基于關聯分布函數的相互依賴網絡脆弱性分析

金偉新，宋 憑，劉國柱(.電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室，河南 洛陽 47003；2.國防大學信息作戰與指揮訓練教研部，北京 0009； 3.西安通信學院軍事通信指揮系，西安 7006)

基于關聯分布函數的相互依賴網絡脆弱性分析

金偉新1,2，宋 憑1,3，劉國柱1
(1.電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室，河南 洛陽 471003；2.國防大學信息作戰與指揮訓練教研部，北京 100091； 3.西安通信學院軍事通信指揮系，西安 710106)

首先綜述了國內外互依網絡級聯脆性的研究現狀，分析目前研究取得的成果與問題，而后在此基礎上，針對目前研究的薄弱環節——互依網絡之間的關聯機制與關聯機理進行了深入分析與重點研究，構建了基于關聯分布函數的相互依賴網絡脆弱性分析模型，并給出了互依網絡脆弱性評估的六類判據。最后，給出了研究結論與建議。

互依網絡；級聯失效；脆弱性；模型

0 引言

由此可見，對于互相依賴網絡的脆弱性分析，其主要研究內容包括：1)互依網絡各構成網絡自身拓撲結構及其動力學特性；2)互依網絡相互依賴關聯結構及其動力學特性；3)互相依賴“網絡的網絡”的拓撲特征及其動力學特性。

我們認為，對互依網絡脆弱性的研究，相對于其他部分研究而言，互依網絡之間依賴、關聯關系拓撲結構及其動力學性質的分析、研究最為關鍵。而比較而言，綜述目前的研究進展，這一部分的研究也是極其薄弱的部分。

鑒于此，論文重點對互依網絡相互依賴、關聯的網絡間的連接、依賴結構的拓撲模型及其動力學特性進行建模分析，嘗試推進目前互依網絡脆弱性研究局限于耦合強度、一對一連接等過于簡化的、與現實互依網絡差異較大的“衡同”依賴等均質化假設，構建與實際依賴、連接多樣化關系一致的多樣化連接、依賴網絡模型；在此基礎上，形成脆弱性分析結果與結論。

1 基于關聯分布函數的相互依賴網絡脆弱性建模

為了描述互依網絡的關聯特征，用圖1給出3個互依網絡A、B、C的內部連接與外部依賴關系。由圖1可以看出，互相依賴網絡節點之間的關系包含兩類：同網絡內部節點之間的連接關系與不同網絡節點之間的依賴關系。依賴關系是有向的。兩個網絡可以互相依賴，比如因特網與電力網。

由此可見，互依網絡節點之間的關聯關系至少存在兩種不同類別，采用傳統單一變量度分布函數很難給出準確描述。如何做到既能表現網內之間的連接，又能描述不同網絡之間的依賴關系，聯合概率分布函數模型可能是互依網絡脆弱性分析建模的首選模型。但這一點，在過去的研究中并沒有獲得很好的關注和重視。

網絡A節點i與網絡B節點j各類連接、依賴關系如圖2。

假設由A網絡與B網絡共同構成的互相依賴的大網絡為Q網絡，其節點i的度概率分布函數為pQ(x，y，z)，其中x是同網絡內部連接度、y是各網絡指向其他網絡的出度(被依賴連接)、z是其他網絡指向它的連接入度(依賴連接)。Q網絡節點集合分別為N，該集合節點總數為n。

基于上述假設，可得：

N=NA∪NB

(1)

n=nA+nB

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

至此，可以給出節點i的度概率分布函數pQ(x,y,z)的計算模型。

對于網絡A，不同節點集度聯合概率分布函數分別為

(7)

(8)

(9)

(10)

同理，對于網絡B，不同節點集度聯合概率分布函數分別為

(11)

(12)

(13)

(14)

基于網絡與概率理論，不難推得式(15)：

(15)

在得到連接、依賴關聯的度聯合概率分布函數后，可以運用生成函數方法對互依網絡因故障或遭攻擊后其最大互聯組件，即分裂后的最大互聯子網絡)的規模和分裂組件(分裂的互聯子網絡)的平均規模及其臨界閾值條件進行建模，并作出分析，獲取有價值的結論。

