基于區(qū)間型數(shù)據(jù)的金融時(shí)間序列預(yù)測研究*

楊 威韓 艾汪壽陽

(1.山西大學(xué)管理與決策研究所,山西太原030006; 2.中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院,北京100190)

基于區(qū)間型數(shù)據(jù)的金融時(shí)間序列預(yù)測研究*

楊 威1,2,韓 艾2,汪壽陽2

(1.山西大學(xué)管理與決策研究所,山西太原030006; 2.中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院,北京100190)

提出了金融數(shù)據(jù)預(yù)測新方法––區(qū)間型時(shí)間序列模型,是傳統(tǒng)時(shí)間序列模型的拓展.在與傳統(tǒng)的點(diǎn)值A(chǔ)R模型、VAR模型以及Na¨?ve模型的比較分析中發(fā)現(xiàn),區(qū)間數(shù)據(jù)模型的預(yù)測精度更高,區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)預(yù)測誤差均較小,而且具有統(tǒng)計(jì)顯著性.進(jìn)一步,不同的估計(jì)樣本量、數(shù)據(jù)頻度以及不同市場特征的區(qū)間價(jià)格數(shù)據(jù)對區(qū)間模型的穩(wěn)定性檢驗(yàn)再次驗(yàn)證了區(qū)間數(shù)據(jù)模型的可靠性.區(qū)間型金融時(shí)間序列預(yù)測研究不僅為金融問題的定量分析提供了新的視角,也可為政策制定和交易策略實(shí)施提供了更豐富的決策參考信息.

區(qū)間時(shí)間序列;區(qū)間運(yùn)算;DK-估計(jì);區(qū)間預(yù)測

1 引 言

隨機(jī)游走理論和有效市場假說(effcient market hypothesis,EMH)[1]暗含著僅基于金融資產(chǎn)過去價(jià)格信息的交易規(guī)則并不能打敗簡單的買入并持有策略,但這一結(jié)論卻未得到一致的認(rèn)可,成為金融領(lǐng)域爭論的熱點(diǎn),Ang等[2]對相關(guān)的研究結(jié)論進(jìn)行了梳理.技術(shù)分析者們認(rèn)為,與消極被動的接收金融市場信息相比,積極依靠歷史信息能夠帶來更高的收益,且已有大量成果作為其支撐.Brown等[3]和Grundy等[4]研究表明理性投資者能夠從歷史價(jià)格中得到對資產(chǎn)價(jià)格交易信號準(zhǔn)確的推斷.Brock等[5]和Lo等[6]從實(shí)證分析的角度發(fā)現(xiàn)與買入持有策略相比,由技術(shù)交易提供的買入信號能夠獲得更高的收益且收益波動率較小. Caporin等[7]利用序列協(xié)整和長記憶特征建立了金融資產(chǎn)高價(jià)和低價(jià)過程的分?jǐn)?shù)向量誤差修正模型,實(shí)證結(jié)果表明歷史高、低價(jià)格可以為價(jià)格預(yù)測提供有價(jià)值的信息,而且通過高價(jià)和低價(jià)設(shè)定的買賣信號可以改進(jìn)一般技術(shù)交易分析策略的效果.可見,對于金融資產(chǎn)歷史價(jià)格序列的建模、預(yù)測研究具有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值.

然而,Brock等[5]和Lo等[6]的研究是基于傳統(tǒng)的單個點(diǎn)值數(shù)據(jù)序列進(jìn)行分析的,而Caporin等[7]是利用高價(jià)和低價(jià)兩個點(diǎn)值數(shù)據(jù)序列構(gòu)建了向量模型,使用的仍是傳統(tǒng)的點(diǎn)值運(yùn)算法則,而不是通過區(qū)間整體運(yùn)算法則進(jìn)行的,但其研究視角表明高低價(jià)格的同時(shí)使用能夠提供更多的信息,那么如何利用區(qū)間型數(shù)據(jù)建立高、低價(jià)格同時(shí)預(yù)測的模型成為本文研究的核心問題.針對金融資產(chǎn)區(qū)間時(shí)間序列的預(yù)測問題探討意義在于:1)將統(tǒng)計(jì)建模研究對象從傳統(tǒng)的點(diǎn)值數(shù)據(jù)推廣到區(qū)間數(shù)據(jù),對現(xiàn)有的部分點(diǎn)值數(shù)據(jù)計(jì)量模型進(jìn)行拓展;2)利用區(qū)間數(shù)據(jù)的豐富信息,以期提高統(tǒng)計(jì)推斷效率和預(yù)測精度;3)金融市場研究中的技術(shù)分析、流動性測度以及交易成本等問題依賴金融資產(chǎn)的高價(jià)和低價(jià)序列[8,9],所以區(qū)間數(shù)據(jù)模型預(yù)測精度的提高更有助于拓廣區(qū)間數(shù)據(jù)模型在金融問題探討中的應(yīng)用范圍.本文以區(qū)間數(shù)據(jù)為切入點(diǎn),嘗試針對區(qū)間數(shù)據(jù)建模并進(jìn)行區(qū)間時(shí)間序列預(yù)測研究,通過不同模型方法的區(qū)間預(yù)測精度的比較分析,探究區(qū)間數(shù)據(jù)的建模方法在金融資產(chǎn)高、低價(jià)格預(yù)測方面的優(yōu)勢特征,基此為投資者交易分析提供更加精準(zhǔn)的參考信息.

