源于一道教材習題的高三復習課

☉浙江省湖州市吳興高級中學 劉曉東

源于一道教材習題的高三復習課

☉浙江省湖州市吳興高級中學 劉曉東

一、引言

高三復習是一個系統工程，對于學生而言，高三復習是對數學知識的再學習，是把數學知識進行鞏固和內化，形成知識體系，逐步提高分析和解決問題的能力；對于教師而言，通過高三復習課教學，進一步激發學生對數學的興趣，幫助學生構建科學的知識網絡，促進學生對數學思想方法的理解和掌握.如何提高復習課的效率？始終是高三教學永恒的話題，現實中，我們不難發現，很多學校、很多老師的高三數學復習，都是圍繞教輔資料一輪、二輪甚至三輪、四輪，機械地重復與練習仿佛成了高三數學復習的全部，教師缺乏對復習課深刻的理解與精心設計，成了教輔資料的奴隸，學生則成了解題的工具，數學能力依舊在原地徘徊，很難有質的飛躍.

要改善復習課的教學現狀，關鍵在教師.教師用教輔資料無可厚非，但不能只是教輔的搬運工，應致力于對復習課的教學設計，加強對教材的深刻理解及適度開發、挖掘.教材是數學知識、方法、思想的重要載體，是產生高考題的主要來源，相當數量的高考題源于教材，即使是綜合題，也是基本題的組合、加工和發展，高考試題萬變不離其宗.縱觀高考學生答題情況，考生在答題中的大部分失誤，并不是因為缺乏靈活思維，而是對基礎知識、基本定理的掌握存在不足，對知識理解往往是片面的、孤立的、膚淺的，不能形成完整合理的知識體系和深層次的理解，這些原因的產生與學生在高考復習中脫離教材有很大的關系.脫離課本，導致的直接后果就是嚴重影響了學生對基礎知識的牢固掌握，在復習過程中，教師應有意識、有目的地對教材中典型的例習題進行反思探討，挖掘例習題的內涵和外延，在變換中培養學生解決“新問題”的能力，達到“知新”的目的.本文是源于一道課本習題的高三復習課，旨在引玉.

二、源于一道教材習題的高三復習課教學設計

環節一：原題再現

原題 （人教A版必修4第102頁第4題）如圖1，設Ox、Oy是平面內相交成60°角的兩條數軸，e1、e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量則把有序實數對（x，y）叫作向量在坐標系xOy中的坐標.假設

（2）由平面向量的基本定理，本題中向量坐標的規定是否合理？

變式拓展：過點P作直線l分別與x軸、y軸交于點A、B，確定A、B的位置，使△OAB的面積最小，并求最小值.

設計意圖：原題是教材中一道非常經典的習題，內涵豐富.通過原題再現，讓學生重溫經典（有的學生可能根本就沒做過），但并不是為了解題而解題，主要是讓學生通過解題體驗斜坐標系的思想.對問題（1）兩種方法的處理，既體現了向量運算的統一性，也體現了斜坐標系自身的特點；對問題（2）的解讀，即對平面向量的基本定理進行了復習，也說明了斜坐標系的合理性.為了強化學生對斜坐標系的體驗，設計了一個簡單的變式，為斜坐標系的引入奠定基礎.

環節二：斜坐標系的引入

1.斜坐標系的定義

在平面坐標系中，如果x軸和y軸相交成任意的角θ（不一定是直角），如圖2，經過平面內一點P作坐標軸的平行線PM和PN作為P點的x坐標和y坐標，這樣的坐標系叫作斜坐標系.

圖2

2.斜坐標系的幾個結論

（1）斜坐標系也可分為四個象限，各象限點的坐標及符號與直角坐標系定義方式相同.

（2）平面向量中的結論在斜坐標系中成立，且十分方便（基底即有方向的單位長）.

（3）斜坐標系中的直線方程可以利用直角坐標系中的截距式方程.設m、n分別是直線l在x軸、y軸上的“截距”，則l的方程為過原點的直線方程為y=tx.

（4）在斜坐標系中x+y=k為一族平行直線，類比直角坐標系，k為兩軸上的“截距”.

