基于方案占優和排序穩健性的多屬性決策方法

丁 濤，梁 樑

(合肥工業大學管理學院，安徽 合肥 230009)

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基于方案占優和排序穩健性的多屬性決策方法

丁 濤，梁 樑

(合肥工業大學管理學院，安徽 合肥 230009)

在多屬性決策問題中，不同的屬性權重會產生不同的評價結果。由于實際問題的復雜性與不確定性，決策者對于屬性權重的確定也存在不確定性。這些不確定既來自現實問題的復雜性和可變性，也來自決策者選擇的模糊性與隨機性。目前已有的研究主要是將不確定的權重信息轉化為相對確定的信息(如轉化為區間數等)，硬性地消除了不確定，從而給決策結果帶來較大風險。本文從方案排序的視角出發，研究在權重空間下，方案的占優關系和排序的穩健性。首先，定義了占優矩陣用于刻畫不確定權重信息下方案兩兩比較的占優關系；其次，分析了方案的排序區間，即在所有可能存在的權重組合下，方案的最好排序和最差排序。然后，定義了方案的全排序排序概率，并且給出了排序概率的計算方法。進而，我們給出了方法的決策步驟和實施過程。最后，本文將該方法應用到某遠洋集團的港口評估當中。

多屬性決策；占優關系；排序區間；方案排序概率

1 引言

多屬性決策問題是決策者根據多個屬性，對有限的方案集進行綜合評價，從而進行方案優選或排序的過程。其在經濟、管理和工程技術等領域都有廣泛的應用[1-2]。

傳統的多屬性決策方法一般通過確定指標對應的屬性權重，然后集成方案的綜合屬性值，從而進行方案的排序。近年來，研究者從不同的角度出發，提出了一系列的賦權方法，主要可以歸結為主觀賦權法[3]，客觀賦權法[4-6]和主客觀賦權法[7-10]。主觀賦權法根據決策者對于不同屬性的主觀偏好確定權重；客觀賦權法依據決策信息，利用數學規劃模型，從而求解屬性權重。而主客觀賦權法同時結合了決策者的主觀偏好和決策信息獲取屬性權重。

由于實際問題的復雜性和不確定性，決策者在很多情況下難以給出每個屬性對應的權重值。所以，主觀賦權法并不適用。而不同的客觀賦權發分配權重的原則不同，因而產生的權重組合也不同。某備選方案在一組屬性權重下是最優方案，其在另外一組屬性權重下可能會變成較劣方案[11-12]。因此，通過賦權方法將不確定權重信息確定化會給決策帶來偏差,甚至會導致決策失誤的出現。

考慮到傳統多屬性決策方法在處理不確定權重信息下決策問題的不足，研究者提出了一系列新的多屬性決策方法。Lahdelma和Salminen[13]提出了隨機多指標可接受分析方法，該方法研究在權重信息完全未知時，通過確定權重分布的類型，定義了可接受度用于刻畫方案排序的不確定性。Xu Zeshui等[14-17]關注于模糊多屬性決策，利用模糊數、直覺模糊數和猶豫模糊數等來刻畫不確定信息，在一定程度上可以用于決策分析。Wu Jie和Liang Liang[18]提出了基于DEA博弈交叉效率的多屬性決策方法，該方法是將每個備選方案當做局中人，每個局中人都最大化自身的綜合屬性值。通過納什討價還價的博弈過程，進而獲得最優的方案評價結果。Fu Chao和Chin[19]提出了基于魯棒證據推理的方案比較方法，該方法通過定義在不確定權重下方案排序的魯棒性，從而進行方案優選。 Scholten等[20]研究了不確定偏好信息下基于多屬性效用理論的的復雜決策方法。該方法通過在線調查和面對面訪談分析了不確定偏好信息的來源，從而提出了基于情境分析的排序方法并對排序結果進行靈敏度分析。劉健等[21]將決策者在決策指標上存在心理閾值的現狀應用到多屬性決策問題當中,提出了先對決策目標調整再進行決策的方法。