計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析基于可觀測或可得樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計(jì)模型,對生成樣本的概率總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷并進(jìn)行樣本外預(yù)測,廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)和金融市場現(xiàn)象的解釋、經(jīng)濟(jì)和金融假說的檢驗(yàn)、重要變量的預(yù)測預(yù)警等,為政府部門和相關(guān)行業(yè)、企業(yè)提供決策依據(jù).傳統(tǒng)計(jì)量模型基于點(diǎn)值隨機(jī)變量通過回歸分析尋求較為準(zhǔn)確的因果關(guān)系以及有效的預(yù)測,但模型中所涉及的隨機(jī)元是點(diǎn)值變量,其僅能反映變量的水平或者波動單方面的信息,無法兩者兼得,破解這一困惑的一個有效方法是區(qū)間數(shù)據(jù)的選擇.區(qū)間數(shù)據(jù)廣泛存在于經(jīng)濟(jì)、金融和社會生活中,可以通過下限和上限來刻畫變量的變化范圍,將所有具體的數(shù)字包含于這個范圍之內(nèi),不僅包含豐富的信息優(yōu)勢,對經(jīng)濟(jì)決策制定而言,區(qū)間預(yù)測比點(diǎn)值預(yù)測能夠提供更加豐富的參考信息.

區(qū)間數(shù)據(jù)的研究始于Moore[10]提出的區(qū)間分析,通過將一系列數(shù)據(jù)作為區(qū)間來處理,以解決數(shù)學(xué)模型中變量不確定取值的問題,使得計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確.區(qū)間數(shù)據(jù)較點(diǎn)值數(shù)據(jù)在處理不完全信息上的優(yōu)勢,使其不僅在數(shù)值分析中得到廣泛的應(yīng)用[11,12],在經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域中也逐漸被采用[13-15].與點(diǎn)值數(shù)據(jù)相比,區(qū)間數(shù)據(jù)所含的信息量較大,不僅包含了最大值和最小值,還能夠刻畫變量取值的不確定性和可變化性.區(qū)間數(shù)據(jù)建模方法雖然種類繁多,但是多數(shù)研究都是從區(qū)間數(shù)據(jù)點(diǎn)值屬性分析、區(qū)間運(yùn)算下的簡單區(qū)間回歸分析以及預(yù)測等角度入手.鑒于區(qū)間可以由中點(diǎn)和極差(或上界和下界)唯一確定,一類代表性的區(qū)間數(shù)據(jù)建模方法是采用傳統(tǒng)的二維變量統(tǒng)計(jì)方法針對區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)和極差建立聯(lián)立模型,其核心思想分為兩大類:一類是將區(qū)間數(shù)據(jù)的生成機(jī)制看成是中點(diǎn)和極差兩個獨(dú)立的點(diǎn)值過程并分別建模[16-19];另一類則認(rèn)為上述兩個點(diǎn)值過程相互影響,其數(shù)學(xué)表達(dá)是在各自回歸式中引入另一變量的滯后項(xiàng),建立關(guān)于中點(diǎn)和極差的二維向量自回歸(VAR)模型[20].盡管如此,這些二維統(tǒng)計(jì)推斷模型依舊是在傳統(tǒng)的點(diǎn)值隨機(jī)變量框架下進(jìn)行研究,并不能從計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析角度給出相關(guān)區(qū)間數(shù)據(jù)模型參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)、假設(shè)檢驗(yàn)以及對應(yīng)的經(jīng)濟(jì)解釋,但是區(qū)間數(shù)據(jù)計(jì)量模型研究的總體卻是區(qū)間取值的隨機(jī)變量.

