一道力學(xué)題的趣味變形

彭立君●

湖南省岳陽市第一中學(xué)(414000)

一道力學(xué)題的趣味變形

彭立君●

湖南省岳陽市第一中學(xué)(414000)

原型題 如圖1所示，豎直放置的圓環(huán)最高點(diǎn)為P，從P點(diǎn)向圓環(huán)上各點(diǎn)搭建三條光滑的直軌道PA、PB、PC，物體從P點(diǎn)靜止釋放，分別沿軌道運(yùn)動到A、B、C三點(diǎn)經(jīng)歷的時間為tA、tB、tC，比較tA、tB、tC的大小關(guān)系.

分析 取物體沿PC桿運(yùn)動研究，設(shè)PC桿與豎直方向直徑夾角位θ，則a=gcosθ，s=2Rcosθ

時間與θ角無關(guān)，則tA=tB=tC

結(jié)論：從豎直放置的圓環(huán)頂點(diǎn)沿光滑弦到達(dá)圓環(huán)上各點(diǎn)的時間相等(從豎直放置的圓環(huán)上各店沿光滑弦到達(dá)圓環(huán)最等低點(diǎn)的時間)

變型1：如圖2所示，從傾角為θ的斜面外一點(diǎn)P搭建一系列光滑軌道到達(dá)斜面上，欲使物體從P點(diǎn)靜止出發(fā)到達(dá)斜面的時間最短，問軌道與豎直方向的夾角α為多少？

分析 根據(jù)上題結(jié)論，可以過P點(diǎn)作一圓，P為圓的最高點(diǎn)，圓與斜面相切于一點(diǎn)M，則物體從P到M點(diǎn)的時間小于物體到達(dá)斜面上任意一點(diǎn)的時間.

如圖3所示，沿PN軌道到達(dá)斜面上N點(diǎn)時間最短.

根據(jù)幾何關(guān)系易知，ON與豎直方向的夾角為θ，即

變形2：如圖4所示，從圓外一點(diǎn)P向圓環(huán)上各點(diǎn)搭建光滑的軌道，使物體從P點(diǎn)沿軌道靜止出發(fā)到達(dá)圓環(huán)上，求物體到達(dá)圓環(huán)的最短時間.(已知：圓環(huán)半徑為R，P點(diǎn)到地面的距離為H，PO之間的水平距離為d)

這是一道競賽備用題，直接處理有較大的難度，但是，有了上面的問題鋪墊之后，就變成了簡單的作圖題了.

分析 根據(jù)上面的結(jié)論，過P點(diǎn)作一圓，P為圓的最高點(diǎn)，圓與圓環(huán)O相切與M點(diǎn)，則物體從P點(diǎn)到M點(diǎn)的運(yùn)動時間最短.

圖5所示，設(shè)圓O′半徑為r，由圖中幾何關(guān)系知：

在ΔOO′C中，有

OC2+O′C2=O′O2

即d2+(H-R-r)2=(R+r)2

從P到達(dá)M點(diǎn)的時間等于從P點(diǎn)沿豎直直徑做自由落體的時間.

變形3：如圖6所示，從豎直放置的圓環(huán)上左側(cè)一點(diǎn)P向右側(cè)偏P點(diǎn)下方搭建三條光滑軌道PA、PB、PC，物體從P點(diǎn)靜止出發(fā)到達(dá)A、B、C三點(diǎn)的時間分別為tA、tB、tC，比較tA、tB、tC的大小關(guān)系.

粗看跟上面三個問題有較大的區(qū)別，能否轉(zhuǎn)換成類似問題求解呢？

分析：根據(jù)上面的問題我們知道，豎直圓環(huán)上最高點(diǎn)沿光滑弦到圓環(huán)上的一點(diǎn)的時間等于物體從最高點(diǎn)沿豎直直徑到達(dá)最低點(diǎn)的時間.PA、PB、PC是否對應(yīng)了三個不同的圓半徑呢？以P為豎直平面內(nèi)的圓的最高點(diǎn)分別過A、B、C作圓，比較對應(yīng)圓半徑的大小，就可以知道運(yùn)動時間的長短.

如圖7所示，過P點(diǎn)作圓O的直徑，交圓O于P′，過P點(diǎn)作豎直線PM，連接AP′并延長于PM交于A′，則ΔPAA′為直角三角形，即PA′為ΔPAA′的外接圓直徑，且A′P在豎直方向，P為外接圓的最高點(diǎn).

同理可作PB′、PC′，易知PA′>PB′>PC′，即tA>tB>tC

題目之間粗看有較大的差別，仔細(xì)思考卻是很有聯(lián)系，復(fù)雜的問題也是由簡單的問題經(jīng)過組合、疊加、條件變換等方法變形而來.

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