《解析幾何》重點知識梳理

顧桂龍

一、直線與方程的應用

重要知識

1.直線方程的五種形式

（1）點斜式：y-y1=k（x-x1）.

（2）斜截式：y=kx+b.

（3）兩點式：y-y1y2-y1=x-x1x2-x1（x1≠x2，y1≠y2）.

（4）截距式：xa+yb=1（a≠0，b≠0）.

（5）一般式：Ax+By+C=0（A，B不同時為0）.

2.三種距離公式

（1）A（x1，y1），B（x2，y2）兩點間的距離：

AB=（x2-x1）2+（y2-y1）2.

（2）點到直線的距離：d=|Ax0+By0+C|A2+B2（其中點P（x0，y0），直線方程：Ax+By+C=0）.

（3）兩平行線間的距離：d=|C2-C1|A2+B2（其中兩平行線方程分別為l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0）.

3.當不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時

（1）兩直線平行l(wèi)1∥l2k1=k2.

（2）兩直線垂直l1⊥l2k1·k2=-1.

題型分析

例1已知直線l1：mx+8y+n=0與l2：2x+my-1=0互相平行，且l1，l2之間的距離為5，求直線l1的方程.

解析：先根據(jù)兩直線平行確定參數(shù)m的值，再根據(jù)兩直線的距離確定參數(shù)n的值即可.

∵l1∥l2，∴m2=8m≠n-1.

∴m=4

n≠-2或m=-4

n≠2.

（1）當m=4時，直線l1的方程為4x+8y+n=0，把l2的方程寫成4x+8y-2=0.

∴|n+2|16+64=5，解得n=-22或n=18.

所以，所求直線的方程為2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.

（2）當m=-4時，直線l1的方程為4x-8y-n=0，l2的方程為2x-4y-1=0.

∴|-n+2|16+64=5，解得n=-18或n=22.

所以，所求直線的方程為2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.

點評：（1）求點到直線距離時，直線方程一定化成Ax+By+C=0的形式.

（2）求兩平行線間的距離時，一定化成l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的形式.

二、圓的方程

重要知識

1.圓的標準方程

當圓心為（a，b），半徑為r時，其標準方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2+y2=r2.

2.圓的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0，表示以（-D2，-E2）為圓心，D2+E2-4F2為半徑的圓.

題型分析

例2（1）若圓C經(jīng)過（1，0），（3，0）兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為.

（2）已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x=-2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長為23，且與直線l2：2x-5y-4=0相切，則圓M的方程為.

解析：（1）由題意知圓C的半徑為2，且圓心坐標可設為（2，b），因此有（2-1）2+（b-0）2=2，解得b=±3，

從而圓C的方程為（x-2）2+（y±3）2=4.

（2）由已知，可設圓M的圓心坐標為（a，0），a>-2，半徑為r，得（a+2）2+（3）2=r2

|2a-4|4+5=r，

解得滿足條件的一組解為a=-1

r=2，所以圓M的方程為（x+1）2+y2=4.

點評：解決此類問題要根據(jù)所給條件選擇適當?shù)姆匠绦问?解決與圓有關的問題一般有兩種方法：（1）幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程；……