基于區(qū)間數(shù)據(jù)點(diǎn)值屬性(上界、下界、中點(diǎn)和極差)來分析區(qū)間數(shù)據(jù)回歸問題已經(jīng)有許多相關(guān)研究方法[16-19].Billard等[16]引入依賴中心趨勢和分散測度方法來研究區(qū)間數(shù)據(jù)的回歸問題.具體來講, Billard等[16]提出利用中點(diǎn)方法(center method,CM)來擬合區(qū)間數(shù)據(jù)回歸模型,基于區(qū)間中點(diǎn)建立點(diǎn)值回歸模型,然后將所得到的回歸系數(shù)分別應(yīng)用于區(qū)間的上界和下界得到對應(yīng)的區(qū)間.但是,該研究結(jié)論是基于區(qū)間中的點(diǎn)是服從均勻分布的.Billard等[17]提出了最小最大方法(min-max method),通過區(qū)間的上界和下界分別建立回歸模型進(jìn)行區(qū)間擬合和預(yù)測.Neto等[18]提出了中點(diǎn)與極差方法(center and range method,CRM)來研究區(qū)間數(shù)據(jù)的回歸問題,在CM方法基礎(chǔ)上又考慮了區(qū)間極差信息,通過區(qū)間中點(diǎn)和區(qū)間極差分別建立對應(yīng)的回歸模型,再依據(jù)區(qū)間生成方式給出區(qū)間上界和下界且在一定程度上要比Billard等[16,17]更加有效.李汶華等[21]基于誤差傳遞理論提出了區(qū)間符號數(shù)據(jù)的回歸方法.然而,上述方法均不能夠保證模型本身暗含的假設(shè)條件,即預(yù)測區(qū)間下界要小于等于區(qū)間上界.為了保證合理的區(qū)間結(jié)構(gòu),Neto等[19]提出帶有限制條件的區(qū)間回歸模型(CCRM),通過對區(qū)間極差方程系數(shù)施加一定的約束條件確保預(yù)測區(qū)間結(jié)構(gòu)的一致性.但這種通過區(qū)間中點(diǎn)和極差點(diǎn)值屬性來對區(qū)間進(jìn)行建模的方法仍然存在問題.正如Gil等[22]所指出,利用區(qū)間點(diǎn)值屬性建立回歸模型進(jìn)行分析是一種很直觀的研究思路,但是研究區(qū)間極差屬性或者區(qū)間中點(diǎn)和極差屬性相關(guān)性的回歸模型必須考慮一些很重要的限制條件.因此,這些線性回歸模型參數(shù)估計(jì)的最優(yōu)解不能簡單的依靠已有的最小二乘估計(jì)來獲得,而是要通過帶有約束的最優(yōu)化求解過程并以此保證參數(shù)估計(jì)的一致性.