上述提及的方法從不同的方面研究了不確定權重信息下的多屬性決策問題，在特定的情況下具有適用性。更為一般化，本文從方案占優的視角，分析了在所有可能的權重組合(權重空間)下，方案的占優關系和排序穩健性，從而提出了一種新的方案排序方法。具體而言，我們將研究以下三個問題。在權重空間下(1).對于任意兩個方案，兩者的相互占優關系；(2).每個備選方案所能達到的最好排序與最差排序，即排序區間；(3).對于所有可能存在的方案排序，如何選擇一種作為最終的排序結果。進而，我們提出了一種基于方案占優和排序穩健性的多屬性決策實施過程。最后，我們將本文的方法應用于某遠洋集團的港口評估當中，驗證了其有效性與合理性。

2 問題描述

一般而言，在多屬性決策問題中既存在效益型屬性(越大越好)，也存在成本型屬性(越小越好)。為了消除不同物理量綱對決策結果的影響，我們利用下面的公式[2]對決策矩陣進行規范化處理：

(1)

方案Xi的綜合屬性值為：

(2)

因此，屬性權重的確定是傳統多屬性決策的關鍵問題。然而，在很多實際應用當中，屬性權重是不確定的。如決策者偏好的不確定性、決策環境的可變性和不同專家難以達成一致等原因都會給確定權重帶來困難。很多情況下，決策者只能給出部分權重偏好信息，甚至權重信息完全未知。此時，不同的權重確定方法會產生不同的權重組合，從而導致決策結果的不確定性。鑒于此，我們接下來將研究在不確定屬性權重下，方案的占優關系和排序穩健性分析。

3 決策方法

3.1 方案成對比較

為了清晰的描述不確定權重信息，我們首先引入權重空間的概念。

定義1：設w=(w1,w2,…,wn)為一組屬性權重，記Ω(w)=Ω(w1,w2,…,wn)為屬性的權重空間。其中，Ω(w)為所有可能的權重組合。特別地，當權重信息完全未知時，

(3)

通常情況下，決策者可以根據其偏好，對權重進行約束。例如，對于三個屬性Y1, Y2,和Y3，決策者指定：Y1的重要性至少是Y2的兩倍，且Y3的重要性大于Y1，此時屬性權重空間為：

(4)

對于給定的兩個方案，我們定義占優概率的概念。

定義3：對于方案f和g，其屬性權重空間為Ω(w)，p(f?g)為在屬性權重空間Ω(w)下方案f優于方案g的概率，稱f對g的占優概率。同樣地，p(g?f)為g對f的占優概率。其中：

p(f?

(5)

特別地，若p(f?g)>0.5，則稱方案f對g弱占優，反之亦然。

定義4：對方案集X={X1,X2,…,Xm}中的方案占優關系進行成對比較，構成方案占優矩陣P=(pij)m×m。其中，pij表示方案i對j的占優概率。

性質1：方案占優矩陣P中的元素滿足：

1)pii=1，?1≤i≤m；

2)pij+pji=1，?1≤i,j≤m，i≠j

定義4表明，決策者可以得到兩兩比較的方案占優關系。顯然，占優概率越大，占優關系越強。

由于權重空間的不確定性，方案占優概率無法通過模型求解，因此我們利用蒙特卡洛仿真的方法計算占優概率。在這里，我們給出一個簡單的算例進行計算模擬。兩個方案的屬性值分別為A=(4,6,5,5) 和B=(5,4,3,6)，權重空間為Ω(w)={0≤wj≤1,j=1,2,3}。圖1演示了A對B的占優頻率(縱坐標)和仿真次數(橫坐標)的對應關系。結果顯示，仿真次數超過3500時，占優頻率穩定在0.75，即p(A?B)=0.75。

