“極限思想”巧妙破解超越函數圖像客觀題

曾光

綜觀高考數學試題中，經常會出現一道超越函數的圖像客觀題，難度中等，但往往令同學們感到比較頭疼.為什么呢？原因是這類題沒什么規律可循，題風十分飄忽，不好捉摸.如2016年全國高考1卷理數第7題.題目如下：

【2016年全國卷理7】函數y=2x2-e|x|在[–2，2]的圖像大致為（ ）

【評析】本題的得分率較低，很容易選錯.首先，不少同學考慮用特殊值法，將x=0代入，發現沒有作用，繼而把x=2代入，得y=8-e2，部分同學記得e≈2.7，求得y>0，排除了A.而剩下的B，C，D就沒有什么辦法去篩選了.包括常用的函數性質奇偶性和單調性也不起作用.很多同學這時候已經束手無策了！這時我們可以研究一下函數的導數，當x>0時，y′=4x-ex，由y=4x和y=ex的圖像可知有兩個交點，即當x>0時，y有兩個極值點，第一個介于0.5～1之間，因此選B.

實際上，超越函數的圖像客觀題看起來沒有規律，然而通過探索發現，基本可以通過以下三步去解決：

第一. 用函數的奇偶性和單調性（導數）進行篩選.

第二. 代入特殊值進行篩選.常代x=0和x=1.

第三. 用“極限”的思想去篩選.

注意：1.以上三步并無固定的順序，可根據題目的特點靈活選擇先用哪一步，后用哪一步.

2. 第一和第二步是同學都較熟悉的方法，接下來重點幫助大家掌握第三步，即如何運用“極限思想”去篩選，熟悉掌握后往往收到十分奇妙的效果.請看以下例題：

示例1. 函數f（x）=2x-tanx在（-，）上的圖像大致為（ ）

【評析】法一：奇偶性方面考慮，易知函數為奇函數，從而排除B，C. 單調性方面：f′（x） =2-=2-==，當x∈（0， ），令f′（x） >0，得x∈（0， ），因此單調遞增區間為x∈（0， ），單調遞減區間為x∈（， ），從而排除選項A，得到答案為D.

法二：然而當我們用極限的思想去研究時，則解決問題更為快捷：當x 無限趨近于時，tanx 趨近于正無窮大，2x趨近于π，這時f（x）=2x-tanx 趨近于負無窮大，從而排除A，B. 同理，當x 無限趨近于-時，2x 趨近于-π，tanx 趨近于負無窮大，這時f（x） =2x-tanx 趨近于正無窮大，從而排除選項C，答案為D.

比較以上兩種解法，用極限的方法的優點是用時短、運算量少、正確率高.

示例2. 函數y=的圖像大致為（ ）

【評析】用極限方法，先考慮當x無限趨近于正無窮大時，3x 趨近于正無窮大，-1≤sin（+4x）≤1，9x也趨近于正無窮大且比3x 增長得快，因此趨近于零，從而排除選項C. 然后考慮當x從右邊無限趨近于零時，3x趨近于1，sin（+4x）趨近于—1，9x趨近于1，因此3xsin（+4x）趨近于—1，9x-1趨近于零，因此趨近于負無窮大，從而排除選項A，D. 答案為B.

本題也可以通過考慮奇偶性和單調性等性質解題，但過程較為復雜，運算量較大，用時較長，不如用極限方法快捷簡單.請同學們動手體會一下.

示例3. 函數f（x）=2x+sinx的部分圖像可能是（ ）

【評析】用極限方法，先考慮當x無限趨近于正無窮大時，2x趨近于正無窮大，-1≤sinx≤1，因此2x+sinx趨近于正無窮大，從而排除選項B，C. 然后考慮當x從右邊無限趨近于零時，2x趨近于零且大于零，sinx也趨近于零且大于零，因此f（x）=2x+sinx趨近于零且大于零，從而排除選項D，答案為A. 以上方法運算量接近于零，用時少，優勢十分突出.

示例4. 函數y=的圖像大致為（ ）

【評析】用極限方法，先把函數進行變形：y==，然后考慮當x無限趨近于正無窮大時，e2x趨近于正無窮大，y=趨近于1，因此排除選項B，D. 再考慮當x無限趨近于零，e2x趨近于1，e2x+1趨近于2，e2x-1趨近于零，因此y=趨近于無窮大. 排除選項C，答案為A.

【總結】1. 極限方法比傳統方法有明顯優勢，同學們應熟練掌握操作步驟，優先考慮，可以起到節省時間和提高正確率的作用.

2. 極限方法和傳統方法并不沖突，而是相輔相成的關系，在解題中可以靈活選用，達到取長補短的目的.

責任編輯 徐國堅