基于區(qū)間運(yùn)算法則建立的區(qū)間線性回歸模型可以有效解決Gil等[22]所提出的基于區(qū)間點(diǎn)值屬性研究區(qū)間回歸問題中所遇到的困難,其參數(shù)估計(jì)通常采用區(qū)間最小二乘(interval least squares,ILS)估計(jì)方法[23-27].對于區(qū)間時(shí)間序列的研究,現(xiàn)有方法多數(shù)利用區(qū)間點(diǎn)值屬性(上界,下界,中點(diǎn)和極差)序列來建模和預(yù)測[28-30],或者針對區(qū)間點(diǎn)值屬性分別構(gòu)建時(shí)間序列模型,或者構(gòu)建二元向量自回歸模型,但均不是以區(qū)間樣本總體為研究對象.Han等[31]從區(qū)間樣本總體出發(fā),首次提出了針對區(qū)間時(shí)間序列數(shù)據(jù)構(gòu)建自回歸模型(autoregressive conditional interval model,ACI)的研究框架,延拓了區(qū)間定義和區(qū)間運(yùn)算法則,給出了模型參數(shù)估計(jì)的方法以及參數(shù)估計(jì)量的漸進(jìn)有效性.與已有的區(qū)間數(shù)據(jù)研究方法相比,ACI模型能夠直接針對區(qū)間型數(shù)據(jù)建模來捕捉區(qū)間過程的動態(tài)特征,且其最小DK–區(qū)間距離估計(jì)方法能夠給出更加有效的參數(shù)估計(jì).進(jìn)一步,在區(qū)間模型實(shí)證分析應(yīng)用中,Yang等[32]提出了區(qū)間虛擬變量,并且將虛擬變量與區(qū)間數(shù)據(jù)模型相結(jié)合,給出了能夠度量危機(jī)事件對區(qū)間數(shù)據(jù)過程影響的模型框架以及參數(shù)的經(jīng)濟(jì)解釋;Yang等[33]利用區(qū)間數(shù)據(jù)模型從水平收益和極差波動兩方面實(shí)證分析了美國次貸危機(jī)前后原油市場與美國股票市場相互作用的變化特征.在區(qū)間模型預(yù)測應(yīng)用中,Yang等[34]基于區(qū)間數(shù)據(jù)模型和點(diǎn)值自回歸AR模型分別對金融資產(chǎn)價(jià)格極差進(jìn)行預(yù)測,發(fā)現(xiàn)了區(qū)間數(shù)據(jù)模型對極差波動的預(yù)測優(yōu)勢.基于區(qū)間運(yùn)算法則,本文構(gòu)建了相應(yīng)的區(qū)間時(shí)間序列模型,比較分析區(qū)間數(shù)據(jù)模型與點(diǎn)值數(shù)據(jù)模型的區(qū)間預(yù)測表現(xiàn),并通過誤差分析和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)分析區(qū)間數(shù)據(jù)模型的預(yù)測優(yōu)勢,基此為金融時(shí)間序列建模提供一個新的研究視角.

2 區(qū)間時(shí)間序列預(yù)測模型

區(qū)間時(shí)間序列是金融資產(chǎn)最高價(jià)和最低價(jià)構(gòu)成的一系列區(qū)間,針對區(qū)間序列的預(yù)測研究從兩個視角進(jìn)行,一是利用區(qū)間運(yùn)算法則構(gòu)建區(qū)間自回歸模型進(jìn)行區(qū)間預(yù)測,二是利用點(diǎn)值運(yùn)算對金融價(jià)格區(qū)間的最高價(jià)和最低價(jià)時(shí)間序列分別構(gòu)建自回歸模型或者向量自回歸模型進(jìn)行區(qū)間預(yù)測.

2.1 區(qū)間隨機(jī)變量運(yùn)算法則

設(shè)Kc(R)為R中的非空緊區(qū)間構(gòu)成的集合,且Kc(R)中賦予某種加法和數(shù)乘運(yùn)算,即對于任意的A,B∈Kc(R),有A+B和λA.在不同的區(qū)間運(yùn)算假設(shè)下,由于缺少對稱區(qū)間元素使得[Kc(R),+,·]不能夠成為一個線性空間[22].為此,學(xué)者們引入了Hukuhara差分(Hukuhara difference)概念,其形式定義為對任意的A,B∈Kc(R),Hukuhara差分C=A-HB滿足

給定概率空間(Ω,A,P),映射X∶Ω→Kc(R)如果滿足A|Bd*–可測性,則稱為相應(yīng)于(Ω,A,P)的區(qū)間隨機(jī)變量,其中d*是Kc(R)中的距離測度,Bd*表示Kc(R)上由d*誘導(dǎo)的σ–域.

為了針對區(qū)間數(shù)據(jù)模型建立相應(yīng)的估計(jì)方法,首先需要明確區(qū)間距離函數(shù)d*(·,·)的具體形式.比較直觀的區(qū)間距離度量方式是Hausdorff距離,隨后這種區(qū)間距離度量從不同角度得到了推廣,例如dW–距離,dθ–距離和DK–距離等[25-27].其中DK–距離具有如下最為一般化的形式,且用‖·‖K表示區(qū)間相應(yīng)于核函數(shù)K的L2–距離

對任意的A,B∈Kc(R),K是一個是半正定對稱矩陣.函數(shù)s是從空間Kc(R)到Hilbert空間中閉凸錐[C(S0),‖·‖K]的一個等距映射.如果用〈·,·〉K表示對應(yīng)的內(nèi)積,那么有

