導(dǎo)數(shù)題中蘊(yùn)含高數(shù)方法

朱小扣●

安徽省無為縣牛埠中學(xué)(238351)

導(dǎo)數(shù)題中蘊(yùn)含高數(shù)方法

朱小扣●

安徽省無為縣牛埠中學(xué)(238351)

導(dǎo)數(shù)題目在高考題中占有重要的份量，而導(dǎo)數(shù)題目的解決很多時(shí)候會(huì)用到高等數(shù)學(xué)里的函數(shù)極限的定義，洛必達(dá)法則，羅爾定理，拉格朗日中值定理，琴生不等式等知識(shí).現(xiàn)將平時(shí)教學(xué)幾則案例導(dǎo)數(shù)題中蘊(yùn)含高數(shù)方法分析如下.

案例一：與函數(shù)極限定義的聯(lián)系

(2014年福建卷理20題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交與點(diǎn)A，曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為-1.

(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；

(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，x2

(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在x0，使得當(dāng)x0∈(x0,+∞)時(shí)，恒有x2

評(píng)析 對(duì)于第(3)小問，筆者在教學(xué)時(shí)，同學(xué)們都問我為什么會(huì)有兩個(gè)參數(shù)c和x0,為什么關(guān)鍵是找x0.筆者回去仔細(xì)琢磨了一下，實(shí)際上第(3)小問關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)極限的定義，就很好理解了.由函數(shù)的定義可知：

案例二：與羅爾定理的聯(lián)系

(2014年四川卷理21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-bx-1，其中a,b∈R,e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

評(píng)析 對(duì)于第(2)小問,高考命題組給的參考答案很多同學(xué)反映看不懂，我覺得參考答案對(duì)高中學(xué)生而言，確實(shí)有一定難度，我覺得這一題如果用羅爾定理，就很簡單：

至此，問題得到了簡單的轉(zhuǎn)化，很容易就能解決，后面的過程在這里就不再贅述了.

案例三：與拉格朗日中值定理的聯(lián)系

(1)當(dāng)m=e時(shí)，求f(x)的最小值；

案例四：與洛必達(dá)法則的聯(lián)系

例題 當(dāng)x>0時(shí)，ex≥-x2+bx+1恒成立，求b的取值范圍.

解 當(dāng)x>0時(shí)，ex≥-x2+bx+1恒成立.

這種方法使用變量分離和洛必達(dá)法則，直接準(zhǔn)確地能得到題目的答案，避免了分類討論的繁瑣，與之類似題還有2010年大綱卷理科22題，2011年新課標(biāo)理21題等.

總結(jié) 教師在傳授導(dǎo)數(shù)的知識(shí)時(shí)，一定要多想想這題的本源是什么，這一題蘊(yùn)藏了哪些高數(shù)知識(shí)，可以和大學(xué)中的哪些定理定義有聯(lián)系.只有教師居高臨下，才能觀若洞火，才能更好地引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)，才能達(dá)到自身水平的提高.同樣學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)，如果可以適當(dāng)?shù)貙W(xué)習(xí)一些高數(shù)知識(shí)，就更可以“一覽眾山小”，就更可以一招制敵，秒殺諸題！

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1008-0333(2016)34-0004-01