數形結合在高中數學中的妙用

☉江蘇省如東縣掘港高級中學 葛益平

數形結合在高中數學中的妙用

☉江蘇省如東縣掘港高級中學 葛益平

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性.數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系.數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的，筆者結合平時的教學實踐，談談數形結合在數學中的運用.

一、研究圖中某些不等式關系

例1 已知定義在區間［0，1］上的函數y=f（x）的圖像如圖1所示，對于滿足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，給出下列結論：

圖1

其中正確結論的序號是________.（把所有正確結論的序號都填上）

解析：“數形結合”從整體角度利用函數圖像“線”的角度分析函數性質不易獲得結論，我們利用“以點為主”從部分角度利用函數圖像“點”的角度分析研究圖像上一些關鍵的點.

由圖可知（0，0），（1，1）這兩點的斜率等于1，由f（x2） -（fx1）＞x2-x1，可得即圖中任意兩點（x，

1f（x1））與（x2，f（x2））連線的斜率大于1，顯然①不正確；由x2（fx1）＞x1（fx2）得即表示兩點（x，（fx）），

11（x2，f（x2））與原點連線的斜率的大小，可以看出結論②正確；任意找兩點（x1，（fx1）），（x2，（fx2）），則表示兩點縱坐標和的一半表示該兩點中點的縱坐標，結合函數圖像，如圖2，容易判斷結論③是正確的.

二、研究在函數與方程中的運用

數形結合方法作為一種重要的數學思想和教學原則貫穿于整個高中數學學習的始終，通過數形結合可將抽象的數學語言與直觀圖形相結合，縮短了思維鏈、簡化了思維過程、完善學生的解題思路、簡化思維過程、尋找最佳解題方法有著重要作用，數形結合在函數與方程里有若干運用.

1.方程解的個數問題

例2 設方程|x2-1|=k+1，試討論k取不同范圍的值時其不同解的個數的情況.

分析：我們可以把這個問題轉化為確定函數y1=|x2-1|與y2=k+1圖像交點個數的情況，因函數y2= k+1表示平行于x軸的所有直線，如圖3，從圖像可以直觀看出.

圖3

解：①當k＜-1時，y1與y2沒有交點，這時原方程無解；

②當k=-1時，y1與y2有兩個交點，原方程有兩個不同的解；

③當-1＜k＜0時，y1與y2有四個不同交點，原方程不同解的個數有四個；

④當k=0時，y1與y2有三個交點，原方程不同解的個數有三個；

⑤當k＞0時，y1與y2有兩個交點，原方程不同解的個數有兩個.

點評：將方程的解的問題轉化為兩個函數的交點問題.

2.取值范圍問題

解析：因為當x∈（-1，1］時，將函數化為方程x2+m

y22= 1（y≥0），實質上為一個半橢圓，其圖像如圖4所示，同時在坐標系中作出當x∈（-1，3］的圖像，再根據周期性作出函數其他部分的圖像，由圖易知直線與第二個橢圓相交，而與第三個半橢圓（x-4）2+無公共點時，方程恰有5個實數解，將代入

令t=9m2（t＞0），則（t+1）x2-8tx+15t=0.

由Δ=（8t）2-4×15t（t+1）＞0，得t＞15，即9m2＞15.

圖4

點評：本題比較綜合，將方程問題轉化為函數問題，利用數形結合思想，借助于函數圖像找到曲線交點的個數，從而判定方程的解的個數，進而求出參數的取值范圍.通過解此題可以培養學生的創新意識，提高知識的綜合運用能力，激發學生的潛能.

3.解方程組的問題

解析：注意到三個方程的結構類似余弦定理（分別視“1”，“3”，“4”為“12”，“2bccosA，只要分別令其中的兩邊夾角為120°即可，原方程組可變形為

圖5

構造圖形，如圖5，注意到S△ABC=S△AOB+S△BOC+ S△COA，且AB2+AC2=BC2，所以△ABC是直角三角形，故即xy+yz+xz=2.

把各方程相加，得2（x2+y2+z2）+（xy+yz+zx）=8.把xy+ yz+xz=2代入，解得x2+y2+z2=3.