2.2 基于區(qū)間數(shù)據(jù)運(yùn)算的預(yù)測模型

基于區(qū)間數(shù)據(jù)運(yùn)算法則,本文將從區(qū)間過程的短期和長期作用分別構(gòu)建區(qū)間時(shí)間序列自回歸模型.當(dāng)考慮金融資產(chǎn)區(qū)間價(jià)格過程的短期動態(tài)作用時(shí),可構(gòu)建如下區(qū)間自回歸模型

其中α0,β0,βi,i=1,2,...,p均為待估參數(shù);I0=[-0.5,0.5]是常值單位區(qū)間;α0+β0I0=[α0-β0/2,α0+β0/2]是區(qū)間截距項(xiàng);PSt=[PSLt,PSHt]是金融資產(chǎn)區(qū)間價(jià)格過程;Δ表示區(qū)間價(jià)格過程的Hukuhara差分;ut=[uLt,uHt]是相對信息集It-1的區(qū)間鞅差分序列過程并且滿足E[ut|It-1]=[0,0]幾乎處處成立.

上述區(qū)間數(shù)據(jù)模型的優(yōu)勢在于其不僅能夠充分利用數(shù)據(jù)信息進(jìn)行更加有效的參數(shù)估計(jì),而且可以從區(qū)間數(shù)據(jù)模型中得到一些點(diǎn)值過程模型.例如,如果對于區(qū)間數(shù)據(jù)的兩個邊界過程感興趣,即金融資產(chǎn)的最低價(jià)格序列和最高價(jià)格序列,那么可以通過區(qū)間運(yùn)算獲得如下參數(shù)模型

基于此區(qū)間數(shù)據(jù)模型預(yù)測的區(qū)間高價(jià)和低價(jià)分別記為ACIH和ACIL.類似的,如果感興趣的是區(qū)間價(jià)格極差過程,那么通過區(qū)間最低價(jià)格和最高價(jià)格可以得到如下價(jià)格極差的參數(shù)模型

當(dāng)考慮將區(qū)間高價(jià)信息和低價(jià)信息分別引入到區(qū)間低價(jià)和高價(jià)預(yù)測中時(shí),可以考慮在式(4)的區(qū)間數(shù)據(jù)模型結(jié)構(gòu)中引入一個新的區(qū)間變量

當(dāng)同時(shí)考慮金融資產(chǎn)區(qū)間價(jià)格過程的短期和長期動態(tài)作用時(shí),可以對區(qū)間價(jià)格時(shí)間序列過程設(shè)定如下的區(qū)間自回歸模型

其中γ0是相應(yīng)于區(qū)間誤差修正項(xiàng)ECSt-1的待估參數(shù),其構(gòu)建形式是依據(jù)Johansen協(xié)整檢驗(yàn)可獲得的低價(jià)PSLt和高價(jià)PSHt之間的誤差修正項(xiàng)對資產(chǎn)價(jià)格未來走勢含有重要的預(yù)測信息,結(jié)構(gòu)表達(dá)與Yang等[32,33]類似.

對于上述區(qū)間數(shù)據(jù)模型的參數(shù)估計(jì),將采用Han等[31]所提出的兩階段最小DK-距離估計(jì)方法.假設(shè)區(qū)間數(shù)據(jù)回歸模型的參數(shù)向量為φ,那么最小DK-距離估計(jì)量為

2.3 基于點(diǎn)值數(shù)據(jù)運(yùn)算的預(yù)測模型

Na¨?ve模型.Na¨?ve模型是區(qū)間鞅序列的一個簡單形式,其可以被看做為點(diǎn)值鞅序列或者點(diǎn)值隨機(jī)游走的區(qū)間版本.通過點(diǎn)值鞅序列或者隨機(jī)游走的研究可以發(fā)現(xiàn),Na¨?ve模型對時(shí)間序列樣本外預(yù)測有一定的優(yōu)勢,所以很直觀的想法就是利用區(qū)間版本的Na¨?ve模型來預(yù)測區(qū)間時(shí)間序列過程.為了獲得金融資產(chǎn)區(qū)間價(jià)格過程的高價(jià)和低價(jià)預(yù)測,假設(shè)隨機(jī)區(qū)間過程服從于鞅序列或者隨機(jī)游走過程,那么在時(shí)刻t時(shí)可以獲得的所有信息It條件下,區(qū)間過程在時(shí)刻t+1時(shí)的預(yù)測區(qū)間值等于時(shí)刻t時(shí)的真實(shí)區(qū)間值,即基于此模型預(yù)測的區(qū)間高價(jià)和低價(jià)分別記為NAIVEH和NAIVEL,該方法的預(yù)測結(jié)果將被作為其他各種預(yù)測模型表現(xiàn)的比較基準(zhǔn).

