3T2R混聯機構運動學性能分析

曹浩峰，曹 毅，陳 海，秦友蕾，丁 銳

(1. 江南大學 機械工程學院， 江蘇 無錫 214122;2. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室， 江蘇 無錫 214122;3. 寧波廣播電視大學， 浙江寧波 315100；4. 上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室， 上海 200240)

3T2R混聯機構運動學性能分析

曹浩峰1,2,3，曹 毅1,2,4，陳 海1,2，秦友蕾1,2，丁 銳1,2

(1. 江南大學 機械工程學院， 江蘇 無錫 214122;2. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室， 江蘇 無錫 214122;3. 寧波廣播電視大學， 浙江寧波 315100；4. 上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室， 上海 200240)

5自由度混聯機構由完全各向同性的三維移動并聯機構和2自由度轉動的串聯機構組成.此混聯機構末端位置由兩部分共同決定，姿態完全由串聯部分決定.首先，求解了機構的自由度數目，并運用螺旋理論分析了自由度性質.然后，選取機構的驅動副，判斷并聯模塊支鏈第5個轉動副為消極副，從而簡化了并聯模塊，方便了后續的分析.最后，分析了混聯機構的運動學特征，利用運動影響系數求得其速度雅可比矩陣，并分析了機構的工作空間和奇異位形.該機構運動學解耦，計算方便，便于實時運動控制，同時機構工作空間大，無奇異位形，有很好的應用前景.

混聯機構； 螺旋理論； 運動學； 工作空間； 奇異位形

混聯機器人兼具串聯機器人的工作空間大、易于控制，以及并聯機器人的結構穩定、剛性好、累積誤差小、動態性能好、精度高的優點，同時又能避免單純串、并聯機器人所帶來的問題，其在現代制造業中更具有實用性，是今后機構學研究的一個重要發展方向[1-3].文獻[4]研制了6軸混聯式數控機床；文獻[5]對3桿混聯數控機床的運動學進行了研究；德國DMG 公司的著名五軸聯動機床DMC 165加工中心采用3個方向的平動軸構成的龍門加雙擺頭的串聯結構[6-7]；文獻[8]研制了多噴槍協同式五軸混聯機器人；文獻[9]運用PARAMIS并聯模塊和串聯模塊研發了一種新型手術機構.

少自由度并聯機構設計與創新是混聯機構設計的一個重要前提[10].解耦的并聯模塊，其輸入、輸出沒有耦合，則其理論分析和控制得到簡化[11].本文提出的5自由度混聯機器人，其由3自由度完全各向同性的三移并聯模塊和2自由度轉動串聯模塊組成.并聯模塊由3條正交分布的支鏈把動平臺和靜平臺連接起來，在空間三維移動方向解耦，所以整個混聯機構不存在耦合.機構正逆解簡單，工作空間大，結構和控制簡單，具有良好的應用前景.

1 混聯機構的描述

位置分析是研究機器人末端執行器位姿與各個軸轉角之間的關系，包括位置正解和逆解兩部分.

此混聯機構由并聯模塊3PRRPR和串聯模塊2R構成，其中，并聯模塊3PRRPR如圖1所示，它由3條支鏈將動平臺和靜平臺相連.每條PRRPR分支都具有5個自由度.其中，2條支鏈完全相同，將每個分支的每個運動副進行編號，可以表示成第i條支鏈的第j個運動副.第1個移動副Pi1平行于第2個轉動副Ri2和第3個轉動副Ri3的軸線，第4個移動副Pi4與第5個轉動副Ri5平行，并且Pi1和Pi4相互垂直(i=1,3).對于第2條支鏈，第1個移動副P21平行于第2個轉動副R22和第3個轉動副R23的軸線，第4個移動副P24與第5個轉動副R25及P21相互垂直.

3條支鏈的第一個移動副在空間中呈正交布置，按照圖1所示建立空間直角坐標系，則P11平行于Z軸，P21平行于X軸，P31平行于Y軸.串聯模塊的第1個轉動副軸線平行于動平臺平面，第2個轉動副垂直于動平臺，并且2個轉動副軸線互相垂直.

圖1 3-PRRPR并聯機構Fig.1 3-PRRPR parallel mechanism

2 混聯機構自由度分析

2.1 混聯機構自由度數計算

運用修正的Grübler-Kutzbach通用自由度計算公式[12](如式(1) )進行混聯機構自由度數計算.

6×(16-17-1)+17=5

(1)

式中：M為機構自由度；d為機構階數；n為包括機架的構件數目；g為運動副的數目；fi為第i個運動副的自由度；μ為機構中過約束的總數；ζ為機構中存在的局部自由度.