對于網絡A，其各集合節點對應的聯合度概率分布生成函數分別為

(16)

(17)

(18)

(19)

同理，對于網絡B，其各集合節點對應的聯合度概率分布生成函數分別為

(20)

(21)

(22)

(23)

從而，在相依網絡的A網絡(或B網絡)任選一條邊，該邊將會是如下3種不同類別的邊之一：A網絡(或B網絡)內部節點互連的邊；A網絡(或B網絡)指向B網絡(或A網絡)的邊(B依賴A的邊)；B網絡(或A網絡)指向A網絡(或B網絡)的邊(A依賴B的邊)。這3種不同的邊抵達節點的度概率分布生成函數分別為

對于A網絡，

(24)

(25)

(26)

同理，對于B網絡，

(27)

(28)

(29)

基于此，可以推導互依網絡A或B某一節點因故障或攻擊失效后，因為連接、依賴級聯引發連鎖失效，進入穩定態后，Q最大互聯組件(族)規模S及破碎組件的平均規模〈s〉。

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

由此得，攻擊A網絡節點或A網絡節點發生故障后，網絡裂解后互聯組件的平均規模〈s1〉為

(37)

再由(30)可得：

(38)

所以，有式(39)成立：

(39)

同理，由(31)、(32)可以推得：

(40)

(41)

將(16)～(19)、(39)～(41)式代入式(37)，得：

(42)

同理可得，攻擊B網絡節點或B網絡節點發生故障后，網絡裂解后互聯組件的平均規模〈s2〉為

(43)

由此可見，只要以下條件任何一項得到滿足，式(42)、(43)就會發散，由A、B網絡構成的互依網絡就會癱瘓，這說明互依網絡較之于單一網絡，其脆弱性表現更加多樣化，倘是這些脆弱點遭遇攻擊，都可能致整體網絡失能。

這些條件是：

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

但上述條件達成，是針對互依網絡的不同區域進行的：(44)、(47)主要針對互依網絡各網絡自身連接，而(45)、(48)重點在于依賴連接關系，(46)、(49)重點在被依賴關系。實際運用時，可以視攻擊或防御的成本、難度單獨或綜合實施，提高或加強互依網絡的攻擊或防御效果。

2 基于關聯分布函數的相互依賴網絡脆弱性模型分析

當將式(24)～(29)分別代入式(44)～(49)，可以獲得更清晰的互依網絡脆弱性分析判據。

當將式(24)、(27)分別代入式(44)、(47)時，分別獲得以下判據：

(50)

(51)

這就是我們在單一網絡脆弱性分析時獲得的判據，此時A、B網絡各自已經癱瘓。

當分別將(25)、(26)、(28)、(29)代入(45)、(46)、(48)、(49)時，便得到了互依網絡相互依賴的脆弱性判據，而這一點在單一網絡的脆弱性分析時是不能獲取的。這些判據為

(52)

(53)

(54)

(55)

盡管推導過程復雜，但上述判據的形式是簡潔的。上述判據表明，互依網絡的脆弱性主要取決于互依網絡度關聯分布函數的一階矩與二階矩，這為我們采用何種關聯結構設計以利于改善互相依賴網絡的魯棒性提供了理論指導和數據支持。

3 實例分析

為了探索不同關聯分布函數對互依網絡脆弱性的影響，在復雜系統仿真平臺Netlogo上開發了由指控網絡、情報網絡、作戰網絡和通信網絡4類互相依賴網絡構成的體系網絡脆弱性分析軟件，對不同關聯分布函數對體系網絡的脆弱性影響進行了建模與仿真分析。軍事上，體系網絡是通過通信網絡將其構建、連接為一個可動態組構的整體。我們設計的關聯分布函數為冪律分布與波松分布混合的復合分布函數，這符合大多現實網絡的實際。

(56)

其中，α、x、y、z分別表示兩類分布的混合比、通信節點網內連接度與網間連接出度和連接入度。當α= 0時，表示關聯分布為冪律分布；當α= 1時，表示關聯分布為波松分布。

對于波松分布，由于

(57)

(58)

(59)

(60)

其中，λ1、λ2、λ3分別為通信節點網內連接平均度與網間連接平均出度和平均入度，其仿真生成使用ER算法。

對于冪律分布，由于

(61)

