剖析與二次函數圖象有關的最值問題

林榮坤

摘要：對于二次函數的最值問題，我們在初中就開始接觸，而且也是初中的重要教學內容，但也只是注重基礎，涉及的也是簡單的二次函數。隨著知識的加深，二次函數的最值問題涉及的內容越發的廣泛與深奧。作為二次函數中最基本的問題——最值問題，本文將從簡易到復雜的知識進行剖析。

關鍵詞：二次函數；最值

對于二次函數圖象的最值問題，重點關注的主要是圖象的對稱軸和所給自變量的區間（即定義域）的界定。而且掌握二次函數的最值問題，首先需要將二次函數的圖象形象的畫出來。然后根據圖象以及問題的條件界定來進行最值問題的求解。

一、二次函數的圖象

對于二次函數的圖象，我們需要找到二次函數的對稱軸，頂點以及開口方向，有時還需要界定某一到兩個特殊的線與x-y軸的交點，才能較為準確的描繪出圖象。

二次函數的的表達式有頂點式，交點式以及三點式，其一般的表達式為y=ax?+bx+c（a≠0），此圖象的對稱軸，開口方向以及頂點都取決于這一般表達式中的a、b、c三個系數。最重要的是求解對稱軸，對稱軸的計算公式為x=-b/2a。

其一般圖形為：

二、二次函數圖象的最值

1、二次函數在界定區間上的最值問題（最簡單，直接的最值問題）

此類問題基本就是明確給定二次函數以及定義域區間的情況下，求最值的。解決方案就是找到此函數的對稱軸，看其與定義區間的關系，在判斷在此區間上函數的增減性，進而求出答案。

例如：已知二次函數y=x2-2x，求在區間[0，4]上的最值。

根據二次函數可以畫出圖象，對稱軸為x=1，草圖如下：

從圖中可以看出在區間[0，4]上，y值先遞減后遞增，在對稱軸x=1處取得最小值y=-1，在x=4處取得最大值y=8.

2、二次函數在不定區間上的最值問題（相對上一個，有些復雜，需要分類）

此類問題是在明確給定二次函數，但是其自變量的定義區間是變動的（存在未知數）情況下求解最值的。然而此類問題的解決方法就是通過明確給定的二次函數畫出圖象，再根據對稱軸與自變量的關系界定進行分類討論，最后分別判斷在此區間上的增減性，求得最值。

例如：已知二次函數y=x2/2-x-5/2，求在[t，t+1]上的最小值。

根據二次函數y=x2/2-x-5/2可以得出對稱軸x=1，圖象開口向上，再分類，畫草圖。

第一類：當對稱軸x=1在所給區間的左側，即t≧1，草圖如下：

從圖中可以看出，在區間[t，t+1]上，函數遞增，最小值為x=t時，y=t2/2-t-5/2。

第二類：當對稱軸x=1在所給區間的右側，即t+1≦1→t≦0，草圖如下：

從圖中可以看出，在區間[t，t+1]上，函數遞減，最小值為x=t+1時，y=t2/2-3。

第三類：當對稱軸x=1在所給區間的內，即t<1

從圖中可以看出，在區間[t，t+1]上函數先減后增，最小值為x=1時，y=-3。

若是還需求最大值，前兩種可以直觀的看出，而最后一種需要對比在x=t以及x=t+1時y值得大小。此時t的范圍還需劃分。

當x1=t時，y1=t2/2-t-5/2，當x2=t+1時，y2=t2/2-3

y1-y2=1/2-t，從式子中可以看出當0

3、不確定的二次函數在固定區間下的最值問題

此問題是在明確給出定義域而二次函數存在未知系數（圖象不確定）的情況下，求最值的問題。此類問題可以先將二次函數有一般形式轉換為頂點式，找出其對稱軸，開口方向以及區間位置。最重要的是找到其對稱軸，然后根據未知系數分類進行求解，最后判斷增減性，求最值。