2.2 混聯機構自由度性質分析

對于混聯機構中的并聯模塊，如圖1用＄ij表示第i條支鏈的第j個運動副的運動螺旋.lij、mij、nij、pij、qij、rij表示第i條支鏈的第j個運動副的運動螺旋plüker坐標.

為分析混聯機構自由度性質，選取第1條支鏈，其5個運動螺旋plüker坐標可表示為

(2)

(3)

同理，可以求得第2條支鏈的運動螺旋系的約束反螺旋是一個沿著Z軸方向作用到動平臺上的約束力偶.第3條支鏈運動螺旋系的約束反螺旋是一個沿著X軸方向作用到動平臺上的約束力偶.

從整個并聯模塊看，3條支鏈將會產生3個作用到動平臺上的約束力偶，這3個力偶彼此線性無關，剛好約束了動平臺上的3個轉動自由度，所以此并聯模塊可以實現空間三維移動.再加上串聯在動平臺上的2個轉動自由度，所以此混聯機構具有三移兩轉5個自由度.

3 混聯機構驅動選取

首先，選取并聯模塊的驅動.由于并聯模塊具有3個移動自由度，所以需要3個驅動.可采用基于螺旋理論的并聯機構驅動選取方法.該方法為鎖定選定的驅動，如果驅動選取正確，當驅動被限制的時候，動平臺將失去全部的自由度，則動平臺的約束螺旋系的最大線性無關數為6[13].

一般選擇移動副或者轉動鉸作為驅動關節，由于移動副可以提高機構的精度指標并增加負載能力，因此，大多數3自由度并聯機構在實際使用中都采用移動副作為驅動關節[14].對此機構，選取與靜平臺相連的3個在空間相互垂直的移動副為驅動.如限制這3個移動副后，對每條支鏈分別求取其運動螺旋的反螺旋，可得到動平臺的約束螺旋系為

(4)

顯然式(4)中的6個約束螺旋系線性無關，所以此時的動平臺自由度為0，即當3個移動副被限制住后，動平臺不能運動，所以驅動選取正確.

記動平臺的角速度矢量為ωn，固定在動平臺上的參考坐標系原點線速度矢量為vn，則動平臺的運動螺旋為

(5)

對于支鏈1，將將運動螺旋系代入式(5)中，可得：

(6)

由于并聯模塊只有三維移動自由度，所以ωn=[0 0 0]T，代入式(6)中可得：

(7)

由此可以看出支鏈1的第5個轉動副R15的轉動角速度為0.同理可得支鏈2和支鏈3的第5個轉動副R25和R35的轉動角速度為0.

因此，并聯模塊各支鏈的第5個轉動副在機構發生運動時均不發生轉動，是個消極的運動副.并聯機構可以簡化為完全對稱的3-PRRP機構，這樣可以簡化后續的運動學分析.

對于串聯模塊的2個自由度分別加2個轉動驅動.

4 混聯機構位置分析

4.1 并聯模塊位置分析

如圖2所示，將固定坐標系O-XYZ設定在機架的右下方，動坐標系p-xyz設置在動平臺的幾何中心上.支鏈1中P11的起始點位于XY平面，距X軸D1x，距Y軸D1y，P11的輸入位移為q11.支鏈2中P21位于XZ平面，它的起始點距X軸D2x，距Z軸D2z，P21的輸入位移為q21.支鏈3中P31的起始點距YZ平面D3x，距XZ平面D3y，距XY平面D3z，P31的輸入位移為q31.第1個移動副的行程為L1，它距離第2個轉動副的距離為a，第2個轉動副與第3個轉動副的距離為L2，第3個轉動副距離第4個移動副的起始端的距離為b，第4個移動副的行程為L3，第4個移動副距離動平臺中心點的距離為c.在3條支鏈中，第2個轉動副與第3個轉動副的連線的轉動角度分別為α1，β1，γ1，并規定此連線與第1個移動副和第2個轉動副之間的構件垂直時為0°，順時針旋轉為正.

圖2 并聯模塊運動參數示意圖Fig.2 Kinematic parameters schematic of the parallel module

根據圖2的幾何關系，可得動平臺中心點p的位置坐標.對于第1條支鏈：

(8)

對于第2條支鏈：

(9)

對于第3條支鏈：

p=[ D3x-a-L2sinγ1-b-c D3y+q31

D3z-L2cos γ1-q32]

(10)

由式(8)～(10)可得：

(11)

由此可以得到此并聯機構的運動學正解為

(12)

由式(12)可以得到運動學的逆解為

(13)

4.2 串聯模塊位置分析

利用坐標系建立方法建立串聯模塊各連桿的坐標系如圖3所示，對應的D-H參數如表1所示.