AR模型.在點(diǎn)值時(shí)間序列預(yù)測研究中,經(jīng)常用到的方法是自回歸滑動平均(autoregressive integrated moving average,ARIMA)模型,其中自回歸AR模型是ARIMA模型的一種特殊情況,其是利用時(shí)間序列的歷史值來預(yù)測未來值.標(biāo)準(zhǔn)的自回歸AR模型結(jié)構(gòu)如下

其中yt表示時(shí)間序列在時(shí)刻t的取值;αi,i=1,2,...,p為模型待估參數(shù);模型AR(p)中的參數(shù)p表示自回歸模型的滯后階數(shù).

針對區(qū)間數(shù)據(jù),如果要預(yù)測區(qū)間的兩個邊界,即區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià),那么可以分別對區(qū)間高價(jià)序列和區(qū)間低價(jià)序列建立下述自回歸模型

值得注意的是,區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)各自的AR(p)模型容許采用不同的回歸系數(shù),其參數(shù)估計(jì)過程中不會同時(shí)利用高價(jià)和低價(jià)的信息,而這也正是該預(yù)測模型與上述介紹的直接針對區(qū)間數(shù)據(jù)建模方法的不同之處.基于此模型預(yù)測的區(qū)間高價(jià)和低價(jià)分別記為ARH和ARL.

VAR模型.向量自回歸(vector autoregressive,VAR)模型是一般自回歸模型在多變量情形下的推廣.對于K個變量的VAR(p)模型可以寫成如下形式

其中K×1向量εt為白噪聲誤差隨機(jī)變量且滿足獨(dú)立同分布假設(shè).C是K×1常數(shù)向量,Yt是K維平穩(wěn)時(shí)間序列向量,算子φp(B)=φ1B+φ2B2+···+φpBp是p階自回歸矩陣多項(xiàng)式且后移算子,BjYt=Yt-j.本文將考慮針對區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)的二元系統(tǒng),其在估計(jì)參數(shù)過程中可以考慮高價(jià)和低價(jià)之間的相關(guān)性.盡管如此,該方法假設(shè)高價(jià)和低價(jià)方程可以容許不同的系數(shù),因此與本文給出的區(qū)間模型相比,該方法不夠簡約.一般的,針對金融資產(chǎn)高價(jià)和低價(jià)過程的二元VAR(p)模型可以表示成如下形式

其中PYt=(PSHt,PSLt)T,μ,Γi,i=1,2,...,p是未知待估參數(shù)矩陣,εt是二元擾動誤差項(xiàng).基于此模型預(yù)測的區(qū)間高價(jià)和低價(jià)分別記為VARH和VARL.

3 區(qū)間預(yù)測精度判別準(zhǔn)則

對于金融資產(chǎn)高價(jià)序列和低價(jià)序列的預(yù)測,可以通過上述的Na¨?ve模型,AR模型,VAR模型和區(qū)間模型方法來實(shí)現(xiàn).不同模型的預(yù)測表現(xiàn)比較可以通過以下兩種判別準(zhǔn)則來進(jìn)行.

首先,因?yàn)殛P(guān)注金融資產(chǎn)價(jià)格區(qū)間的預(yù)測精度,所以會考慮平均絕對誤差(mean absolute deviation, MAD)和均方誤差(mean squared error,MSE)這兩個常用的誤差判斷準(zhǔn)則.令{PAt}為觀測到的區(qū)間屬性變量而為相應(yīng)的預(yù)測值,t=1,2,...,T,那么可將MAD和MSE定義為

這里的PAt可以代表任意的區(qū)間屬性變量(諸如區(qū)間邊界、區(qū)間極差等).一般而言,較小的MAD和MSE表示相應(yīng)模型的預(yù)測精度較優(yōu).

