導數在經濟學中“邊際分析”的應用

孫娜++李曉芳

摘要：導數作為函數的變化率，在研究函數變化的性態中有著十分重要的意義。因而在自然科學，工程技術以及社會科學領域中得到廣泛的應用，運用導數可以解決經濟上常見的一些問題[1]。本文重點討論了導數在解決經濟學中“邊際成本”，“邊際收入”，“邊際利潤”以及“最大利潤”等問題[2]。

關鍵詞：導數；變化率；邊際成本；邊際收入；邊際利潤；最大利潤

引言：微積分學是高等數學最基本、最重要的組成部分，是現代數學許多分支的基礎，是人類認識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數學模型之一。導數[3]是微積分的兩大部分之一，指的是函數的變化率，闡述了一些事物和現象都不斷變化，當然經濟現象也不例外。本文主要討論了經濟學中邊際分析的應用。

一、導數的概念

定義 設函數 在點 的某個鄰域內有定義，當自變量 在 處取得增量 （點 + 仍在該鄰域內）時，相應地函數 取得增量 ，如果 與 之比當 0時的極限存在，則稱函數 在點 處可導，并稱這個極限為函數 在點 處的導數，記為 ，即

. （1）

令（1）中的 時，則當 時 ，因此（1）式又可寫為

.（2） 令 ，則得到（3）式

.（3）

進而可引出左，右導數的定義：

，

.

二、邊際的概念及應用

邊際概念是經濟學中的一個重要概念，通常指經濟變量的變化率，即經濟函數的導數稱為邊際。而利用導數研究經濟變量的邊際變化的方法，就是邊際分析方法。

1.邊際成本

在經濟學中，邊際成本定義為產量增加或減少一個單位產品時所增加或減少的總成本。即有如下定義：

定義1：設總成本函數 ，且其它條件不變，產量為 時，增加（減少）1個單位產量所增加（減少）的成本叫做產量為 時的邊際成本。即：

其中 =1或 =-1。

例1：已知某商品的成本函數為：

（Q表示產量）

求：（1）當 時的平均成本及 為多少時，平均成本最小？

（2） 時的邊際成本并解釋其經濟意義。

解：（1）由 得平均成本函數為：

當 時：

記 ，則 令 得：

而 ，所以當 時，平均成本最小。

（2）由 得邊際成本函數為：

則當產量 時的邊際成本為5，其濟意義為：當產量為10時，若再增加（減少）一個單位產品，總成本將近似地增加（減少）5個單位。

2.邊際收入

定義2：若總收益函數 可導，稱

為銷售量為 時該產品的邊際收益。 稱為邊際收益函數，且 .

其經濟意義為在銷售量為 時，再增加（減少）一個單位的銷售量，總收益將近似地增加（減少） 個單位。

注：總收益是生產者出售一定量產品所得以的全部收入，表示為 ，其中 表示銷售量。

3.邊際利潤

定義3：總利潤是指銷售 個單位的產品所獲得的凈收入，即總收益與總成本之差，記 為總利潤，則：

（其中 表示銷售量）

定義4：若總利潤函數 為可導函數，稱

為 在 處的邊際利潤。

其經濟意義為在銷售量為 時，再多（少）銷售一個單位產品所增加（減少）的利潤。

根據總利潤函數，總收益函數、總成本函數的定義及函數取得最大值的必要條件與充分條件可得如下結論。

由定義，

令 則 .

結論1：函數取得最大利潤的必要條件是邊際收益等于邊際成本.

結論2：函數取得最大利潤的充分條件是：邊際利益等于邊際成本且邊際利益的變化小于邊際成本的變化率。

例2：假定有酒100噸，現價8元/公斤，多陳一年可增值2元/公斤，貯存費每年10000元，因貯存酒積壓資金引起機會成本每年增加 （其中 為酒的貯量， 為當年白酒價格， 為利息率，且假定 %），那么這些酒須儲存多久效益才最大呢？

1. 年增加的總收入函數

（元）

2. 年增加的貯存總成本

（元）

3. 年凈增利潤函數

= （元）

此時邊際收入： 邊際成本：

因為當 利潤最大，所以有 ，即 年。

由于駐點唯一，故只有當儲存期為2.75年時，企業才能獲得最佳經濟效益，其最大凈增利潤為151 250元。

三.總結

隨著市場經濟的不斷進步與發展，靈活利用數學知識解決經濟問題顯得越來越重要，而導數是高等數學中的重要概念，更是經濟分析的重要工具。把經濟活動中一些現象歸納到數學領域中，來運用所學的數學知識進行解答，對很多經營決策起了非常重要的作用[4]。

對企業經營者管理者來說，精準的對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。最優化問題也是經濟管理活動的核心，通常是利用函數的導數求經濟問題中的平均成本最低、總收入最大、總利潤最大等問題。將導數作為分析工具，可以給企業經營者提供精確的數值和新的思路和視角[5]。

經濟學分析中的主要優化問題有產出最大化分析、收入最大化分析、利潤最大化分析、資源合理利用的優化分析、成本最小化分析以及最優組合分析等，通常伴隨一些約束條件[6]。通過優化分析可以幫助企業管理者尋求最大化企業的收益，并盡量降低生產成本和管理費用，意義非常深遠[7]。

導數對于在經濟學中邊際問題的剖析尤為主要，經由過程邊際問題的剖析，對于企業的抉擇妄想者做出正確的抉擇妄想起了十分主要的浸染！通過闡述導數在經濟分析中的幾種應用，說明導數在經濟管理中的重要作用，利用數學工具對經濟的各個環節進行定量分析[8]，有利于對經濟管理工作做定性分析，從而更科學地進行經濟管理，這是我國深化體制改革使經濟管理工作于國際接軌必不可少的一步。

參考文獻：

[1]丁瑤：導數的經濟意義及教學探討[J].重慶電子工程職業學院.2010.07.149-150.

[2]李春萍.導數與積分在經濟分析中的應用[J].商業視角，2010（2）：17-19.

[3]王青青.淺談導數在經濟中的應用[J].高校講壇，2011（9）：8.

[4]王利珍：用導數解決經濟中的最優化問題[J].忻州師范學院學報.2008.10.27-28

[5]王利珍：用導數解決經濟中的最優化問題[J].忻州師范學院學報.2008.10.27-28

[6]雷良緩：經濟數學中的邊際分析與彈性分析[J].江蘇經貿職業技術學院學報，1995.02.81-83

[7]蔡宇澤，趙春紅，王貝：需求彈性函數的經濟分析[J].江蘇教育學院學報，2007.07.87

[8]王桐柱：函數的導數與邊際成本[J].高中數學教與學，2005.10.43-44