圖3 串聯模塊坐標系分布Fig.3 Coordinates of the serial module表1 D-H法連桿參數表Table 1 Link parameters table utilizing the D-H method

關節iαi-1/(°)ai-1/mmdi/mmθi/(°)2-9000θ23-9000θ3

由D-H坐標參數可以計算出各相鄰連桿的齊次變換矩陣為

式中：ci=cosθi，si=sinθi，i=2, 3.

那么，機器人末端相對于并聯機構動平臺坐標系的變換矩陣，也即串聯機構正運動學方程為

(14)

從而得到末端位姿矩陣與兩個關節角變量的解析表達式，求得了其運動學正解.

坐標系1相對于參考坐標系(即并聯機構動平臺上的坐標系)的變換矩陣為

(15)

式中：L4為圖3中坐標系原點O0到O1的距離.

坐標系4(混聯機構末端坐標系)相對于坐標系3的變換矩陣為

(16)

式中：L5為圖3中坐標系原點O3到O4的距離.

所以機構末端相對于動平臺的位姿可以表示為

(17)

4.3 自由度混聯機構位置分析

(18)

代入式(18)中可得：

則此混聯機構的位置方程為

(19)

將式(12)代入式(19)中可以得到：

(20)

(21)

用歐拉角表示的姿態角度和機構的姿態方程對應起來，則可以得到：

-sin θ2=sin β

(22)

由式(22)可以得到θ2=β+π或者θ2=-β.

(1) 當θ2=β+π時，即cos θ2=-cos β進而代入cos θ2cos θ3=cos βcos γ中，則可得cos θ3=-cos γ，由此θ3=γ+π或者θ3=π-γ.

① 當θ3=γ+π時，則cos θ3=-cos γ，sin θ3=-sin γ，cos θ2=-cos β，sin θ2=-sin β.

由此矩陣

令-cosαcosθ2=-cosθ2，則cos α=1，α=0，sin α=0.

剛好符合旋轉變化，則θ2=β+π，θ3=γ+π，α=0.

② 當θ3=π-γ時，則cos θ3=-cos γ，sin θ3=sin γ，cos θ2=-cos β， sin θ2=-sin β.由此，矩陣不滿足機構的運動學姿態變化矩陣.

(2) 當θ2=-β時，即cos θ2=cos β.觀察式(17)和(21)第1行第1列中cos θ2cos θ3=cos βcos γ，則得cos θ3=cos γ，由此θ3=γ或者θ3=-γ.

① 當θ3=γ時，則cos θ3=cos γ，sin θ3=sin γ，cos θ2=cos β，sin θ2=-sin β.

由此矩陣

剛好符合機構運動學姿態變化矩陣，所以θ2=-β， θ3=γ， α=π.

② 當θ3=-γ時，則cos θ3=cos γ，sin θ3=-sin γ，cos θ2=cos β，sin θ2=-sin β.由此矩陣不滿足機構的運動學姿態變化矩陣.

綜上所述，θ2=β+π， θ3=γ+π， α=0； θ2=-β， θ3=γ， α=π.

由此可以得到此混聯機構姿態的正解：α=0， β=θ2-π， γ=θ3-π； α=π， β=-θ2， γ=θ3.

5 混聯機構速度分析

可以用雅可比矩陣來表達并聯機構動平臺的輸出速度和驅動關節的輸入速度之間的映射關系，即：

(23)

5.1 并聯模塊速度與加速度分析

將式(13)左右兩邊同時對時間求一階導數得：

(24)

(25)

將式(24)左右兩邊同時對時間求二階導數得：

(26)

式(24)和(26)分別表示了并聯機構輸入、輸出之間的速度和加速度關系.

5.2 混聯機構速度分析

由式(19)可得末端執行器的線速度為

(27)

由式(27)可得：

(28)

此時發現，求雅可比矩陣的關鍵是保證操作空間和兩個串聯的關節空間速度一一映射，即將空間的3個姿態表示成關于θ2和θ3的表達式.

當用X-Y-Z歐拉角(α,β,γ)表示動平臺姿態時，歐拉角(α,β,γ)對時間的導數在X軸、Y′軸、Z″ 軸上，X、Y′和Z″非正交.將X、Y′和Z″轉換到{O}上，則動平臺角速度可用歐拉角導數表示為

(29)

當θ2=β+π，θ3=γ+π，α=0時，

則

(30)

則機構的雅可比矩陣為

(31)

當θ2=-β， θ3=γ， α=π時，

則

(32)

則機構的雅可比矩陣為

(33)

由式(31)和(33)可知，兩次求得的速度雅可比矩陣相同.

