理解函數概念 突破復習難點

李月恬

函數是初中數學的核心知識，是中考命題的熱點素材，因此要視為重中之重的復習內容.

一、突破難點

1.學會捕捉函數圖像的信息.①橫軸和縱軸表示的意義，單位長度是多少；②函數的增減性：沿橫軸從左向右，開口向上時函數y隨自變量x的增大（減小）而增大（減小），開口向下時函數y隨自變量x的增大（減小）而減小（增大），圖像與x軸平行時函數y的值不變；③函數的最值：圖像位于某條與x軸平行的直線上（下）方時函數有最小（大）值，圖像位于與x軸平行的兩條直線之間時，函數既有最小值也有最大值.

2.理解函數與方程（組）、不等式（組）的聯系.①方程的解：從函數的角度看是函數值為0時自變量的值，從圖像的角度看是直線與橫軸交點的橫坐標；②方程組的解：從函數的角度看是兩個函數解析式組成的方程組的解，從圖像的角度看是兩條直線交點的坐標；③不等式的解：當y>（<）0時，從函數的角度看是函數值大（小）于0時自變量允許值的集合，從圖像的角度看是橫軸上（下）方直線部分橫坐標自變量的取值范圍；④不等式組的解：當y1>（<）y2時，從函數的角度看是函數值y1>（<）y2時自變量允許值的集合，從圖像的角度看是一條直線y1在另一條直線y2上（下）方的部分對應的橫坐標的取值范圍.

3.確定二次函數解析式.①已知拋物線上三點坐標時，可設一般式y=ax2+bx+c；②已知拋物線的頂點坐標或最值、對稱軸時，可設頂點式y=a（x-h）2+k；③已知拋物線與橫軸兩交點的坐標時，可設交點式y=a（x-x1）（x-x2）.

二、關注解題中的易錯點

1.求函數自變量的取值范圍時，考慮不周全，顧此失彼.

2.忽視函數定義中的條件.如一次函數y=kx+b中的k≠0，x的次數為1；反比例函數y=[kx]中的k≠0，x的次數為-1；二次函數y=ax2+bx+c中的a不能為0，x的最高次數為2.

3.混淆點的坐標與線段長的關系.點到縱（橫）軸的距離是對應點的橫（縱）坐標的絕對值；反過來，點到縱（橫）軸的距離表示點的坐標，要加上點所在象限的坐標符號，常常由于忽視分類討論而造成漏解.

4.誤求二次函數的最值.只有當頂點的橫坐標在自變量的取值范圍內時，頂點的縱坐標才是函數的最值，否則函數的最值在圖像的端點處取得，或者沒有最值.

三、典型問題解析

例1 （2016·山東威海）函數y=[x+2x]的自變量x的取值范圍是（ ）.

A.x≥-2 B.x≥-2且x≠0

C.x≠0 D.x>0且x≠-2

【解析】由題意，得x+2≥0，且分母不為0，∴x≥-2且x≠0，故選擇B.

【點評】自變量的取值范圍既與函數的解析式有關，又與問題中的實際意義有關.一般來說，求函數自變量的取值范圍要注意以下幾點：（1）整式的取值范圍是全體實數；（2）分式的分母不能為0；（3）偶次根式的被開方數不能是負數；（4）0指數或負指數冪的底數不能為0；（5）自變量的取值不能使實際問題失去意義.此外，要注意“或”與“且”的區別.

例2 （2016·四川宜賓）圖1是甲、乙兩車在某時段速度隨時間變化的圖像，下列結論錯誤的是（ ）.

A.乙前4秒行駛的路程為48米

B.在0到8秒內甲的速度增加4米/秒

C.兩車到第三秒時行駛的路程相等

D.在4至8秒內甲的速度都大于乙的速度

【解析】由圖知乙的整個行駛速度變化分兩段，第一段（前4秒）圖像與x軸平行，即時間改變，速度不變，都是12米/秒，所以前4秒行駛了48米；第二段（4-8秒），乙的圖像都在甲的圖像下面，說明4到8秒內甲的速度都大于乙的速度；再看圖中甲的圖像是一條過原點的直線段，說明速度隨時間均勻變化，8秒內速度由0變到32，所以速度增加4米/秒.說明A、B、D都正確，故錯誤的是C，選C.

【點評】對于函數圖像信息題，要充分挖掘圖像所蘊含的信息，通過讀圖、想圖、析圖來尋找解題的突破口.

例3 （2016·河北）若k≠0，b<0，則y=kx+b的圖像可能是（ ）.

【解析】對于y=kx+b，當x=0時，y=b，即y=kx+b的圖像與y軸的交點為（0，b），當b<0時，（0，b）在x軸下方，又因為k≠0，故選B.

