類比推理在幾何中的應用

燕淑珍

我們在文科選修1-2理科選修2-2中學習過類比推理，下面就類比推理談一下筆者的一些想法。這種由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）。簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。在數學中，我們可以由已經解決的問題和已經獲得的知識出發，通過類比提出新問題和作出新發現。數學家波利亞曾提出：“類比是一個偉大的引路人，求立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的問題。”利用類比聯想可以發現新的數學知識，利用類比可以尋求到解決數學問題的方法和途徑，可培養學生的發散思維、創造思維及合情推理能力。本文就類比推理在解析幾何和立體幾何中的應用作一些探討。

一、類比推理在解析幾何中的應用

例1.在平面直角坐標系內，方程表示在x 軸和y 軸上的截距分別為a和b的直線，拓展到空間，在x軸y軸z軸上的截距分別為a 、b 、c（a b c≠0）的平面方程為（ ）

A. B.

C. D.

分析：由結構上的相似性產生聯想可以得到結論：二維到三維只要在直線方程的左邊加上就可以得到平面的方程了，所以選擇A。

例2.在平面直角坐標系內，以點（x0，y0）為圓心，r為半徑的圓的方程為（x–x0）2 + （y– y0）2 = r2 ，拓展到空間，在空間直角坐標系內，以點（x0 ，y0 ，z0）為球心，r為半徑的球的方程為 。

分析：由圓的定義和球的定義的相似性可以聯想到它們方程之間在結構上的相似性，故在空間直角坐標系內，以點（x0，y0，z0）為球心，r為半徑的球的方程為（x–x0）2 + （y–y0）2+（z– z0）2 = r2。

例3.點P在⊙O：x2 + y2 = r2 （r>0）外的充要條件是|OP|>r；將此結論類比到橢圓，并給出證明。

分析：點在圓外可以用點到圓心的距離大于半徑來作判斷，那么這個結論要類比到橢圓。我們首先得分析類比對象，圓心是定點半徑是定長，在橢圓中定點是焦點定長是長軸長。因此，我們可以寫出這樣類似的結論：若橢圓（a>b>0）的左右焦點分別是F1 、F2 ，則點Q在橢圓（a>b>0）外的充要條件是|QF1|+|QF2|>2a 。

解：類似的結論：若橢圓（a>b>0）的左右焦點分別是F1 、F2 ，則點Q在橢圓（a>b>0）外的充要條件是|QF1|+|QF2|>2a 。

例4.已知命題： 在平面直角坐標系XOY中，△ABC頂點A（-P，0）和B（P，0），頂點B在橢圓（m>0，n>0，p =）上，橢圓的離心率是e，則，試將該命題類比到雙曲線中，給出一個真命題： 。

分析：由橢圓的定義及正弦定理可以得到，，那么類比到雙曲線中，可以得到這樣的一個真命題：在平面直角坐標系XOY中，△ABC頂點A（-P，0）和B（P，0），頂點B在雙曲線（m>0，n>0，）上，雙曲線的離心率是e，則。證明與橢圓的類似，下面給出它的證明過程。由雙曲線的定義及正弦定理可以得到，

二、類比推理在立體幾何中的應用

例5.如圖，若射線OM，ON上分別存在點M1、M2與點N1、N2，則三角形面積之比。若不在同一平面內的射線OP，OQ和OR上分別存在點P1、P2，點Q1、Q2和點R1、R2，則類似的結論是 （不要求寫出證明過程）。

分析：這是一個由平面到空間的推廣，首先找出類比對象。面積對應體積，三角形△OM1N1，△OM2N2對應四面體O-P1Q1R1，四面體O-P2Q2R2 ，OM1×ON1 ，OM2×ON2 對應OP1×OQ1×OR1 ，OP2×OQ2×OR2 。因此，類似結論為： 。

例6.如圖，已知O是△ABC內任意一點，連結AO，BO，CO并延長交對邊于A1，B1，C1，則。運用類比，猜想對于空間中的四面體，類似的結論是 。

分析：如圖，首先找出類比對象，已知O是△ABC內任意一點，對應已知O是四面體A-BCD內任意一點；連結AO，BO，CO并延長交對邊于A1，B1，C1，對應連結AO，BO，CO，DO并延長交對面BCD，ACD，ABD，ABC于A1，B1，C1，D1；對應。因此，類似結論為：已知O是四面體A-BCD內任意一點，連結AO，BO，CO，DO并延長交對面于A1，B1，C1，D1，則。

類比思想方法是數學解題中常用的策略，我通過幾個例題來說明類比推理在解析幾何和立體幾何中的應用。數學中還有向量與數的類比，無限與有限的類比，不等與相等的類比，等等。實際上，類比的應用無處不在。例如：在人們的創造發明活動中，我國古代工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的齒牙，發明了鋸；人們仿照魚類的外形和它們在水中的沉浮原理，發明了潛水艇。