3.斜坐標系下的“四象九域”

圖3

類比直角坐標系下線性規劃知識可得：（不妨記1—1區域為第一象限1號區域，其余類似，共九個區域）

設計意圖：教材在平面向量的學習中安排這個習題，是有一定含義的，平面向量中的結論在斜坐標系中成立，說明了斜坐標系對向量的意義.在本環節的設計上，突出斜坐標系的定義，在這點上學生是很容易接受的，但有了定義，學生還不一定會用，為此，又給出了斜坐標系的幾個相關結論及“四象九域”，為學生的應用提供更多的抓手，特別是與線性規劃的結合，充分體現了直角坐標系與斜坐標系的內在聯系及一致性.

環節三：斜坐標系下的向量問題

1.利用“四象九域”解題

例1 （2016年浙江統測文）已知平面向量a，b，c，滿足c=xa+yb（x，y∈R），且a·c＞0，b·c＞0.下面結論正確的是（ ）.

A.若a·b＜0，則x＞0，y＞0 B.若a·b＜0，則x＜0，y＜0

C.若a·b＞0，則x＜0，y＜0 D.若a·b＞0，則x＞0，y＞0

解析：因為a·c＞0，b·c＞0，若a·b＜0，則可建立如圖4所示的斜坐標系，則向量c在第一象限，所以x＞0，y＞0，故選A.

圖4

圖5

變式1：（2016年北京市朝陽區高三一模）已知M為三角形ABC內一點（不含邊界）則實數n的取值范圍是______.

解析：如圖5，以AB為x軸，以AC為y軸建立斜坐標系，AB、AC分別為x軸、y軸方向上的單位長度，則BC的方程為x+y=1，因為M在三角形內部，所以n＞0，且所以

圖6

變式2：（2006年湖南理15）如圖6，OM∥AB，點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的區域內（不含邊界）運動，且，則x的取值范圍是_________；當時，y的取值范圍是_________.

解析：以OA、OB分別為x軸、y軸建立斜坐標系，如圖6，OA、OB為單位長，則AB的方程為x+y=1，OM的方程為x+y=0，由點P所處位置，則x＜0，0＜x+y＜1，因為所以

設計意圖：“四象九域”是斜坐標系的基本要素，為了讓學生更好地理解斜坐標系，掌握斜坐標系的應用，特設計例1和兩個變式，這三個問題利用“四象九域”來解決，顯得尤為自然和簡捷，學生也能夠很快掌握，當然，我們也不能否定其他的解法.

圖7

2.斜坐標系與線性規劃的結合

例2 （2016年杭州一模）在直角△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的內切圓交CA、CB于點D、E，P是圖7中陰影區域內的一點（不包含邊界），若則x+y的值可以是（ ）.

A.1 B.2 C.4 D.8

解析：分別以CB、CA為x軸、y軸建立直角坐標系，易知△ABC內切圓半徑為1，則DE的直線方程為x+y=1，此時顯然不合題意，把DE適度上下平移，易知只有x+y=2滿足題意，故選B.

例3 （2015年東北四校聯考）已知點A（1，-1），B（4，0），C（2，2），點P滿足則點P（x，y）組成的平面區域的面積為（ ）.

A.2 B.4 C.8 D.12

如圖8，建立斜坐標系，結合線性規劃知識，則點P（x，y）組成的平面區域為圖中的陰影部分，其面積為三角形ABC面積的2倍，故選C.

圖8

變式3：（2016年紹興市高三第一學期高三期末）正△ABC的邊長為1，向量則動點P所形成的平面區域的面積為______.

解析：仿照例3建立斜坐標系，易求得動點P所形成的平面區域的面積為

設計意圖：本環節的設計以直角坐標系導入，通過例3和變式3的設計，讓學生充分體驗利用斜坐標系處理向量問題的快捷，大大減少了思維量，從斜坐標系的視角處理線性規劃問題，學生掌握的不僅僅是一種方法，更是對思維的一種提升，是對數學更深刻的理解.

圖9

3.由平面向空間拓展

例4 如圖9所示，點O∈平面A′B′C′∥平面ABC，點Q在三棱錐O-ABC內部運動（不含邊界），記則x的取值范圍是_________.若時，則y+z的取值范圍是________.

