例談校本作業中開放題的設置策略

（連江文筆中學，福建福州350500）

例談校本作業中開放題的設置策略

陳維樂

（連江文筆中學，福建福州350500）

在日常教學中，為更好地開拓學生思維的廣闊性和發散性，培養學生的創新意識，需要教師在校本作業中設置一定量的數學開放題。本文通過若干個實例闡述了數學開放題在校本作業中設置策略，以及它在提升學生思維水平方面的作用。

數學開放題；校本作業；思維；案例

一、兩個概念

1.數學開放題

戴再平對數學開放題給出了一個描述性的界定：數學開放題是指那些答案不唯一，并在設問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的數學問題。

2.校本作業

所謂校本作業，是指教師從所在校的生源具體情況出發，結合學校師資的傳統優勢，所開發或者選編出來，能很好體現本校特色且適合學情的作業。

二、研究的意義

作業是教育活動的一個重要組成部分，它既是教師教學活動的一個重要環節，又是學生對所學知識進行鞏固的有效途徑。但目前數學作業長期被封閉題所霸占，鮮見開放題，這種單一的題目模式不利于學生創新意識的培養。而數學開放題具有“條件可以冗余或不足；答案不要求唯一確定，甚至可以無終極的答案；解題方法可以豐富多樣”等特點，它能給學生提供廣闊的平臺，讓他們充分發揮創造性。因而，數學開放題很好地彌補了現階段校本作業中封閉有余、開放不足的缺憾，讓校本作業在開拓學生思維的廣闊性和發散性方面發揮更大的作用。

三、開放題設置策略

在校本作業中設置一定量的數學開放題是有意義的，我們該如何設置，在哪些環節設置？下面筆者著重從校本作業中常見的幾個環節的設置策略和作用，結合實例予以闡述。

1.用在新課引入環節

通過設置開放問題，展開討論，逐步引入新課課題，是新課引入常見的一種形式，但常常因為一些知識學習時間間隔過久而冷場，或因為問題的開放性較大，學生參與的“熱情”過度，導致教師無法很好地掌控課堂教學進程，完成預定教學任務。針對這一問題，筆者在某些需要大量討論的課嘗試將引入環節前置，即在課前布置預習作業，以期更好地掌控課堂教學進程。例如在學習《正弦定理》前筆者以開放題的形式布置了一道預習作業：

【例1】一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素。初中我們已經學習過關于三角形中這些元素的哪些關系？你能對此進行分類嗎？

該設問類似于頭腦風暴，若放在課堂上討論，必將占用較多的時間。由于將引入環節前置，上課時筆者在學生匯報后，給予了簡單點評，歸納出如下五個關系：①三角形內角和等于180°（對一般三角形中角與角關系的定量刻畫）；②大邊對大角，大角對大邊（對一般三角形中邊與角關系的定性刻畫）；③兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊（對一般三角形中邊與邊關系的定性刻畫）；④勾股定理及其逆定理（對特殊三角形中邊與邊關系的定量刻畫）；⑤銳角的三角函數（對特殊三角形中邊與角關系的定量刻畫）。通過歸納，引導學生明確已做過的研究工作——特殊三角形中邊與邊、邊與角的定量刻畫，這時再提出“能否對任意三角形中邊與角的關系進行定量刻畫呢？”引入課題就顯得水到渠成了。接著，在討論銳角三角形和鈍角三角形情形（未研究過的）時，可自然地通過作高將三角形化歸為兩個直角三角形（已研究過的）進行研究。

這樣的處理，既保留了探究新定理所需要的觀察、分析、類比、歸納、推理，又讓課堂教學進程變得更加可控。

2.用在新知鞏固環節

新學了一個知識點，需要一系列多層次的作業進行鞏固，加深對新知的理解。對于定義、概念，我們需要對其辨析，弄清關鍵詞；對于定理、公式，我們常常關注該定理或公式使用有何前提條件，適用于什么樣的問題。在設置作業時，除了機械記憶，還應設置反例辨析（如判斷題），或者應用小綜合（如開放題），追求對新知本質的理解。筆者在《正弦定理》課后設置了這樣一道開放題。

【例2】在△ABC中，給出如下條件：

①a=6；②c=3+1；③A=60°；④B=45°。

從上述條件中選擇三個條件作為已知條件，利用正弦定理解三角形。

要解決本題，不僅要會用正弦定理，而且還要明確正弦定理所適用的情況：1.已知兩角一邊，解三角形；2.已知兩邊一對角，解三角形。從學生答題情況來看，大多數同學均能選擇正確的方案，但只有一半的同學能通過判斷，選擇更易計算的方案①③④或②③④。這體現了不同思維層次的學生對問題思考深刻程度的不同，通過比較，讓學生很好地感受到“只有多思才能少算”。多做這樣的訓練，學生在做題目時就會更愿意去思考，選擇更優的解題途徑，而不是盲目地下筆。