例如：已知二次函數y=bx2+4bx+b2-1，求在區間[-4，1]上的最大值。

根據二次函數y=bx2+4bx+b2-1，寫成頂點式y=b（x+2）2+b2-4b-1，可以看出對稱軸為x=-2，在區間[-4，1]上，只需根據圖象開口方向來判斷區間的最大值。

第一類：當b=0時，y=-1，無最大最小值之說

第二類：當b<0時，圖象開口向下，草圖如下：

從圖中可以看出，在區間[-4，1]上函數先增后減，最大值為當x=-2時，y=b2-4b-1。

第三類：當b>0時，圖象開口向上，草圖如下：

從圖中可以看出，在區間[-4，1]上函數先減后增，最大值為區間的臨界點，需要判定。

當x1=-4時，y1=b2-1

當x2=1時，y2=b2+5b-1

因為b>0，可以看出y1=b2-1

4、二次函數已知區間和最值求未知函數的系數（此類最為復雜，分類情況較多）

此類函數是在明確給出自變量區間，以及在區間內最值得一個（最大或最?。?，求解未知函數的系數。此類問題通常不會給定對稱軸，因此需要進行分情況進行判定來求解，再根據其給出的最值來求出位置系數，此類問題通常的解有時會與條件分類的情況不相符，因此不要因為求出一個就大意，要注意情況與解的一致性。

例如：已知二次函數y=x2-2ax-1，已知函數在區間[0，2]上的最小值為-2，求a的值。

根據二次函數y=x2-2ax-1，寫成頂點式y=（x-a）2-a2-1，對稱軸為x=a，圖象開口向上，然后進行分類

第一類：當a≦0時，畫出草圖如下：

從圖中可以看出，函數在區間[0，2]上是遞增的，最小值為當x=0時，y=-1，與題中最小值為-2不相符。此分類舍棄。

第二類：當a≧2時，畫出草圖如下：

從圖中可以看出，函數在區間[0，2]上是遞減的，最小值為當x=2時，y=3-4a，因為題中給出最小值為-2，所以3-4a=-2求得a=5/4<2與條件不符的，舍棄。

第三類：當0

從圖中可以看出，函數在區間[0，2]上是先減后增的，最小值為當x=a時，y=-a2-1因為題中給出最小值為-2，所以-a2-1=-2求得a=1或者-1，再根據分類條件0

綜上得出a=1。

還存在第二種情況，圖象的開口方向與未知參數有關，則劃分情況求解釋更需注意。

例如：二次函數y=ax2-2ax-1，已知函數在區間[0，2]上的最小值為-2，求a的值。

先根據二次函數y=ax2-2ax-1，將其換算成頂點式為y=a（x-1）2-a-1，可以得知對稱軸為x=1，但開口方向不確定，需要分類進行求解。

第一類：當a=0時，y=-1與已知條件不相符，舍棄。

第二類：當a>0時，可以畫出草圖：

從圖中可以看出，在區間[0，2]函數先減后增，最小值為對稱軸即x=1時的y=-a-1，由已知條件最小值為-2，得出a的值為1，符合條件a>0。

第三類：當a<0時，可以畫出草圖：

從圖中可以看出，在區間[0，2]上函數先增后減，最小值為區間端點值，需要進行比較。當x=0時，y=-1；當x=2時，y=-1，而此種情況下，最小值只能是-1，與已知條件相違背，舍棄。

所以綜上得出a=1。

對于這兩道題相對來說簡單，要么給定了開口方向，要么給定了對稱軸而且區間端點關于對稱軸對稱。但是有時題中既不會給定對稱軸也不給定開口方向，就需要結合這兩道題綜合考慮未知系數的值，題目就會相對復雜。你只需要找準全部的區間，并且針對分類情況，將所有的值求出即可。

通過剖析二次函數圖象的最值問題，可以看出關鍵點在于圖象的對稱軸以及區間的界定，以及在分情況求解中條件的限定。其實對于二次函數圖象的最值問題，能畫出大概的草圖會有利于對于最值的把握，但是也不能一概而論，畢竟是草圖，不能主觀判斷。記住這幾點，然后在求解二次函數的圖象的最值問題時就會顯得游刃有余。

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