利用輔助平面法求結(jié)合線展開圓管斜插正四棱錐（臺）的相交構(gòu)件

孫浩

摘要：利用輔助平面法求出結(jié)合線，并求出各管件的實(shí)長，用放射線展開法展開各管節(jié)。

關(guān)鍵詞：展開；實(shí)長；投影；輔助平面

中圖分類號：RT311 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2095-3178（2018）20-0430-01

如果一個平面同時截切兩個相交形體，則該平面在兩個相交形體表面上各得到一條截交線，如果兩條截交線相交，則這交點(diǎn)必是兩相交形體表面的公共點(diǎn)，從而是它們的結(jié)合點(diǎn)，作一系列平面，照上述作法，就得到一系列結(jié)合點(diǎn)，將這些結(jié)合點(diǎn)用描點(diǎn)法連接起來，即可得到二相交形體的結(jié)合線。由于結(jié)合點(diǎn)的得出是通過作平面進(jìn)行的，所以這種方法叫輔助平面法。從輔助平面法的原理可知，從理論上講，所有相交形體的結(jié)合線均可由輔助平面法無一例外地作出來。舉例說明如下：

如圖一：輔助平面法求結(jié)合線方法簡述如下：1.首先畫出沒有結(jié)合線的二視圖，以及圓管的斷面圖，在平面圖中，二管的水平中心線重合；將立面圖中圓管斷面圖八等分，我們就取過圓管素線2"-2Ⅲ、3"-3Ⅲ、4"-4X且垂直于正立投影面的平面為輔助平面，同時，又取過平面圖中水平軸線D'-5"且垂直于水平投影面的平面作為另一個輔助平面，因此本例采用了兩種類型的輔助平面；2.我們來看輔助平面D'-5"，由于它過二形體的水平軸線，可知在立面圖中二形體的輪廓線就是輔助平面的截交線在立面圖中的投影，從而輪廓線的交點(diǎn)1°、5°就是立面圖上的結(jié)合線上的點(diǎn)；再利用正四棱錐的素線O-C（O'-C'）

（或者圓管的素線）通過素線法投到平面圖中而得平面圖上的結(jié)合點(diǎn)1 OO、5OO（順便提及，當(dāng)二形體如本例那樣前后對稱時，立面圖中投影輪廓線的交點(diǎn)就是結(jié)合線上的點(diǎn)）。再看另一組軸助平面，這里僅以2"-2Ⅲ為例說明：利用斷面圖的性質(zhì)，可把輔助平面2"-2Ⅲ在圓柱面上的截交線投到平面圖中去，得直素線2"-2OO、2"-2OO（這是素線法的特例）；平面2"-2Ⅲ在棱錐上的截交線表現(xiàn)在平面圖中是小四邊形，四邊形頂點(diǎn)都在棱錐的棱上，首先利用棱錐素線O-C（O'-C'）、O-D（O'-D'）通過素線法將2'、2Ⅲ投到平面中而得2V和2V；立面圖中2"-2Ⅲ上的2X點(diǎn)在特殊的位置，我們使用緯線法求它的水平投影：作過2X的水平線交邊于2XX，由2XX向下引垂線交平面圖水平軸線（棱O-D的水平投影O'-D'）于2XX，過2XX依次引D'-E'-C'-E"-D'的平行線所得到的四邊形就是立面圖中過2X的水平緯線在平面圖中的投影，E'-E" 上的頂點(diǎn)2W，2W就是2X的水平投影，然后連接平面圖中的2V-2W-2V-2W就是輔助平面2"-2Ⅲ在棱錐上的截交線的水平投影；以同樣方法求出其他兩個輔助平面在二形體上截交線的水平投影；3.在平面圖中找到同一平面上的兩截交線的交點(diǎn)2OO、3OO、4OO，把1OO-2OO -3 OO -4OO -5OO -4 OO -3OO -2OO -1OO用描點(diǎn)法連接起來，分清可見性，即得到平面圖中的結(jié)合線；4.再利用圓管的八等分素線通過素線法將所有結(jié)合點(diǎn)投到立面圖中去，例如過2OO引向上的鉛垂線交立面圖中圓管素線2"-2Ⅲ于2°點(diǎn)等，再用描點(diǎn)法把1°-2°-3°-4°-5°連接起來，即完成立面圖中的結(jié)合線。由于二形體前后對稱，故結(jié)合線也前后對稱，結(jié)合線的正面投影積聚為一條曲線。

作展開圖的方法：現(xiàn)特別敘述正四棱錐（臺）側(cè)面的展開步驟如下：如圖二所示，使用放射線展開法，1.在二視圖中作過結(jié)合點(diǎn)的素線，交底面周邊于11、21、31、41、51、22、32、42各點(diǎn)，這相當(dāng)于將錐體表面分割成了若干小部分；2.以棱的實(shí)長O-C為半徑，以O(shè)為圓心畫圓弧，在弧上依次截取弦長等于平面圖中錐底的邊長，得截點(diǎn)D'、E"、C'、E'、D'，然后將O與D'、E"、E'、C'、D'相連，在連線C'-E"、C'-E'上照錄平面圖周邊上的21、31、41各點(diǎn)，然后將它們

與O相連接，由此既完成了棱錐展開圖又作出了為展開其孔所必需的放射線；3.過立面圖中的結(jié)合點(diǎn)2°、3°、4°引水平線交邊線于22'、32'、42'三點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)到B、1°、22'、32'、42'、5°各點(diǎn)的距離為半徑畫同心圓弧，交四條棱線所構(gòu)成的放射線于A'、F'、B'、F'、A'、1X、23、24、25、33、34、35，43、44、45、5X各點(diǎn)，用折線把A'-F'-B'-A'，23-24-25，33-34-35，43-44-45連接起來，其中后三條連線與同名放射線O-21、O-31、O-41對應(yīng)相交于2X、3X、4X各點(diǎn)，最后用描點(diǎn)法將1X、2X、3X、4X、5X連接起來，就得到棱錐上孔的展開曲線1X-2X-3X-4X-5X-4X-3X-2X-1X，而棱錐臺的展開圖就是E"-C'-E'-D'-A'-F'-B'-F'-A'-D'-E"。

這里所用的放射線法與常用的方法完全相同，只是求實(shí)長的方法略有變通。以O(shè)-3°為例說明如下：設(shè)過O-3°所作的素線為O-32（O'-31），過3°的水平線為33-33'-32'，那么3°點(diǎn)就在O-32（O'-31）和33'-32'-32'交點(diǎn)處，而且也一定在展開圖中相應(yīng)展開曲線的交點(diǎn)上；在展開圖中，過3°的素線展為O-31，而水平截交線33-33'-32'展為折線37-33-34-35-36，它們相交于3X，所以3X就是3°的展開對應(yīng)點(diǎn)，不難知道O-3X是O-3°的實(shí)長。這種求實(shí)長的方法也可用其它方法代替，用途一般也只限于棱錐側(cè)面孔的展開，不過此法的好處在于不用專求實(shí)長，因此比較簡捷。