【點評】對于含字母的函數圖像識別問題，可運用推理的方法，也可借助特殊值來確定.

例4 （2016·重慶B卷）如圖2，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于第二、四象限內的A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，點B的坐標是（m，-4），連接AO，AO=5，sin∠AOC=[35].

（1）求反比例函數的解析式；

（2）連接OB，求△AOB的面積.

【分析】（1）過點A作AE⊥x軸于點E，通過解直角三角形求出線段AE、OE的長度，得到點A的坐標，利用待定系數法可求出反比例函數解析式；（2）先求出點B的坐標，由點A、B的坐標可求出直線AB的解析式，令y=0即可求出點C的坐標，再利用三角形面積公式可求面積.

解：（1）過點A作AE⊥x軸于點E.設反比例函數解析式為y=[kx].∵AE⊥x軸，∴∠AEO=90°.在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=[35]，∴AE=AO

·sin∠AOC=3，OE=[AO2-AE2]=4，∴A（-4，3）.∵A（-4，3）在反比例函數y=[kx]的圖像上，∴k

=-12.∴反比例函數解析式為y=[-12x].

（2）∵點B（m，-4）在反比例函數y=[-12x]的圖像上，∴m=3，∴B（3，-4）.設直線AB的解析式為y=ax+b，將A（-4，3）、B（3，-4）代入y=ax+b中得：[3=-4a+b，-4=3a+b，]解得[a=-1，b=-1，]∴一次函數解析式為y=-x-1.令y=-x-1中y=0，則x=

-1，即C（-1，0），∴S△AOB=[12]OC·（yA-yB）=[12]×1×[3-（-4）]=[72].

【點評】像本例這類問題主要是求反比例函數、一次函數的解析式以及某三個點組成的三角形的面積.求三角形的面積時，通用方法如下：如圖3，過點A作x軸的垂線l交BC于點D，則S△ABC=S△ABD+S△ACD=[12]·（yA-yD）·（xC-xB）.

例5 （2016·甘肅蘭州）二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖4所示，對稱軸是直線x=-1.有以下結論：①abc>0，②4ac2.其中正確的結論的個數是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】①由拋物線的開口向下可知a<0；由拋物線的對稱軸在y軸左側可知a、b同號，則b<0，且[-b2a]=-1；由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上可知c>0.∵a<0，b<0，c>0，∴abc>0正確.

②∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2-4ac>0，∴4ac

③∵拋物線對稱軸是直線x=-1，∴[-b2a]=-1，∴2a-b=0，∴2a+b=0錯誤.

④由圖像可知，當x=-1時，y>2，∴a-b+c>2正確，故選C.

【點評】解答有關二次函數圖像問題，要抓住拋物線與x、y軸的交點，對稱軸，頂點坐標，特殊點，常從二次函數圖像性質出發，找出a、b、c的關系，再結合對稱軸，確定a、b之間的關系，判斷與x軸交點情況可利用判別式b2-4ac.

例6 （2016·湖北咸寧）某網店銷售某款童裝，每件售價60元，每星期可賣300件.為了促銷，該店決定降價銷售，市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣30件.已知該款童裝每件成本價40元.設該款童裝每件售價x元，每星期的銷售量為y件.

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）當每件售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤是多少？

（3）若該網店每星期想要獲得不低于6480元的利潤，每星期至少要銷售該款童裝多少件？

【分析】（1）由“每星期的銷售量=原來的銷售量+降價而多銷售的銷售量”可得函數關系式；（2）根據“銷售量×（售價-進價）=利潤”，構建二次函數求最大值；（3）列一元二次方程求出售價，再根據拋物線確定出每星期銷售利潤不低于6480元時x的取值范圍，最后由一次函數的性質確定出每星期至少要銷售該款童裝的件數.

解：（1）y=300+30（60-x）=-30x+2100；

（2）設每星期的銷售利潤為W元，依題意，得W=（x-40）（-30x+2100）=-30（x-55）2+6750.∵a=-30<0，∴x=55時，W最大值=6750（元），即每件售價定為55元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤是6750元；

（3）由題得-30（x-55）2+6750=6480，解得x1=52，x2=58.∵W=-30（x-55）2+6750的開口向下，∴當52≤x≤58時，每星期銷售利潤不低于6480元.在y=-30x+2100中，k=-30<0，y隨x的增大而減小，∴當x=58時，y最小值為360.即每星期至少要銷售該款童裝360件.

【點評】利潤=（售價-進價）×銷售量.當銷售量是售價的一次函數時，則利潤是售價的二次函數.本題綜合考查了一次函數、二次函數的應用.建立函數并運用一次函數和二次函數的性質解題是關鍵.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）