0.9，產量減少單位產品的損失Clp=10。系統的實際平均有效生產率不得低于正常狀態下的0.99倍，即生產任務完成率的閾值p=0.99。當子系統2發生故障時，生產率不發生變化，但過程處于失控狀態，過程均值漂移δσ，其中δ=0.75。失控狀態生產單位不合格品的損失d1=20。系統處于故障狀態1、狀態2、狀態3時單位時間維修費用分別為：CCM1=50，CCM2=60，CCM3=100。對兩個子系統進行一次預防性維修費用分別為：CPM1=10，CPM2=10。

圖2系統可用度與預防性維修次數的關系

根據式（6），系統的可用度與預防性維修次數的關系如圖2所示，由圖知當n1、n2增大時，可用度AV將增大。

圖3單位時間平均凈收益與預防性維修次數的關系

根據式（7），單位時間平均凈收益與預防性維修次數的關系如圖3所示，當n1、n2增大時，單位時間平均凈收益AE(n)先增大然后減小，在n1=14，n2=10時，單位時間平均凈收益AE(n)達到最大值29603.27。此時，系統的可用度AV=0.9980，生產任務完成率

如果不考慮對子系統進行預防性維修，則由式（14）得，單位時間平均凈收益 AE=23637.03，系統的可用度AV=0.8538，生產任務完成率R1/R=0.8426。利用本文模型可以使單位時間平均凈收益增大的比例為×100%=25.24%。同時，系統的可用度和生產任務完成率都將得到大幅度提高。

為了分析子系統故障造成的后果對決策變量的影響，下面分別討論子系統1故障時的生產率和子系統2故障時的均值漂移與最優預防性維修策略、凈收益率、可用度及生產任務完成率之間的關系。具體見表1和表2。

表1 α對預防性維修策略、凈收益率、可用度及生產任務完成率的影響

由表1知，在系統處于狀態1時，隨著生產率的降低，n1將增大，n2減小，單位時間平均凈收益AE(n)減小，系統的可用度AV增大，生產任務完成率減小。

表2 δ對預防性維修策略、凈收益率、可用度及生產完成率的影響

由表2知，在系統處于狀態2時，隨著過程均值漂移率的增加，n1將減小，n2增大，單位時間平均凈收益AE(n)減小，系統的可用度AV增大，生產任務完成率減小。

5 總結

本文討論了存在四種狀態的兩部件并聯系統的預防性維修組合問題。假定兩個子系統的故障對系統的影響分別是降低生產率和增大不合格品率，故障時間和維修時間相互獨立且服從指數分布，利用柯爾莫哥洛夫-切普曼公式構建狀態微分方程。考慮到系統在不同狀態下運行的收益不同，本文將有效生產率滿足閾值作為約束條件，在綜合維修成本和相關損失的基礎上，提出兩部件多狀態系統預防性維修優化模型。數值分析驗證了所提模型的有效性，模型參數對最優預防性維修方案影響的分析表明：

（1）在系統處于狀態1時的生產率越低，對子系統1的預防性維修次數越大，子系統2的預防性維修次數越小，但生產率的改變對子系統1預防性維修次數的影響較大；

（2）統處于狀態2時的均值漂移越大，即不合格品率越大，對子系統1的預防性維修次數越小，子系統2的預防性維修次數越大，但均值漂移對子系統2預防性維修次數的影響較大；

（3）系統的生產率降低或產品不合格率增大，系統的可用度增大，但生產任務完成率卻減小。表明對于多狀態系統，當系統在不同狀態下運行的收益不同時，僅關注可用度是不夠的。

[1]Lad B K,Kulkarni M S.An Expert Based Methodology for Cost Orient?ed Analysis of Machine Tool Reliability[J].International Journal of Performability Engineering,2010,6(2).

[2]Liu Y,Huang H Z.Optimal Replacement Policy for Multi-State Sys?tem Under Imperfect Maintenance[J].IEEE Transactions on Reliabili?ty,2010,59(3).

[3]Sheu S H,Chang C C,Chen Y L.An Extended Sequential Imperfect Preventive Maintenance Model With Improvement Factors[J].Commu?nications in Statistics:Theory and Methods,2012,41(7).

[4]Attia A F,Abou Elela E D,Hosham H A.The Optimal Preventive Maintenance Policy for the Multistate System Profit[J].Communica?tions in Statistics:Theory and Methods,2011,40(23).

（責任編輯/易永生）

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1002-6487（2016）24-0179-04

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