質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的概率題

蔡 明●

浙江省諸暨市浬浦中學(xué)(311824)

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的概率題

蔡 明●

浙江省諸暨市浬浦中學(xué)(311824)

在解排列組合與概率題時(shí)常可遇到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.由于這類(lèi)問(wèn)題以考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及邏輯思維能力為主，相對(duì)而言基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生就有一定的難度.本文借用一高考題拋磚引玉.

高考題：設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，經(jīng)過(guò)5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)(3，0)(允許重復(fù)過(guò)此點(diǎn))處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有____種.(用數(shù)字作答)

本題考查了學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，考查計(jì)數(shù)原理，排列組合的基本意義，分類(lèi)討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及對(duì)背景新奇問(wèn)題的理解中所表現(xiàn)出來(lái)的不同思維品質(zhì)、思維能力.本題可用兩種方法進(jìn)行求解.

方法一 (分類(lèi)討論)第一次跳動(dòng)落在(1,0)回頭跳有1種，第二次跳動(dòng)落在(-1,0)再回頭有1種，經(jīng)過(guò)(2,0)，(3,0)，(4,0)落在(3,0)有3種，計(jì)5種.

而事實(shí)上從試題評(píng)析報(bào)告來(lái)看本題的得分不是很理想.我想這也說(shuō)明我們學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題還是顯得有點(diǎn)為難.為了能更好地讓我們掌握質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，筆者借此對(duì)此高考題作些演變，與同行一起探討.高考題只是讓我們求出滿(mǎn)足條件的種數(shù)，與排列組合問(wèn)題進(jìn)行結(jié)合，如若加以演變不但可與排列組合結(jié)合，而且也可融入概率知識(shí).

演變一 指定向左、向右的概率

分析 求出經(jīng)過(guò)5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)A落在點(diǎn)(3，0)(允許重復(fù)過(guò)此點(diǎn))處的概率，也就是要明確左右的次數(shù)問(wèn)題.根據(jù)方法二可知：向右方向跳動(dòng)4次，向左方向跳動(dòng)1次.

演變二 質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加為2個(gè)

分析 將質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加為兩個(gè)，提高了問(wèn)題的分析難度.可將題目運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.

根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式可得，

演變?nèi)?質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向限制

分析 將質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向加以限制，不能向上述題目一樣可用組合問(wèn)題進(jìn)行求解.此類(lèi)還需有一定的邏輯分析能力，但可轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，即經(jīng)n秒后質(zhì)點(diǎn)A在x=1處的概率Pn，可由經(jīng)n-1秒質(zhì)點(diǎn)A在x=1處的概率Pn-1與不在x=1處的概率1-Pn-1來(lái)表示.

演變四 質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)與運(yùn)動(dòng)方向都增加

(2)結(jié)合上圖可知至少經(jīng)過(guò)2秒就可相遇，地點(diǎn)可在C(0,2),O(1,1),E(2,0).

從上面幾個(gè)題目的求解中可以看出對(duì)于概率類(lèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的求解，不但要能正確分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程或運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而且也要能區(qū)分基本的計(jì)數(shù)原理，以及正確選用基本概率計(jì)算公式.

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