在解析幾何問題探究中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力

（福清第二中學(xué)，福建福州350300）

在解析幾何問題探究中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力

薛日琴

（福清第二中學(xué)，福建福州350300）

以2016年河南省東部六校聯(lián)考理科第20題為例，闡述了在一道解析幾何問題探究中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察與實(shí)驗(yàn)、歸納與猜想、類比與推廣、想象與構(gòu)造，以提升學(xué)生的問題意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力的系列教學(xué)過程。

高考數(shù)學(xué)；解析幾何；橢圓；定值

自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布以來，“四基”與“四能”的培養(yǎng)問題在全國范圍內(nèi)激起很大反響。培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力，需要發(fā)揮教師的示范引導(dǎo)作用，幫助學(xué)生找到發(fā)現(xiàn)與提出數(shù)學(xué)問題的方法和途徑，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)會(huì)通過觀察與實(shí)驗(yàn)、歸納與猜想、類比與推廣、想象與構(gòu)造等多種方法去發(fā)現(xiàn)問題提出問題。下面以2016年河南省東部六校聯(lián)考理科第20題為例，就如何在解析幾何問題探究中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力這一重要問題，闡述筆者的一些思考和做法。

一、試題的內(nèi)容與初步分析

如圖1，已知M(x0,y0)是橢圓上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓M∶(x-x0)2+(y-y0)2=2作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q。

（1）若直線OP,OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值；

本題主要考查圓、橢圓、直線的斜率和定值問題。將橢圓C方程及圓M方程分別替換為(x-x0)2+(y-y0)2=8，即可得2016年河南省六市第一次聯(lián)考理科第20題，如出一轍的兩道試題引起筆者的關(guān)注與研究。

二、對問題進(jìn)行的推廣

顯然，要使得上述問題中的k1k2以及

為定值，圓M的半徑應(yīng)該受制于橢圓，那么具體需要滿

定理1.如圖2，已知M(x0,y0)是橢圓C+=1(a＞b＞0)上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓M∶(x-x0)2+(y-y0)2=作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q。若直線OP，OQ的斜率存在，則kOPkOQ=-且=a2+b2。

證明：直線OP∶y=kOPx與圓M相切，可得（r=，下同），由此可得-r2=0，同理可得，所以kOP，kOQ是方程的兩個(gè)不相等實(shí)根，由韋達(dá)定理得，又點(diǎn)M(x,y)00在橢圓C上，得，結(jié)合=-。

當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P(x1,y1)， Q(x2y2)，由于，從而

綜上，定理1成立。

我們知道，一個(gè)命題為真，其逆命題與其真假性無關(guān)，就定理1而言，將其條件與結(jié)論交換，由能否推導(dǎo)出另外兩個(gè)代數(shù)式子的取值？或由能否得到另外兩者的取值？筆者對此作進(jìn)一步的思考。

三、對問題進(jìn)行的探究

證明同樣設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，由定理1的證明過程，得，即得的證明過程與定理1相同。

設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)由于，又P，Q在橢圓C上，可得，代入上式從而有，經(jīng)過進(jìn)一步整理得可得。所以不是的充要條件。

四、由問題引發(fā)的后繼思考

數(shù)學(xué)大師波利亞告誡我們：“沒有一道題目可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方?！蓖瑫r(shí)，他還認(rèn)為，在問題解決（有別于通常教學(xué)中的例、習(xí)題訓(xùn)練）的過程中，需要發(fā)現(xiàn)并提出另一些與問題相關(guān)的更易于解決的問題，以此引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)怎樣解題。那么，在這個(gè)解析幾何問題探究中，是否還有值得進(jìn)一步挖掘的內(nèi)容呢？筆者聯(lián)想到2011年山東高考數(shù)學(xué)理科第22題：

證明當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，則x2=x1,[y2=-y1]。因?yàn)镻在橢圓C上，則，由此可得，又，故反之，由可得，結(jié)合可得從而

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由方程組得(a2k2+b2+x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0，則，從而O到直線l的距離a2k2+b2=2m2。

綜上，定理3成立。

我們以一道聯(lián)考題為背景建構(gòu)了一個(gè)數(shù)學(xué)問題模型，通過置換問題的條件與結(jié)論，引入新的條件與結(jié)論，將問題引申演變成一個(gè)新的數(shù)學(xué)問題，有助于讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題和解決問題中，將知識(shí)、能力和數(shù)學(xué)方法在更多的新情景、更高層次中反復(fù)滲透，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生的探究與發(fā)現(xiàn)能力的目的。在這個(gè)過程中，學(xué)生獲得的不僅僅是知識(shí)，更多的是一種探究意識(shí)的覺醒與發(fā)現(xiàn)能力的提升，當(dāng)學(xué)生離開學(xué)校忘掉所學(xué)知識(shí)的時(shí)候，這些東西將會(huì)遺留下去并影響終生。

［1］夏越春.橢圓中一類定點(diǎn)定值問題的解法示例和命制溯源［J］.數(shù)學(xué)通訊，2013.

［2］余明芳，王欽敏.例談高中數(shù)學(xué)探究性課題的選擇與教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（11）.

［3］張躍紅.授人以漁，勿施以魚——從高三復(fù)習(xí)課“圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題”談起［J］.數(shù)學(xué)通報(bào),2014（2）.

［4］高震,劉太和.與橢圓有關(guān)的斜率之積為定值的幾個(gè)結(jié)論［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016（3）.

（責(zé)任編輯：王欽敏）

本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度重點(diǎn)課題“中學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題能力的培養(yǎng)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：FJJKCGZ16-177）階段性研究成果。