交運算的連續性和重合點的通有穩定性

左勇華　盧美華

摘要建立了全新的集合族空間， 討論了公共元的通有穩定性， 得到了閉集族空間上的交運算在Hausdorff拓撲下的上半連續性，并研究了重合點的通有穩定性.

關鍵詞集合族空間； 公共元； 重合點

中圖分類號 文獻標識碼A

AbstractA familyofset space was established，and its common elements generic stability was studied. The upper semicontinuity of operation of sets intersection in familyofclosedset space was obtained，and the generic stability of coincident pointis was studied.

Key wordsfamilyofset space；common elements；coincident point

1引言

社會經濟系統是一個開放的系統，會受到外部環境的影響，故而經濟決策科學中穩定性研究是一個重要方面.博弈論發源于數學理論，近年來博弈論的廣泛應用已經全面改寫了微觀經濟學[18]，然而由于均衡概念存在一些不完美性，均衡點的精煉和選擇一直是博弈理論本身研究的核心主題，由此在數理方法上發展了一系列基礎方法，穩定性研究是其中最重要的方法.集值拓撲方法關于通有穩定性的研究自1950年Fort的開創性結果以來，在不動點、Ky Fan點、KKM點、Nash平衡點以及重合點獲得了廣泛而優美的結論.近期仍然有一些新的結果出現， 陳劍塵、龔循華[6]、賈文生、向淑文[7] 、高靜、鄔冬華、張廣[8]、楊光惠、向淑文[9]、左勇華[10] 、張德金[11].重合點一系列的性質也由俞建[12-14] 、樸勇杰[15]、徐文清、朱傳喜、吳照奇[16]等進行了深入的研究，特別是重合點的穩定性質.雖然通有穩定性的研究具有極其豐富的內容，但通有穩定的本質是什么，并沒有太多文獻予以揭示.從集空間公共元的通有穩定性出發，把重合點轉化的交運算的形式，獲得重合點通有穩定性的結果，這就從一個側面揭示了通有穩定的本質，從而為通有穩定性提供一個判決性方法；在拓撲層面上，對于通有穩定的判定將更加順暢，在應用問題上，對于判斷通有穩定和相關概念的可接受性也更為便利.

2預備知識及符號說明

設（X，d）是一度量空間， CL（X）為X的全體非空閉子集，K（X）為全體非空緊子集，2X為冪集.x∈X，AX及，稱A+ε={x∈X|a∈A，d（a，x）<ε}為A的ε擴張，A，B∈CL（X），定義Hd（A，B）=inf {ε|AB+ε，BA+ε}.這樣建立了Hausdorff度量空間（CL（X），Hd），稱為集合族空間（集族空間）. 顯然（CL（X），Hd）完備當且僅當（X，d）完備，K（X）在（CL（X），Hd）中閉.

定義1X，Y均為拓撲空間， F：X→2Y為集值映射， x0為X中的一點. 稱F在x0上半連續， 若Y中任何一個F（x0）開鄰域u，x0鄰域v， x′∈v有F（x′）u.F在X中每一點都上半連續， 則稱F在X上上半連續；

引理1X為拓撲空間， Y為度量空間， F：X→2Y上半連續且非空緊值（即usco映射）， 則存在X的稠密剩余集Q， 使F在Q上半連續從而連續[3]. （本引理為著名的Fort定理）

3主要結果

此文中度量空間上生成集族空間拓撲均為Hausdorff度量生成的Hausdorff拓撲.顯然，在ε收斂于0時，緊度量空間的任意有限個交非空A1，A2，…，Ak∈CL（X），它們的ε擴張的交收斂于本身交集.但非緊空間中此結論未必成立.由此，左勇華2012年證明了引理2.

1即可證明以下定理.

定理3存在YI的一個稠密剩余集Q， 使得FI：YI→2X在Q上連續.

定理說明集族空間（YI，ρI）上公共元是通有穩定的，緊空間上集族空間交運算雖然不是連續運算， 但在絕大多數點上是上半連續的，在Baire意義下絕大多數的情形是連續的. 事實上，交運算的上半連續性是通有穩定性的一個本質特征，一些重要的通有穩定性總可以能否通過轉化為集族的交而得到判斷.例如，不動點、 Fanky點、KKM點、Nash平衡點的通有穩定性具有許多結果，而本質上，這些通有穩定性都可以通過轉化為集族的交而得以保證.當然，在轉化過程中，需要構造從一般性問題空間到集族空間的映射，某些情況下這個映射未必連續，為此考慮半連續情況.

設問題集M為完備度量空間，集值映射F：M→2X為問題解映射，考慮單射L：M→YI，稱L在點h∈M是半連續的，若ε>0，δ>0，當h′∈h+δ（記L（h′）=β′αα∈I，L（h）=βαα∈I），對任何α∈I均有β′αβα+ε.稱L在M半連續，若L在M的每一點都半連續.顯然，若問題空間M到集族空間YI的但值映射連續，必然半連續，一般在重合點的情形下的連續性能得以保障，但也可能因嵌入的拓撲結構不同而存在差異，而且重合點解映射并不單單是問題空間到集族空間的映射和公共元映射合成，所以集族空間構造有特色.

4重合點的通有穩定性集族空間刻畫

重合點是非線性分析研究的重要內容， 近期樸勇杰在廣義凸空間研究重合點與幾乎不動點定理、不動點定理之間的關系；徐文清、朱傳喜、吳照奇在半序度量空間研究了混合g-單調映射的四元重合點定理及其應用.下面討論重合點的通有穩定性，采用文獻[1]中K.K.Tan，J.Yu，X.Z.Yuan研究重合點通有穩定性的框架.問題在于重合點的解映射不能僅僅表示為從問題空間到集族空間上的映射和公共元映射的合成.

4結語

定理4說明重合點是通有穩定的，文獻[1]框架下重合點的通有穩定性可以轉化為集族空間的公共元通有穩定性.當然，對集族空間進一步研究，一方面，可以賦予指標集以拓撲結構，這將有更強的結論；另一方面，可以減弱對指標集的要求，直至去掉指標集，這樣將使集合族空間有更廣泛的應用.而通過運用交運算的方法研究通有穩定性，進而判斷現實問題中模型構造和相關解概念構造的合理性也來得更為便利.就應用而言，純粹數學理論上，截口定理、FanKy不等是在交運算上和重合點密切相關.重合點的通有穩定性在決策理論和實際經濟系統中具有很強的應用背景，關洪巖在一定的條件卜的拓撲空間中建立了幾個兩對映射及只個映射的公共重合點定理作為應用，研究了一類起源于動態規劃的泛函方程組公共解的存在性問題[17].當然，重合點在實際問題的應用中并非以嚴格的數學形式出現，劉少賡以成本重合點分析成本分界點，在兩個以上不同備選方案總成本相等時的產銷量，特別是區分長期、短期決策差異.在短期經營決策分析時，不同備選方案的總成本和成本結構存在著一定的差異，測算產銷量在一定水平時，不同備選方案總成本相等的產銷量稱為成本重合點，它反映了成本和銷售之間的依存關系.這在現實的決策中具有重要意義，雖然這些成本重合點未必是嚴格的集值拓撲重合點的形式.

參考文獻

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