一道力學題的趣味變形

彭立君●

湖南省岳陽市第一中學(414000)

一道力學題的趣味變形

彭立君●

湖南省岳陽市第一中學(414000)

原型題 如圖1所示，豎直放置的圓環最高點為P，從P點向圓環上各點搭建三條光滑的直軌道PA、PB、PC，物體從P點靜止釋放，分別沿軌道運動到A、B、C三點經歷的時間為tA、tB、tC，比較tA、tB、tC的大小關系.

分析 取物體沿PC桿運動研究，設PC桿與豎直方向直徑夾角位θ，則a=gcosθ，s=2Rcosθ

時間與θ角無關，則tA=tB=tC

結論：從豎直放置的圓環頂點沿光滑弦到達圓環上各點的時間相等(從豎直放置的圓環上各店沿光滑弦到達圓環最等低點的時間)

變型1：如圖2所示，從傾角為θ的斜面外一點P搭建一系列光滑軌道到達斜面上，欲使物體從P點靜止出發到達斜面的時間最短，問軌道與豎直方向的夾角α為多少？

分析 根據上題結論，可以過P點作一圓，P為圓的最高點，圓與斜面相切于一點M，則物體從P到M點的時間小于物體到達斜面上任意一點的時間.

如圖3所示，沿PN軌道到達斜面上N點時間最短.

根據幾何關系易知，ON與豎直方向的夾角為θ，即

變形2：如圖4所示，從圓外一點P向圓環上各點搭建光滑的軌道，使物體從P點沿軌道靜止出發到達圓環上，求物體到達圓環的最短時間.(已知：圓環半徑為R，P點到地面的距離為H，PO之間的水平距離為d)

這是一道競賽備用題，直接處理有較大的難度，但是，有了上面的問題鋪墊之后，就變成了簡單的作圖題了.

分析 根據上面的結論，過P點作一圓，P為圓的最高點，圓與圓環O相切與M點，則物體從P點到M點的運動時間最短.

圖5所示，設圓O′半徑為r，由圖中幾何關系知：

在ΔOO′C中，有

OC2+O′C2=O′O2

即d2+(H-R-r)2=(R+r)2

從P到達M點的時間等于從P點沿豎直直徑做自由落體的時間.

變形3：如圖6所示，從豎直放置的圓環上左側一點P向右側偏P點下方搭建三條光滑軌道PA、PB、PC，物體從P點靜止出發到達A、B、C三點的時間分別為tA、tB、tC，比較tA、tB、tC的大小關系.

粗看跟上面三個問題有較大的區別，能否轉換成類似問題求解呢？

分析：根據上面的問題我們知道，豎直圓環上最高點沿光滑弦到圓環上的一點的時間等于物體從最高點沿豎直直徑到達最低點的時間.PA、PB、PC是否對應了三個不同的圓半徑呢？以P為豎直平面內的圓的最高點分別過A、B、C作圓，比較對應圓半徑的大小，就可以知道運動時間的長短.

如圖7所示，過P點作圓O的直徑，交圓O于P′，過P點作豎直線PM，連接AP′并延長于PM交于A′，則ΔPAA′為直角三角形，即PA′為ΔPAA′的外接圓直徑，且A′P在豎直方向，P為外接圓的最高點.

同理可作PB′、PC′，易知PA′>PB′>PC′，即tA>tB>tC

題目之間粗看有較大的差別，仔細思考卻是很有聯系，復雜的問題也是由簡單的問題經過組合、疊加、條件變換等方法變形而來.

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1008-0333(2016)34-0057-01