復合函數中的幾類問題辨析

☉江蘇省海安縣實驗中學 楊興紅

復合函數中的幾類問題辨析

☉江蘇省海安縣實驗中學 楊興紅

復合函數是近幾年高考的熱點，是高中與大學重要的知識點和難點，筆者結合多年的教學實踐談談復合函數中幾類問題的解決.

一、復合函數的概念及基本性質

復合函數類似工廠連續經過幾道工序加工一個零件，對應關系g先對x作用，得到g（x）為里層函數；然后對應關系f作用g（x）整體，得到f（g（x））為外層函數；復合函數與里層函數是同一個自變量x，里層函數g（x）是對應關系g對自變量x作用一次，而復合函數f（g（x））是對應關系g與f同時對自變量x作用兩次，并且有作用的先后順序，對應關系f后作用的是里層函數g（x）的整體，于是里層函數g（x）充當外層函數的自變量；里層函數的定義域就是復合函數的定義域，里層函數的值域就是外層函數的定義域；外層函數的值域就是復合函數的值域；復合函數f（g（x））的單調性概括為“同增異減”.

二、例談復合函數的幾類問題

1.定義域問題

復合函數的定義域問題是比較容易出錯的，也是經常考查的重要問題，然而求復合函數定義域問題也是常錯的一類題.

這道題相當于給出已知f（x）的定義域，求f［g（x）］的定義域.據自己所理解的是g（x）把前面的f（x）中x的位置給占了，而g（x）要能替代x就必須符合x的范圍，就像并不是所有的人都能當主席，必須有能力才能在主席這個位置上混.形象的理解就是在f（?）中，現在g（x）要替代?的位置，就必須具備?所具有的性質.

由此總結出兩個常見結論：

（1）已知f（x）的定義域，求f［g（x）］的定義域.

其解法是：若f（x）的定義域為a≤x≤b，則在f［g（x）］中，a≤g（x）≤b，從中解得x的取值范圍即為f［g（x）］的定義域.

（2）已知f［g（x）］的定義域，求f（x）的定義域.

其解法是：若f［g（x）］的定義域為m≤x≤n，則由m≤x≤n確定的g（x）的范圍即為f（x）的定義域.

這兩個結論對不對呢？回到數學當中來，我們現在要由g（x）來確定f（x）的定義域是缺少條件的，我們求出來的g（x）的范圍僅僅只是f（x）定義域的子集而已.

因為f（x）的定義域是R，而g（x）的值域是［1，+∞），則f［g（x）］的定義域是［1，+∞），這是不符合我們上面的求法的.

也就是說我們在沒有明確說明g（x）完全等價于f（x）中的x時是不能直接判斷g（x）的值域就是f（x）的范圍的.

因此可以總結出：

（1）已知f（x）的定義域，求f［g（x）］的定義域.

其解法是：若f（x）的定義域為a≤x≤b，則在f［g（x）］中，a≤g（x）≤b，從中解得x的取值范圍即為f［g（x）］的定義域.

（2）已知f［g（x）］的定義域，求f（x）的定義域.

其解法是：若f［g（x）］的定義域為m≤x≤n，則由m≤x≤n確定的g（x）的范圍即為f（x）的定義域的子集.

2.點對稱問題

在高三的教學實踐中，常常遇到下面兩個問題：

（1）已知函數f（x）=cosxsin2x，下列結論中正確的是（ ）.

A.y=f（x）的圖像關于（0，π）中心對稱

D.f（x）既是奇函數，又是周期函數

課堂講解時，筆者對選項A、B分別驗證f（2π-x）= -f（x）和f（π-x）=f（x）成立，判斷A、B正確.課后學生問：老師此題若改為填空題，求函數f（x）=cosxsin2x的對稱軸、對稱中心怎么做，函數f（x）=cosxsin2x還有其他的對稱軸、對稱中心嗎？

（2）在有關三角函數內容教學時，有一種重要題型，如：已知函數求函數的對稱中心、對稱軸.

性質1：設函數y=f（x）的定義域為A，函數y=g（x）的值域為B，B?A，函數y=f（x）的圖像關于（b，c）對稱，函數y=g（x）的圖像關于（a，b）對稱，則函數y=f（g（x））的圖像關于（a，c）對稱.

證明：因為函數y=f（x）的圖像關于（b，c）對稱，函數y=g（x）的圖像關于（a，b）對稱，所以f（2b-x）=2c-f（x），g（2a-x）=2b-g（x），設h（x）=f（g（x）），因為h（2a-x）= f（g（2a-x））=f（2b-g（x））=2c-f（g（x））=2c-h（x），所以函數y=f（g（x））的圖像關于（a，c）對稱.

注：內、外函數都是中心對稱函數，且內函數圖像對稱中心的縱坐標等于外函數圖像對稱中心的橫坐標，則復合函數圖像是中心對稱.

