對一道圓錐曲線問題的探究與拓展

☉陜西省靖邊縣靖邊中學 徐永強

對一道圓錐曲線問題的探究與拓展

☉陜西省靖邊縣靖邊中學 徐永強

一、題目展示

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程.

（Ⅱ）過橢圓C的右頂點A2作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另一點P，Q，試判斷直線PQ是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

二、挖掘條件，分析解答

此題屬解析幾何中經常考查的熱點題型（定點、定值問題），其解題的方法體現了解析幾何解決問題的通性通法，其中第（Ⅰ）問用待定系數法，第（Ⅱ）問首先聯立方程，再用韋達定理，借助其他條件能很容易求解.

解：（Ⅰ）依題知

（Ⅱ）依題知，直線A2P與直線A2Q的斜率均存在且不為0，令P（x1，y1），Q（x2，y2）.

設lA2P：y=k（x-2），lA2Q消去y，得（4k2+3）x2-16k2x+4（4k2-3）=0.

解之，得k2=1，此時直線PQ的方程為即此時直線PQ過點

三、探求本質，推廣結論

著名的數學之王、數學家蘇步青說過：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然”所以，當一道題目解答完后的反思尤為重要，解答題目本身是表象，推廣、提升才能真正理解出題人的意圖，才有助于學生走出題海無涯的困境，才能提高學生解題能力和效率.

那么，上述問題能否推廣到所有的橢圓呢？答案是肯定的.

證明：先證過右頂點的情況：

令P（x1，y1），Q（x2，y2）

依題設：lA2P：y=k（x-a）.消去y，得（a2k2+b2）x2-2a3k2x+（k2a4-a2b2）=0.

由根與系數關系得

同理，可證過左頂點的結論.

（證法同上，略）

上述結論在橢圓中成立，那么在其他圓錐曲線中成立嗎？

四、聯想類比，延伸結論

證明：同性質1的證明過程.

結論4：過拋物線C：y2=2px（p＞0）的頂點O作互相垂直的兩直線分別交拋物線于另一點P，Q，則直線PQ過定點（2p，0）？（p為拋物線焦點到準線的距離）.

證明：設直線直線PQ方程為x=ky+m，其交與拋物線于P（x1，y1），Q（x2，y2）.由消去y得y2-2pky-2pm= 0，

即m=2p或m=0（舍）.

故直線PQ過定點（2p，0）.

結論5：過圓C：（x-m）2-（y-n）2=r2上任意一點A2作互相垂直的兩直線分別交圓于另一點P，Q，則直線PQ過定點（m，n）（m，n分別為圓心的橫縱坐標）.證明略.

五、結束語

通過對上述結論的探究，我們進一步認識到橢圓、雙曲線、拋物線等曲線，除了自身存在一定的規律性，圓錐曲線之間也存在一定的規律性，正如著名數學家高斯所言：“數學中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏的極深.”所以這種規律性，需要我們用堅強的意志、良好的數學素養去發現、挖掘.

1.賀建勛，段雄偉.習題生成問題中培養學生的探究能力［J］.中學數學教學參考（上），2015（11）.

2.鄭日鋒.求異 探源 啟迪——對一道高考試題的剖析［J］.中學數學（上），2015（10）.

3.臧殿高.圓錐曲線的統一性質漫談［J］.數學通報，2009（8）.