追蹤高考導數涉及的證明問題

寇桂宴● 陳國林●

贛南師范大學科技學院(341000) 安徽省利辛高級中學(236700)

追蹤高考導數涉及的證明問題

寇桂宴● 陳國林●

贛南師范大學科技學院(341000) 安徽省利辛高級中學(236700)

縱觀高考命題，近幾年全國卷關于對導數的考查要求較高，導數問題是中學數學與高等數學相互連接的重要部分，一直充當著高考壓軸題的角色.

通過對全國卷導數試題部分進行分析，近幾年，導數部分結合證明問題考查可謂層出不窮，已經成為高考的一個“大餐”，成為了拉開分數的一個重要部分.如何解決高考導數中的證明問題呢？下面用例題說明.

一、一次求導的基礎證法

例題1 (2015年全國卷2第21題)設函數f(x)=emx+x2-mx.

證明：f(x)在(-∞，0)單調遞減，在(0，+∞)上單調遞增.

解析f′(x)=m(emx-1)+2x.若m≥0，則當x∈(-∞，0)時，emx-1≤0,f′(x)<0；當x∈(0，+∞)時，emx-1≥0，f′(x)>0.若m<0，則當x∈(-∞，0)時，emx-1>0，f′(x)<0；當x∈(0，+∞)時，emx-1<0，f′(x)>0.所以，f(x)在(-∞，0)單調遞減，在(0，+∞)上單調遞增.

評注 一階導數證明問題，屬于導數中的基礎問題，主要根據導函數與0之間的關系來證明函數的單調性的.

二、二次求導的樸實證法

解析 (1)因為f′(x)=-sinx+ax，a∈R,令g(x)=-sinx+ax則g′(x)=-cosx+a，所以當a≥1時，g′(x)≥0，即g(x)在R上單調遞增.又g(0)=0，所以當x∈[0,+∞)上為增函數，在(-∞,0)上為減函數，又f(0)=0，所以當x∈[0,+∞)時，f(x)≥0，當x∈(-∞,0)時，f(x)>0，故f(x)≥0對x∈R恒成立，即當a≥1時，f(x)≥0，當且僅當x=0時，f(x)=0，故當a≥1時，f(x)有唯一零點.

綜上，若f(x)≥0時，a的取值范圍為[1,+∞).

評注 二次求導的原因主要是在一次求導后無法判斷極值點或者極值點的判斷相對比較復雜，另外在題目的設置中一般二次求導后對于一階導數都具有單調性.

三、不可忽視的數學歸納證法

(1)討論函數G(x)=f(x)-g(x)的單調性；

評注 數學歸納法在證明題中一直扮演著不可或缺的地位，在導數中通常情況下如果遇到與數列結合的時候，數學歸納法證明會顯得相對明了.因此在遇到證明題的時候不可忘卻數學歸納法，因為在閱卷中是根據解題步驟得分，相比之下其可以讓你多獲分.

四、構造函數的巧妙證法

(2)在(1)中當a=0時，函數y=f(x)的圖象上任意不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)，線段AB的中點為C(x0,y0)，記直線AB的斜率為k，試證明：k>f′(x0)．

(2)證明：當a=0時，f(x)=lnx.

∴h(x)在[1,+∞)上為增函數.

評注 構造函數的方法也是導數壓軸題常考的內容之一.在利用構造函數時一般使用于變形構造函數證明不等式和替換構造不等式證明不等式.

五、放縮法的機智證法

例題5 (2016年安慶二模)已知函數f(x)=lnx+ax，a∈R.

(1)討論函數f(x)的單調性；

(1)a≥0時,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上單調增；

(2) ∵lnx1+ax1=0,lnx2+ax2=0,∴lnx2-lnx1=a(x1-x2).

評注 利用放縮法在求解導數問題時一直扮演著較難的角色.在導數中的放縮可根據最值點進行放縮，這時題目一般會將函數設置為在某區間的單調函數.

六、數學思想的綜合證法

例題6 (2016年福建省寧德質檢)已知函數f(x)=(x-k-1)ex．

(1)當x>0時，求f(x)的單調區間和極值；

(2)若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2<2k．

解析 (1)f′(x)=(x-k)ex,x>0.(ⅰ)當k≤0時，f′(x)>0恒成立,∴f(x)的遞增區間是(0，+∞)，無遞減區間,無極值. (ⅱ)當k>0時，由f′(x)>0,得x>k,由f′(x)<0得0

(2)由已知f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，結合(Ⅰ)可知k>0,f(x)在(-∞,k)上單調遞減，在(k,+∞)上單調遞增.又f(k+1)=0，xk，2k-x1>k，故要證x1+x2<2k，只要證2k-x1>x2，只要證f(2k-x1)>f(x2).因f(x1)=f(x2)，即證f(2k-x1)>f(x1).

評注 本題主要考查化歸與轉化思想、函數與方程的思想、分類整合思想、數形結合思想．綜合了函數、導數、不等式等基本知識；考查運算求解能力、推理論證能力.因此在解決這類綜合性導數問題，如果能夠利用數學思想對問題分析求解將會大大降低求解難度.

在求解導數壓軸題時，需要在平時的基礎上善于總結發現解題規律，才能以不變應萬變來求解導數證明問題.善于利用數學思想去解決數學問題將會提高數學的解題能力和速度，因此在學習過程中要善于運用數學思想去求解各類問題.

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1008-0333(2016)34-0014-02