3.用在知識復習環節

在階段學習后，如章末、期中、期末等時間點，我們要對所學知識與方法做一歸納小結，幫助學生進行梳理，形成知識網絡，以達到融會貫通。下例是筆者針對必修四復習設計的一道開放題，意在引導學生對求角度問題做一梳理。

【例3】如圖1所示，在正方形ABCD中，點E為邊AB的中點，線段AC與DE交于點P，求∠APD的某個三角函數值。

本題背景熟悉，條件簡潔明了，表達通俗易懂，有著“起點低，入口寬，多層次”的特點。以常見正方形為背景，讓學生可以多角度使用平面幾何知識來輔助解題；入口寬，讓學生可以利用不同的方法刻畫∠APD，從而求出某個三角函數值；不同的視角帶來不同的計算量。在實際訓練中，學生對本題的研究表現出很高的熱情，提供了多種解法，筆者將它們歸納為如圖2所示的幾個思路：

值得一提的是，在確定點P位置時，還呈現出利用△AEP∽△CDP、點P為△ABD重心、向量分解“算兩次”、直線方程求交點等不同的精彩。在這些解法中，涉及了平面幾何、解析幾何、三角恒等變換、平面向量的應用等知識與方法，理順了求角的幾種常見思路。毋庸置疑，這樣的復習必將對學生加深知識與方法的理解，乃至融會貫通起到積極的推動作用。

4.用在分層作業環節

讓學生學有用的數學，讓不同層次的學生都得到發展，是我們一直在追求的目標。如何在校本作業中設置分層作業，而不讓學困生產生自卑心理，筆者做了一些有益的嘗試，例如下題。

【例4】判斷函數f(x)=log2x-的零點個數，并指出其零點所在的大致區間（所給區間長度短者為佳）。

本題在判斷零點個數時，既可從“形”出發，通過觀察函數y=x與y=的交點情況予以判斷，也可從“數”出發，利用f(x)為增函數，借助零點存在性定理予以解決。對于零點所在的區間，能力較低的學生可以通過判斷f(1)=0-1＜0，f(2)=1-＞0，推得零點x0?(1,2)。能力中等的學生由二分法可知，可繼續判斷的符號，通過變形和放縮得到，推得零點能力高的學生以此類推，可繼續判斷，甚至更為精確。

本題解法不單一，隨著零點所在區間長度的縮短，對函數值符號的判斷難度增大，但各種水平的學生都有機會作出回答。這樣的分層作業既考慮到學生學業水平層次的不同，又在相同的題目背景下讓每個學生都能作答。

5.用在解題反思環節

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞說過：“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧。”只有學會解后反思，才能舉一反三，觸類旁通，從而脫離題海戰術之苦。在必修3第一章學習程序框圖設計時，“設計一個計算1+2+…+100的值算法”是課本上的一道例題，它是一類數列求和或求積問題的母題，它對學生深刻地理解算法思想和程序框圖的設計起著非常重要的作用，教師有必要引導學生對該例題進行更為深刻地研究與反思。基于此，筆者在《程序框圖的畫法》這一節課后作業設計了如下一道開放題。

【例5】如圖3的程序框圖是計算1+2+…+100的值的一個算法，這是循環結構應用的一個重要實例，在此基礎上進行微調即可解決一類求和、求積的問題。如只要將③處改為S=S+i2，該算法即可用于計算12+22+…1002的值。類似的有：

（1）將②處改為_____，③處改為_______，可用來計算1×2×…×99×100的值；

（2）請類比上述例子，改動如圖3程序框圖中的若干處（不超過三處），解決一個求和或求積問題。

該題以課本例題為母題，通過舉例示范，演示循環結構在求和、求積問題中的應用，通過多層設問，引發學生進行解題反思，主動對一道題目進行適當的類比、引申、拓展。這不僅能讓學生直擊問題的核心，而且能激發學生的探究熱情，提高他們的解題能力。

以上幾個案例說明，數學開放題能給學生更多的思考空間，它有利于學生對知識的主動建構，獲得認知結構的改造和重組。在校本作業中設置數學開放題，必將對開拓學生思維的廣闊性和發散性，培養其創新意識起到積極的作用。

本文系福建省教育科學“十二五”規劃2013年度課題“基于人本理念的高中數學校本作業模式研究”（項目編號：FJJKXB13—170）階段性研究成果。