圖1 A對B的占優頻率模擬結果

3.2 方案排序分析

在權重空間下，對于一個給定的方案，其對應的排序位置是不確定的。即該方案在兩組不同的權重組合下的排序位置可能并不相同。接下來我們給出方案排序區間的概念。

模型1：

wj∈Ω(w),

di∈{0,1}, i≠k，

其中，M為一個大于1的正常數。

模型2：

wj∈Ω(w),

di∈{0,1}, i≠k,

其中，M為一個大于1的正常數。

對于決策者而言，選擇任何一種排序結果都會有忽略其它排序所帶來的風險。因此，我們定義了方案排序的決策風險。

定義6：令選擇方案排序Υk所帶來的決策風險記為Ψ(γk) (k=1,2,…,m!)。其滿足：

(1)若 p(γk)=1, 則有 Ψ(γk)=0;

(2)若 p(γk)=0, 則有 Ψ(γk)=1；

(3)對于兩種方案排序 γs和 γt(s≠t),若排序概率滿足：p(γs)>p(γt)，則有 Ψ(γt)>Ψ(γs)。

定義6表明排序的決策風險大小與排序概率呈負相關。鑒于此，我們認為決策者選擇排序概率較大的排序結果的風險較小。

3.3 基于占優關系和排序分析的決策方法

接下來，我們給出了基于方案占優和全排序概率分析的決策方法，步驟如下：

1)形成多屬性決策問題

決策者給出一個由n個屬性評價m個方案的多屬性決策問題，并利用公式(1)將決策矩陣標準化。

2)獲得屬性權重空間

決策者首先對所有屬性進行綜合分析，給出所有可能存在的權重組合，即權重空間，記為Ω(w)。

3)獲取方案占優矩陣

通過計算方案成對比較的占優概率，從而得到方案占優矩陣P，從而得到兩兩比較的占優關系。

4)計算每個方案的排序區間

利用模型1和2，求解每個方案的排序區間，從而得到單個方案的排序穩健性。

5)求解方案全排序概率

首先根據步驟3)和步驟4)的結果，剔除排序概率為0(無效)的方案排序。然后，利用蒙特卡洛算法，在權重空間下計算剩下的方案排序概率。

6)最終方案排序

決策者通過設定閾值的方法，選出k(k>0)個概率較大(相對穩定)的方案排序。進而，決策者可以利用專家打分確定位置權重，利用加權平均的方法集成這些方案排序，進而得到最終的排序結果或最優方案。

接下來，我們用Wu Jie和Liang Liang[18]中的算例演示該方法的過程。對于一個由四個屬性評價六個方案的多屬性決策問題，原始決策矩陣為：

表1 原始決策矩陣

下面利用本文的方法對方案進行排序。首先利用公式(1)，對決策矩陣進行規范化處理，得到標準化決策矩陣：

利用蒙特卡洛仿真，計算兩兩方案間的占優概率，得到的方案占優矩陣為：

P=

由于方案C至少弱占優于其它所有方案，方案占優的角度它是最優方案。而方案D至少被所有方案弱占優，所以它是最劣方案。

然后，根據模型1和模型2，得到所有方案的排序區間為：

RI(A)=[1,6],RI(B)=[2,4],RI(C)=[1,3],RI(D)=[3,6],RI(E)=[3,6]，RI(F)=[1,6]

從單個方案的排序區間結果可知，方案B和C的排序穩健性高于其它方案，因此相對于其它方案更優。然而，方案A,E和F的優劣難以比較。

接著，在權重空間下，對方案A,E和F進行全排序仿真，得到的全排序概率如表3所示。決策者篩選出三種較為穩健的方案排序：A>F>E，F>A>E和F>E>A。根據Lahdelma和Salminen[13],決策者給排序一到三位的位置權重分別為：1,1/2和1/3。然后，利用加權平均得到的排序為：F>A>E。

綜合以上分析，最終的方案排序為：C>B>F>A>E>D。根據Wu Jie和Liang Liang[18]可知，利用自評模型得到的方案排序為：A=C=F>B>E>D;利用博弈交叉評價模型得到的方案排序為：C>A>F>B>E>D。可以看出，自評模型難以得到完整的方案排序，即方案A，C和F的優劣難以比較。而博弈交叉評價得到的最優方案和最劣方案和本文一致，但其它方案的排序結果并不完全相同。這是因為本文是從方案占優和全排序概率的視角對方案進行評價，其結果的穩健性更高。