又（x+y+z）2=（x2+y2+z2）+2（xy+yz+xz），所以（x+y+z）2= 3+2×2=7.

點評：此題解法關鍵是求出x+y+z，若用純代數解法是極困難的，但構造三角形運用余弦定理便迎刃而解，充分體現了以平面圖形助數的實效性.

三、研究超越方程或高次方程

1.研究分段函數問題

利用“數形結合”從整體角度利用函數圖像“線”的角度繪出分段函數，再根據圖像解決相應的問題.

圖6

再根據“以點為主”從部分角度利用函數圖像“點”的角度分析研究圖像上一些關鍵的點，如（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））.

若a，b，c互不相等，不妨設a＜b＜c，因為f（a）=f（b）= f（c），由圖像（圖7）可知，0＜a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12.

圖7

因為f（a）=f（b），所以|f（a）|=|f（b）|，所以lga=-lgb，即所以ab=1，所以10＜abc＜12.

2.研究超越函數、超越方程問題

例6 已知函數f（x）=|x2-4x+3|.

（1）求函數f（x）的單調區間，并指出其增減性；

（2）若關于x的方程f（x）-a=x至少有三個不相等的實數根，求實數a的取值范圍.

（1）遞增區間為［1，2］，［3，+∞）；遞減區間為（-∞，1］，［2，3］.

（2）原方程變形為|x2-4x+3|=x+a，于是，設y=x+a，在同一坐標系下再作出y=x+a的圖像，如圖8.

圖8

當直線y=x+a過點（1，0）時，a=-1；

當直線y=x+a與拋物線y=-x2+4x-3相切時，由

點評：（1）“數形結合”從整體角度利用函數圖像“線”的角度分析函數圖像翻折變換，“以點為主”從部分角度利用函數圖像“點”的角度分析研究圖像上一些關鍵的點，函數f（x）=|x2-4x+3|的圖像是利用f（x）=x2-4x+3的圖像翻折得到的，翻折的關鍵先找到f（x）=x2-4x+3的圖像與x軸的交點及頂點進行分析；（2）超越方程f（x）-a= x轉化成部分的兩個函數：f（x）=|x2-4x+3|與y=x+a.在函數f（x）=|x2-4x+3|的圖像的基礎上，分析直線y=x+a與f（x）= |x2-4x+3|的圖像幾個關鍵點（f（x）=x2-4x+3的圖像與x軸的交點、頂點，以及直線y=x+a與拋物線y=-x2+4x-3相切的切點）進行分析.

四、研究導數應用中的綜合問題

導數在應用中常見對函數零點個數、方程根的個數的研究，一般這類問題均可利用數形結合進行分析，可以快速、簡便地解決問題.

例7 已知函數f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+ 2，且對于任意實數x，恒有F（x）-F（-x）=0.

（1）已知函數g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區間（0，1）上單調遞減，求實數a的取值范圍；

解析：（1）a≤-4.（具體過程略）

當x＜-1時，h′（x）＞0；當-1＜x＜0時，h′（x）＜0；當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0.

如圖9，所以h（x）極大值=h（±1）

圖9

圖10

h（x）極小值=h（0）=1-k.由圖10可知：①當時，函數沒有零點；

④當k=1時，函數有三個零點.

當x＜-1時，y′＞0；當-1＜x＜0時，y′＜0；當1＜x＜0時，y′＞0；當x＞1時，y′＜0.

④當k=1時，函數有三個零點.

點評：通過以上可知函數的圖像法：大體上可以根據“數形結合，以點為主”兩個分析層面：“數形結合”從整體角度利用函數圖像“線”的角度分析函數性質及其他結論；“以點為主”從部分角度利用函數圖像“點”的角度分析研究圖像上一些關鍵的點，達到分析的目的，如本題第（2）問，表面上十分復雜，實際上只要解決“函數有幾個零點”即可.

通過以上例題可看出，數形結合思想方法能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，其實質就是“數中思形，以形助數”.它使很多代數問題迎刃而解，且解法簡捷.同學們平時應加強這方面的訓練，在做題中要注意培養這種思想意識，要做到“胸中有圖，見數思圖”，以開拓自己的思維視野，從而提高自己的解題能力.