(62)

(63)

(64)

其中，m1、m2、m3分別為通信節點網內連接最小度與網間連接最小出度和最小入度，γ1、γ2、γ3分別為通信節點網內連接度分布與網間連接出度和入度分布標度指數，其仿真生成使用BA算法。

運用已開發的基于關聯分布函數互相依賴的體系網絡脆弱性分析仿真平臺，對α= 1、α= 0、α= 0.5三種不同混合比的體系網絡，分別使用基于關聯分布函數的度優先攻擊與基于常規指控、傳感節點優先攻擊方法，對體系網絡進行攻擊，獲得了下列仿真結果。

當α= 1時，攻擊前、后體系網絡拓撲演化如圖3所示，基于關聯分布函數的度優先攻擊與基于常規指控、傳感節點優先攻擊失聯連邊與失聯節點數值曲線如圖4所示。

當α= 0時，攻擊前、后體系網絡拓撲演化如圖5所示，基于關聯分布函數的度優先攻擊與基于常規指控、傳感節點優先攻擊失聯連邊與失聯節點數值曲線如圖6所示。

當α= 0.5時，攻擊前、后體系網絡拓撲演化如圖7所示，基于關聯分布函數的度優先攻擊與基于常規指控、傳感節點優先攻擊失聯連邊與失聯節點數值曲線如圖8所示。

由以上仿真結果比對分析不難發現，無論α= 1、α= 0或α= 0.5何種情形，較之基于非關聯分布函數的攻擊方法，基于關聯分布函數的度優先攻擊對相互依賴的體系網絡的毀傷效果都極為顯著，其中α= 0最顯著，其次α= 0.5，再次α= 1。

4 結果與結論

論文提出了基于關聯分布函數的互依網絡脆弱性建模與分析方法，并理論推導了基于關聯分布函數的互依網絡脆弱性判定的臨界條件；通過仿真實驗，基于關聯分布函數的度優先攻擊相比較于非關聯分布函數的攻擊方法，攻擊效果更顯著。對于由冪律、波松分布構成的混合關聯分布函數，在混合比α= 0時，互依網絡最脆弱，其次α= 0.5，再次α= 1。

上述研究給我們提供的啟示是：對于互相依賴網絡的脆弱性研究，我們需要重點關注互相依賴、互相關聯連接的內部結構的精細分析。在兩個互相依賴網絡的互相依賴、交互的毗連區、關聯部位可能發現和揭示互依網絡的關聯機制、結構脆性與動力學特征。我們下一步工作將結合不同關聯分布函數的設計，研究互相依賴網絡在不同攻擊策略下的級聯動力學脆弱性的傳播模式和機理。

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(責任編輯 耿金花)

The Analysis for the Vulnerability of the Interdependent and Interconnected Network of Networks Based on the Correlation Degree Distribution Functions

JIN Weixin1,2，SONG Ping1,3，LIU Guozhu1

(1.The State Key Laboratory of Complex Electromagnetic Environment Effects on Electronics and Information System(CEMEE),Luoyang 471003, China;2.The Information Operations and Command Training Department, National Defense University,Beijing 100091,China;3.The Military Communication Comand Department, Xi’an Communication Institute,Xi’an 710106,China)

In this paper, research status quo on the cascading vulnerability of interdependent networks is reviewed firstly. Secondly,its progress and unsolved problem are analyzed.Based on this,the blind area of the present interdependent networks vulnerability research—correlation mechanism and correlation principle of interdependent networks are deeply analyzed and studied,and the vulnerability analysis models which based on the correlation degree distribution functions are built,at the same time,six criteria of interdependent networks vulnerability evaluation are summed up.Lastly,the conclusion and proposal are put forward.

interdependent and interconnected networks;cascade failure; vulnerability; model

10.13306/j.1672-3813.2016.04.002

2014-05-30；

2014-09-13

CEMEE國家實驗室開放課題基金(CEMEE2014K0201A)；國家自然科學基金(60974080)

金偉新(1963-),男，河南光山人，副教授，大校，主要研究方向為相互關聯與相互依賴網絡脆弱性、復雜系統建模與仿真。

N94

A