4 案例分析

某遠洋集團需要對4個港口A1,A2,A3，A4和A5進行綜合評估。決策采用了多屬性決策分析方法，分別從內部環境和外部環境兩個方面構建指標體系。其中，內部環境指標主要包含了三個一級指標：硬件設施、內部工作效率和運營發展；外部環境指標也包含了三個一級指標刻畫：政策環境、經濟環境和地理環境。每個一級指標均由一些二級指標刻畫。如圖2所示。

表2 三個方案的全排序概率

圖2 港口評估的評價指標體系

為了節省空間，我們只列出了經過規范化處理之后的決策矩陣，如表3所示。

表3 標準化決策矩陣

因為A5至少弱占優于其它方案，所以從方案占優的角度，它是最優方案。而A4至少被其它方案弱占優，它是最劣方案。

然后，根據模型1和2，我們計算得到每個方案的排序區間：

RI(A1)=[1,4],RI(A2)=[1,4],RI(A3)=[1,5],RI(A4)=[4,5],RI(A5)=[1,4]

從單個方案的排序區間結果可以看出A4是一個較劣方案。因為在整個權重空間下，其排序都只會在最后兩位。然而，方案A1，A2和A5的優劣卻難以比較。

最后，對方案A1，A2和A5進行全排序仿真，得到的全排序概率如下：

表4 三個方案的全排序概率

從表3可以看出，最大概率的方案排序為：p(A1>A2>A3)=0.810。由于該排序的概率較大，因而帶來的排序風險較小，從而可以作為排序結果。

綜合上述分析過程，最終的穩健性方案排序結果為：A5>A1>A2>A3>A4。

5 結語

在傳統多屬性決策中，屬性權重的確定是研究者關注的一個焦點。然而，由于實際決策問題的復雜性與不確定性，指標權重的具體數值往往難以確定。現有的通過確定權重從而集成方案綜合屬性值的方法在一定程度上可以處理這種不確定性，但卻無法保證排序結果的穩定性與合理性。鑒于確定權重的方法處理不確定性多屬性決策問題的缺陷，本文提出了一種基于方案占優和排序穩健性的決策方法。文中給出了屬性權重空間的概念，用于描述不確定權重信息。同時本文給出了屬性權重空間下的方案占優概率用來比較方案的優劣。占優概率不僅能反映兩個方案的優劣程度，還能刻畫確定權重的方法對決策結果帶來的風險系數。一方案對另一方案的占優概率越大，則認為該方案優于另一方案的參考意義更大。基于方案占優和全排序概率的思想，我們計算了(1)方案占優矩陣，用于刻畫兩兩比較的方案占優關系；(2)單個方案的排序區間，用于描述單個方案的最好排序和最差排序和(3)方案全排序概率，用于反映方案排序的穩健性。綜合分析結果，本文提出了一種新的基于方案占優和排序穩健性的多屬性決策方法。

本文提出基于方案排序穩健性的全排序決策方法，避免了通過確定屬性權重從而集成方案的綜合屬性值的思路，有效的處理了屬性權重不確定的決策問題。該方法考慮到不確定權重信息給決策結果帶來的風險，對于決策有指導作用。由于本文考慮的是單人決策問題，然而現實中還有一類由多個決策者共同參與的群決策問題。在未來的研究中，我們將考慮屬性權重和決策者權重都未知的多屬性群決策問題。

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A New Multiple Attribute Decision Making Method Based on Dominance Relation and Ranking Stability

DING Tao, LIANG Liang

(School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

multiple attribute decision making; dominance relation; ranking interval; rank-order possibility

2015-08-06；

2016-02-01

國家科技支撐計劃項目(2014BAH27F00)；國家自然科學基金資助項目(71471053)

簡介：丁濤(1992-)，男(漢族)，安徽安慶人，合肥工業大學管理學院博士研究生，研究方向：決策分析，E-mail: hfutdingtao@126.com.

C934

A

1003-207(2016)08-0132-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.08.016