高中數(shù)學(xué)極限問(wèn)題解題的常用方法

曹 軍●

江蘇省豐縣中學(xué)(221700)

高中數(shù)學(xué)極限問(wèn)題解題的常用方法

曹 軍●

江蘇省豐縣中學(xué)(221700)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容較多較復(fù)雜.其中極限問(wèn)題是高中教學(xué)中的難點(diǎn)，極限思想在多種數(shù)學(xué)問(wèn)題中都有應(yīng)用，因此熟練掌握高中數(shù)學(xué)極限問(wèn)題的解法非常重要.

一、數(shù)列中的極限問(wèn)題

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，其中很多題目需要借助極限思想來(lái)進(jìn)行解決.數(shù)列的解題過(guò)程用一般方法都比較復(fù)雜，并且解題過(guò)程很難理解，但通過(guò)極限思想的應(yīng)用，能夠簡(jiǎn)化解題過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生更輕松的理解和解答.數(shù)列的學(xué)習(xí)中，需要學(xué)生首先掌握等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式等，然后教師需要讓學(xué)生接觸更多關(guān)于等差數(shù)列的各種變形的題目，從而接觸數(shù)列中更加深入的內(nèi)容.如題1，已知{an}是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=31，公差d=-8，求此數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值，并確定n的值.針對(duì)這種類型的題目，在解答時(shí)首先應(yīng)清楚題目中給出的公差是負(fù)數(shù)，因此在求解的過(guò)程中如果是求前n項(xiàng)和的最大值，首先應(yīng)找到變成負(fù)數(shù)的項(xiàng)，由此可以找出n的值.這個(gè)題目的求n的過(guò)程中，n就是一個(gè)極值，通過(guò)教材學(xué)習(xí)可以得知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d，通過(guò)計(jì)算可知，a4=7，a5=-1，這樣可以得知當(dāng)n=4時(shí)，Sn此時(shí)為最大值.極值在數(shù)列中的應(yīng)用能夠巧妙化解數(shù)列問(wèn)題的難點(diǎn)，使得復(fù)雜的數(shù)列變得更加簡(jiǎn)單，也讓學(xué)生能夠掌握更加簡(jiǎn)便的解題方法.

二、函數(shù)中的極限問(wèn)題

三、幾何中的極限問(wèn)題

幾何部分中也有很多涉及極限思想的問(wèn)題，通過(guò)巧用極限簡(jiǎn)化解題步驟，教師在進(jìn)行幾何的教學(xué)中，尤其是在講解一些求面積、體積等的問(wèn)題中，可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)極限思想進(jìn)行思考，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決幾何中的極限問(wèn)題.如幾何中常用的三角形三邊之間的和差關(guān)系，兩點(diǎn)之間線段最短的原則，定點(diǎn)和定直線之間垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，這些知識(shí)點(diǎn)延伸的幾何問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化成極限問(wèn)題，通過(guò)極限思想來(lái)解決.

如題3，現(xiàn)有一個(gè)圓柱形的圓桶如圖1，已知圓桶的底面的周長(zhǎng)是15厘米，高是10厘米，在桶內(nèi)壁距離桶底4厘米的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜.而在距離桶上沿4厘米的點(diǎn)A處有一個(gè)蜜蜂，問(wèn)蜜蜂到達(dá)蜂蜜處最短距離是多少？通過(guò)分析這個(gè)問(wèn)題可知，這個(gè)題目考查的知識(shí)點(diǎn)是兩點(diǎn)之間的最近距離.通過(guò)將桶的側(cè)面展開(kāi)，這個(gè)問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化成求極值的問(wèn)題，簡(jiǎn)化了問(wèn)題解決的過(guò)程.對(duì)于這種類型的題目，需要對(duì)題干進(jìn)行分析，將其簡(jiǎn)化成單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題，將幾何圖形的問(wèn)題簡(jiǎn)化成能夠通過(guò)數(shù)字運(yùn)算簡(jiǎn)便解決的題目，從而提高學(xué)生解題的效率.又如題4，求正三棱錐兩側(cè)面所形成的二面角的范圍.常規(guī)解題方法是首先構(gòu)造一個(gè)二面角的平面角，然后引入很多變量來(lái)求三角函數(shù)值的范圍，通過(guò)三角函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決，這種解題過(guò)程比較復(fù)雜，并且涉及很多內(nèi)容，學(xué)生在解題時(shí)容易出錯(cuò)，又不好理解.但通過(guò)記正三棱錐為A-BCD，然后令A(yù)趨向無(wú)限遠(yuǎn)，來(lái)觀察分析三棱柱兩側(cè)面ABC與ABD所成的角，分析其范圍，從而得出結(jié)果.

四、不等式中的極限問(wèn)題

總之，極限思維在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比較廣泛，教師在教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的極限思維，讓學(xué)生能夠熟練掌握高中數(shù)學(xué)極限問(wèn)題的解決方法，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，讓學(xué)生能夠更加輕松愉快地學(xué)習(xí).

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