解析：如圖9建立空間斜坐標系，結合線性規劃知識，易得x＞0，y＞0，z＞0，且0＜x+y+z＜1，所以x的取值范圍是0＜x＜1.若所以

設計意圖：本環節的設計是將斜坐標系由平面推廣到空間，旨在開拓學生的思維空間，學生的理解也是水到渠成，以例1為基礎，本解法自然流暢，給人耳目一新之感.考慮到學生認知基礎，此處不易過度拓展，否則也不符合高考要求，所以本環節只安排一個例題，也沒必要設置變式.

圖10

4.活用斜坐標系直線的“截距”

例5 （2016年稽陽聯誼高三聯考）如圖10，在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點，BD與CE相交于點P.若A→P=xA→B+則2x+y=______；若Q是△BCP內部（含邊界）一動點，且則m+2n的取值范圍為______.

解析：如圖10，分別以AB，AD為x軸，y軸，AB，AD為單位長建立斜坐標系，因為E為AB的中點，過點P作PF∥AD，則易得P點坐標為所以

圖11

例6 （2011屆蘇錫常鎮揚五市調研）如圖11，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設向量則λ+μ的最小值為______.

設計意圖：斜坐標系下直線的“截距”式方程是斜坐標系的亮點工具之一，有著美麗的幾何意義，本環節通過兩個例題的設置向學生充分展示了它的應用.對于學生而言，初用斜坐標系可能一時還無法適應，思維還會停留在原有的習慣上，但通過一定的訓練，學生會很快接受的.對于這兩個例題，我們既可以用幾何法解決，也可以通過基底思想進行求解，但我們從斜坐標系的視角來處理，指向更為明確，只要合理的建系，問題便可迎刃而解.

三、教學反思

1.恰當地處理好課本與復習資料的關系

如何用好復習資料，讓它發揮最大的效益，如何處理好課本與復習資料的關系，這是高三復習過程中首先要解決的一個基本問題.教材是教學的藍本，無論是學生還是教師都要給予足夠的重視，尤其教材中比較經典的習題，我們更應花大力氣去研究、探討，甚至是去拓展，本案例通過對一道課本習題的開發與拓展，并與高考熱點相結合，收到了較好的復習效果.

2.對于教材習題拓展應適度

高三復習過程中，最難把握的就是教學的難度問題.對于教材習題拓展到什么程度，也是值得探討的問題.本節課筆者在三個不同層次的學校都上過，教學效果也大相徑庭，基礎好的學校效果明顯要好.對于基礎差一點的學生而言，并不是他們接受不了，而是對斜坐標系毫無概念，讓其在一節課之內完全接受，難度可想而知.事實上，對教材習題的研究不僅僅是在高三，而應該貫穿在我們教學的全過程中.

3.讓高三數學復習課的課堂真正“活”起來

高三數學以復習課為主，傳統做法是大容量、大密度，以老師講為主，學生被動地接受，在課堂上基本上是圍繞著教輔資料轉，圍著題目轉，師生都成了解題機器，復習效果往往事倍功半.事實上只要我們把頭抬起來，看看教材，研究一下教材習題，我們會發現一片新天地.本案例的意圖就是要打破常規，從研究教材的視角向學生傳遞一個信息，教材是根，課本才是我們高三復習的根本.從實際教學來看，這樣的復習課學生的參與度明顯提高，課堂真正活了起來，雖然本節課的教學設計，在容量、難度等處理上有很多值得商榷的地方，但學生還是比較歡迎，效果也比較理想.

著名數學家G.波利亞說過：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一個門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”事實上，教材中的習題是編者從茫茫的題海中經過反復篩選，精心選擇出來的，在解題思路和方法上具有典型性和代表性，在由知識轉化為能力上具有示范性和啟發性.本案例正是基于這種思想，通過對一道教材習題背景的揭示與拓展，去詮釋研究數學教材習題、開發教材習題的必要性，從而提高高三數學復習課的效率.

1.沈新權.MPCK視角下的高中數學復習課教學［J］.中學數學（下），2016（3）.