淺談高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的解題方法

鄭智源●

湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)(419300)

淺談高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的解題方法

鄭智源●

湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)(419300)

“三角函數(shù)”是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一.本文將結(jié)合幾例經(jīng)典例題，統(tǒng)括一下三角函數(shù)的解題思路和技巧.

高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；題型

一、三角函數(shù)中“倍角公式”的關(guān)系運(yùn)用

例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

點(diǎn)評(píng) 題中運(yùn)用到了正弦余弦的轉(zhuǎn)換和二倍角公式的變化運(yùn)用.熟記基本公式深入了解公式之間的變式關(guān)系，能夠靈活運(yùn)用公式才是解題的關(guān)鍵.

二、三角函數(shù)中的“切、弦”的交換運(yùn)用

點(diǎn)評(píng) 題中應(yīng)用了切割化弦將正切函數(shù)化為正弦、余弦函數(shù)，又巧妙逆用了和角公式sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα，二倍角公式sin2θ=2sinθcosθ，誘導(dǎo)公式.所以運(yùn)用基本公式解答三角函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)該清楚審題，對(duì)已知條件仔細(xì)分析，將公式的變換結(jié)合問(wèn)題，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明了化.思路清晰了，難題就不難了.

三、逆用“倍角公式”降冪的巧妙運(yùn)用

點(diǎn)評(píng) 解題的關(guān)鍵在于巧妙地逆用了二倍角公式對(duì)冪函數(shù)進(jìn)行降冪.在遇到求解升降冪的函數(shù)時(shí)，均可嘗試逆順運(yùn)用二倍角公式使三角函數(shù)進(jìn)行升降次，從而化簡(jiǎn)函數(shù)來(lái)求證求值.

四、總結(jié)一些解題思路和解題技巧

1.形式轉(zhuǎn)換法 形式轉(zhuǎn)換法是在解三角函數(shù)題時(shí)，時(shí)常運(yùn)用的一種方法.例如：將含“切函數(shù)和弦函數(shù)”的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為含有單一弦函數(shù)或切函數(shù)；當(dāng)有已知角時(shí)，可將多個(gè)三角函數(shù)轉(zhuǎn)換成單有已知角或易求角的函數(shù)式，再代入求值；有冪函數(shù)時(shí)可運(yùn)用倍角公式進(jìn)行升冪或降冪的轉(zhuǎn)換；同時(shí)也可以運(yùn)用基本公式將一些特殊形式函數(shù)簡(jiǎn)化為一般形式函數(shù).

2.換元解題法 換元解程法是通過(guò)引用一些特殊形式的變量將原有變量進(jìn)行替換，從而達(dá)到改變?cè)蓄}型結(jié)構(gòu)使題型簡(jiǎn)單化的過(guò)程.這種巧妙簡(jiǎn)化題型，使難題輕松解答，可讓我們?cè)诮忸}過(guò)程中達(dá)到事半功倍的效果.

3.簡(jiǎn)化方程求函數(shù)法 函數(shù)和方程在數(shù)學(xué)中是兩個(gè)不同的概念，但是它們又有著密切的聯(lián)系，相互滲透.通常一些函數(shù)的求解，往往需要先簡(jiǎn)化方程式.將方程轉(zhuǎn)換為一定形式的時(shí)候，函數(shù)的問(wèn)題就簡(jiǎn)單明了化了.對(duì)于函數(shù)中的變量與參數(shù)之間的一些關(guān)系，我們可以通過(guò)簡(jiǎn)化的函數(shù)方程式的值的范圍，可得出.函數(shù)方程同樣也是解題的一種思路.

4.分類(lèi)分析討論法 有時(shí)在一些三角函數(shù)的解題過(guò)程中，由于象限的不同，三角函數(shù)的性質(zhì)和公式都要發(fā)生變化.這時(shí)必須分開(kāi)討論、分象限分析.在什么范圍內(nèi)，適用何種公式和值范圍，再分類(lèi)計(jì)算.這便是分類(lèi)分析討論法.

5.圖形相互結(jié)合法 圖形是一種比較直觀(guān)的表現(xiàn)方法.在三角函數(shù)的運(yùn)用過(guò)程中，有時(shí)不好把握三角函數(shù)值的范圍，對(duì)三角函數(shù)求值比較困難.這時(shí)運(yùn)用圖形的表達(dá)，有利于直觀(guān)準(zhǔn)確把握值的范圍，和要求變量范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的大小.這樣不僅可以簡(jiǎn)化解題思想，更能節(jié)省時(shí)間，對(duì)題目表達(dá)思想全面把握，是一種非常實(shí)用的解題方法.

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