簡化解析幾何運算有技巧

劉春雷

一、巧用定義，直奔主題

例1雙曲線x24-y25=1上有一點A到左焦點的距離為52，則點A的坐標為.

解析：設點A的坐標為（x1，y1）.由雙曲線方程知a=2，b=5，c=3.

常規思路是解方程組x214-y215=1

（x1+3）2+y21=52.但如能考慮利用統一定義，則可化繁為簡.

因為雙曲線的左準線為x=-43，離心率為32，則52（-43）-x1=32，解得x1=-3.

故y1=±5（x214-1）=±52.所以點A的坐標為（-3，±52）.

評注：這里要注意的是橢圓（雙曲線）有兩個焦點，兩條準線，利用統一定義時，應是曲線上的動點到某一焦點的距離與它到相應準線的距離之比才是離心率.

二、數形結合，直觀獲解

例2已知拋物線y2=2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出取最小值時點P的坐標.

解析：由定義知，拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準線l的距離d，求PA+PF的問題可轉化為求PA+d的問題.

將x=3代入拋物線方程y2=2x，得y=±6.

∵6>2，∴A在拋物線內部，

如右圖.設拋物線上點P到準線l：x=-12的距離為d，由定義知PA+PF=PA+d，當PA⊥l時，PA+d最小，最小值為72，即PA+PF的最小值為72，此時P點縱坐標為2，代入y2=2x，得x=2，∴點P的坐標為（2，2）.

評注：在拋物線問題中，通常可以借助數形結合，將焦點弦或焦半徑，與相關點到準線的距離相互轉化，從而可以免除解方程組的繁瑣，大大減小運算量.

三、幾何性質，助你省力

例3已知圓O′：（x-2）2+y2=4，動圓M（在y軸右側）與y軸相切，又與圓O′外切，過A（4，0）作動圓M的切線AN，求切點N的軌跡.

解析：設動圓M與y軸切于點B，動圓M與定圓O′切于點C，切點在MO′上，

∵MB∥AO′，故∠BMC=∠CO′A且BMAO′=CMCO′，

∴△BMC∽△AO′C，∴∠MCB=∠O′CA，

∴B、C、A共線.由切割線定理，|AN|2=|AC|·|AB|（1）.

又在Rt△AOB中，OC⊥AB，故|AC|·|AB|=|AO|2=16（2）.

由（1）、（2），知|AN|=4.

故N的軌跡為圓（x-4）2+y2=16（（x，y）≠（0，0））.

評注：解析幾何中，曲線或圖形都具有某些特殊的幾何性質，若能發掘并充分運用這些幾何性質，往往……