性質2：設函數y=f（x）的定義域為A，函數y=g（x）的值域為B，B?A.函數y=f（x）的圖像關于x=b對稱，函數y= g（x）的圖像關于（a，b）對稱，則函數y=f（g（x））的圖像關于x=a對稱.

證明：因為函數y=f（x）的圖像關于x=b對稱，函數y= g（x）的圖像關于（a，b）對稱，所以f（2b-x）=f（x），g（2a-x）= 2b-g（x），設h（x）=f（g（x）），因為h（2a-x）=f（g（2a-x））= f（2b-g（x））=f（g（x））=h（x），所以函數y=f（g（x））的圖像關于x=a對稱.

注：內函數是中心對稱函數，外函數圖像關于軸對稱，且內函數圖像對稱中心的縱坐標等于外函數圖像對稱軸的值，則復合函數圖像是關于軸對稱.

性質3：設函數y=f（x）的定義域為A，函數y=g（x）的值域為B，B?A，函數y=g（x）的圖像關于x=a對稱，則函數y=f（g（x））的圖像關于x=a對稱.易證.

注：內函數圖像關于軸對稱，則復合函數圖像也關于軸對稱，簡記為“內軸為軸.”

下面運用性質解決問題：

（1）求函數f（x）=cosxsin2x的中心對稱、對稱軸.

解析：由函數f（x）=2（sinx-sin3x），設y=-2t3+2t，t= sinx，y=-2t3+2t的對稱中心是（0，0），t=sinx的對稱中心是（kπ，0）（k∈Z），內函數圖像對稱中心（kπ，0）（k∈Z）的縱坐標等于外函數圖像對稱中心（0，0）的橫坐標，根據復合函數圖像對稱的性質1，則所求函數圖像的對稱中心為（kπ，0）（k∈Z）.

y=-2t3+2t的對稱中心是（0，0），t=sinx的對稱軸是x=根據復合函數圖像對稱的性質3，則所求函數圖像的對稱軸是

圖1

圖1是利用幾何畫板畫出的函數f（x）=cosxsin2x的圖像，可驗證上述結論的正確性.

因此可知：復合函數的奇偶性是復合函數圖像對稱性質的特例.探究尋源，抓住問題的本質，才能使我們高屋建瓴地看待問題，理解掌握復合函數圖像的對稱性質，能使我們居高臨下地處理此類問題，在我們在教學中游刃有余.

3.綜合問題

復合函數問題也常常在綜合問題中遇到，例如，新高考改革上海2015年理科數學23題考到復合函數對應關系，下以此例說明：對于定義域為R的函數g（x），若存在正常數T，使得cosg（x）是以T為周期的函數，則稱g（x）為余弦周期函數，且稱T為其余弦周期.已知f（x）是以T為余弦周期的余弦周期函數，其值域為R.設f（x）單調遞增，f（0）=0，f（T）=4π.

（2）設a＜b，證明對任意c∈［f（a），f（b）］，存在x0∈［a，b］，使得f（x0）=c；

（3）證明：“u0為方程cosf（x）=1在［0，T］上的解”的充要條件是“u0+T為方程cosf（x）=1在［T，2T］上的解”，并證明對任意x∈［0，T］都有f（x+T）=f（x）+f（T）.

解析：（1）略.

（2）由于f（x）的值域為R，所以對任意c∈［f（a），f（b）］，c都是一個函數值，即有x0∈R，使得f（x0）=c.

若x0＜a，則由f（x）單調遞增得到c=f（x0）＜f（a），與c∈［f（a），f（b）］矛盾，所以x0≥a.同理可證x0≤b.故存在x0∈［a，b］使得f（x0）=c.

（3）若u0為cosf（x）=1在［0，T］上的解，則cosf（u0）=1，且u0+T∈［T，2T］，cosf（u0+T）=cosf（u0）=1，即u0+T為方程cosf（x）=1在［T，2T］上的解.

同理，若u0+T為方程cosf（x）=1在［T，2T］上的解，則u0為該方程在［0，T］上的解.

以下證明最后一部分結論.

由（2）所證知存在0=x0＜x1＜x2＜x3＜x4=T，使得f（xi）=iπ，i=0，1，2，3，4.

而［xi，xi+1］是函數cosf（x）的單調區間，i=0，1，2，3.

與之前類似地可以證明：u0是cosf（x）=-1在［0，T］上的解，當且僅當u0+T是cosf（x）=-1在［T，2T］上的解，從而cosf（x）=±1在［0，T］與［T，2T］上的解的個數相同.

故f（xi+T）=f（xi）+4π，i=0，1，2，3，4.

對于x∈［0，x1］，f（x）∈［0，π］，f（x+T）∈［4π，5π］，而cosf（x+T）=cosf（x），故f（x+T）=f（x）+4π=f（x）+f（T）.

類似地，當x∈［xi，xi+1］，i=1，2，3時，有f（x+T）=f（x）+ f（T）.結論成立.

總之，復合函數問題，奧妙無窮，層層剝離，我們要深入仔細的研究，讓中國數學達到世界的頂峰！F