導數題中蘊含高數方法

朱小扣●

安徽省無為縣牛埠中學(238351)

導數題中蘊含高數方法

朱小扣●

安徽省無為縣牛埠中學(238351)

導數題目在高考題中占有重要的份量，而導數題目的解決很多時候會用到高等數學里的函數極限的定義，洛必達法則，羅爾定理，拉格朗日中值定理，琴生不等式等知識.現將平時教學幾則案例導數題中蘊含高數方法分析如下.

案例一：與函數極限定義的聯系

(2014年福建卷理20題)已知函數f(x)=ex-ax(a為常數)的圖象與y軸交與點A，曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1.

(1)求a的值及函數f(x)的極值；

(2)證明：當x>0時，x2

(3)證明：對任意給定的正數c,總存在x0，使得當x0∈(x0,+∞)時，恒有x2

評析 對于第(3)小問，筆者在教學時，同學們都問我為什么會有兩個參數c和x0,為什么關鍵是找x0.筆者回去仔細琢磨了一下，實際上第(3)小問關鍵是運用函數極限的定義，就很好理解了.由函數的定義可知：

案例二：與羅爾定理的聯系

(2014年四川卷理21題)已知函數f(x)=ex-ax2-bx-1，其中a,b∈R,e=2.71828…為自然對數的底數.

評析 對于第(2)小問,高考命題組給的參考答案很多同學反映看不懂，我覺得參考答案對高中學生而言，確實有一定難度，我覺得這一題如果用羅爾定理，就很簡單：

至此，問題得到了簡單的轉化，很容易就能解決，后面的過程在這里就不再贅述了.

案例三：與拉格朗日中值定理的聯系

(1)當m=e時，求f(x)的最小值；

案例四：與洛必達法則的聯系

例題 當x>0時，ex≥-x2+bx+1恒成立，求b的取值范圍.

解 當x>0時，ex≥-x2+bx+1恒成立.

這種方法使用變量分離和洛必達法則，直接準確地能得到題目的答案，避免了分類討論的繁瑣，與之類似題還有2010年大綱卷理科22題，2011年新課標理21題等.

總結 教師在傳授導數的知識時，一定要多想想這題的本源是什么，這一題蘊藏了哪些高數知識，可以和大學中的哪些定理定義有聯系.只有教師居高臨下，才能觀若洞火，才能更好地引導學生去學習，才能達到自身水平的提高.同樣學生在學習導數時，如果可以適當地學習一些高數知識，就更可以“一覽眾山小”，就更可以一招制敵，秒殺諸題！

G632

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1008-0333(2016)34-0004-01