6 混聯機構運動性能指標

6.1 混聯機構工作空間分析

影響工作空間的因素有桿長的約束、轉動副轉角的約束、連桿之間的運動干涉.給定并聯模塊各支鏈第1個移動副的輸入桿長限制為L1，第4個移動副的桿長限制為L3，第2個轉動副與第3個轉動副連線的轉動角度分別為α1、β1、γ1，根據工程實踐，限制這3個轉動角度范圍為0°～180°.串聯模塊第1個轉動副的范圍為-90°～90°，第2個轉動副的范圍為-180°～180°.

設定3-PRRPR +2R機構的尺寸參數：L1min=0 mm，L1max=500 mm，L2=500 mm，L3min=0 mm，L3max=500 mm；D2z=100 mm，D3y=100 mm；L4=120 mm，L5=120 mm.

采用直角坐標系對混聯機構的可達工作空間進行搜索，運用蒙特卡洛法對空間可達的點用星號標注，得到該混聯機構的可達工作空間如圖4所示.

6.2 混聯機構的奇異性分析

機構處于奇異位形是指雅可比矩陣的秩比作業向量(或偽作業向量)維數小的位形[16].3-PRRPR +2R 5自由度混聯機構的奇異問題可以通過判斷速度雅可比矩陣是否滿秩來分析[17].由于此雅可比矩陣為一個6×5的矩陣，無法直接通過求雅可比矩陣的行列式的形式來求解其奇異位形.

在本文5自由度混聯機械臂的工作空間內遍歷計算速度雅可比矩陣J在工作空間內的秩，結果發現不存在秩小于5的情況，可以確定該混聯機械臂在工作空間內不存在奇異位形.

利用雅可比矩陣的轉置與雅可比矩陣相乘就可以得到一個5×5的矩陣，求此矩陣的行列式的值為1，所以此混聯機構具有各向同性.

7 結 論

(1) 本文提出的5自由度混聯機構結構簡單，并聯模塊采用3個移動副驅動可實現三維移動，承載能力強，串聯模塊采用兩個轉動副驅動實現二維轉動，整個機構結構緊湊.通過判斷并聯模塊的消極副，簡化了機構，串聯模塊采用D-H方法求得運動學變換矩陣，從而推導了整個混聯機構的位置正反解和速度，驗證了機構運動解耦特性，以方便實時控制.

(2) 運用速度傳遞形式，將并聯模塊得到的三維移動參數轉化成D-H參數，得到整個混聯機構的運動姿態表達式，使其與用歐拉角表示的末端姿態相等，得到歐拉角與輸入參數之間的關系，從而推導了混聯機構的雅可比矩陣，驗證了機構具有完全各向同性.

(3) 混聯機構的工作空間是一個長方體，工作空間體積大，機構不存在奇異，具有很好的運動學性能和靈活性，因此具有很好的應用價值.

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Kinematic and Performance Analysis of 3T2R Hybrid Mechanism

CAOHao-feng1,2,3,CAOYi1,2,4,CHENHai1,2,QINYou-lei1,2,DINGRui1,2

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, China;2. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, Wuxi 214122, China;3. Ningbo Radio & TV Vnivresity, Ningbo 315000, China;4. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China)

The 5-DOF(degree of freedom) hybrid mechanism is composed of a fully-isotropic three-dimensional translational parallel mechanism and a 2 DOF rotational serial mechanism. The position of the end-effector for the hybrid mechanism depends on the two parts, while the orientation is completely determined by the serial part. First of all, the number of degrees of freedom of the mechanism is calculated, and its characteristic is analyzed based on screw theory. Then, the driven pair of the mechanism is selected and further research shows that the fifth revolute pair in each limb of the parallel mechanism is inactive, these pave theoretical grounds for the following analyses. Finally, the kinematical characteristics of the hybrid mechanism are analyzed by deriving its velocity Jacobian matrix based on kinematic influence coefficient and analyzing its workspace and singularity. The hybrid mechanism has a good application prospect owing to its kinematics decoupling, the large workspace and singularity-free characteristics.

hybrid mechanisms; screw theory; kinematics; workspace; singularity

16710444 (2016)060881-08

20150909

國家自然科學基金資助項目(50905075)；機械系統與振動國家重點實驗室開放課題資助項目(MSV201407)；江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室開放課題資助項目(FM-201402)

曹浩峰(1990—)，男，浙江寧波人，碩士研究生，研究方向為混聯機器人機構學理論及機器人技術.E-mail：haofeng_cao@163.com 曹 毅(聯系人)，男，副教授，E-mail：caoyi@jiangnan.edu.cn

TH 112

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