其次,為了進(jìn)一步確定不同模型的區(qū)間預(yù)測精度優(yōu)勢的顯著性,可以用修正的Diebold-Mariano檢驗(yàn)方法(modifed Diebold-Mariano,MDM)[35-36].MDM檢驗(yàn)的優(yōu)勢在于可以用于一步預(yù)測和多步預(yù)測精度的檢驗(yàn).令eit和ejt分別表示由模型i和模型j所得到的預(yù)測誤差,平方預(yù)測誤差定義為

基于兩種預(yù)測誤差測度MAD和MSE,在原假設(shè)兩個待比較預(yù)測模型的誤差沒有差異性下,可以通過MDM方法進(jìn)行檢驗(yàn).對于MDM檢驗(yàn)中的記號模型1/模型2而言,顯著負(fù)的MDM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量表示模型1產(chǎn)生的預(yù)測誤差MAD或者M(jìn)SE要顯著的比模型2產(chǎn)生的預(yù)測誤差要小,其中模型1和模型2可以分別取Na¨?ve模型,AR模型,VAR模型和ACI區(qū)間模型.

4 區(qū)間預(yù)測模型實(shí)證比較分析

為了進(jìn)一步說明區(qū)間數(shù)據(jù)模型在區(qū)間預(yù)測方面的優(yōu)勢.本文將基于美國股票市場和中國股票市場中主要的價(jià)格指數(shù)區(qū)間時(shí)間序列過程,對比分析不同模型區(qū)間預(yù)測精度,在金融資產(chǎn)價(jià)格區(qū)間低價(jià)和高價(jià)序列預(yù)測值的MAD和MSE進(jìn)行比較分析的基礎(chǔ)上,利用MDM方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),提供更有力的支撐.

4.1 數(shù)據(jù)描述和基本統(tǒng)計(jì)分析

在預(yù)測精度比較中,以美國股票市場中的標(biāo)普500指數(shù)(S&P500)、道瓊斯工業(yè)指數(shù)(DJIA)、納斯達(dá)克指數(shù)(NASDAQ)為對象,采用每支股指最低價(jià)(PSLt)和最高價(jià)(PSHt)的日度對數(shù)價(jià)格數(shù)據(jù)形式,樣本期為2003–01–03–2012–12–31.由于美國股票市場和中國股票市場的特征存在很大差異,所以為了保證不同模型區(qū)間預(yù)測比較結(jié)果具有穩(wěn)定性,本文還將基于中國股票市場數(shù)據(jù)進(jìn)一步比較不同模型對金融區(qū)間時(shí)間序列的預(yù)測精度,采用中國股票市場中的上證綜指(SHCI)和深證成指(SZCI).上證綜指(SHCI)和深證成指(SZCI)樣本期為2005–01–04–2012–12–31.用PSt=[PSLt,PSHt]表示相關(guān)的金融資產(chǎn)區(qū)間價(jià)格過程, PSRt表示區(qū)間價(jià)格過程的極差變量,全部數(shù)據(jù)樣本來自萬得(Wind)數(shù)據(jù)庫,基本統(tǒng)計(jì)量見表1和表2.

表1 美國股票市場區(qū)間價(jià)格指數(shù)變量的基本統(tǒng)計(jì)分析Table 1 Statistical analysis of interval price index variables in the U.S.stock market

表1給出了美國股票市場指數(shù)區(qū)間價(jià)格過程的高價(jià)、低價(jià)和價(jià)格極差的基本統(tǒng)計(jì)分析.對于美國股票市場中的S&P500指數(shù)、DJIA指數(shù)和NASDAQ指數(shù)而言:1)區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)變量在標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度方面有較為相似的特征;2)區(qū)間價(jià)格極差變量(日內(nèi)波動)的峰度特征與區(qū)間高價(jià)差分(日間波動)和區(qū)間低價(jià)差分(日間波動)有很大不同;3)各個變量的JB統(tǒng)計(jì)量值很大,且對應(yīng)的P值為0,表明從全樣本來看這些區(qū)間點(diǎn)值屬性變量不服從正態(tài)分布.類似的,表2中給出的中國股票市場指數(shù)區(qū)間價(jià)格過程的基本統(tǒng)計(jì)分析表明,與美國股票市場不同,上證綜指和深證成指區(qū)間價(jià)格極差變量(日內(nèi)波動)的峰度特征與區(qū)間高價(jià)差分(日間波動)和區(qū)間低價(jià)差分(日間波動)序列的峰度特征比較相似.進(jìn)一步,以美國股票市場中的S&P 500指數(shù)和中國股票市場中的上證綜指為代表,通過趨勢圖來觀察不同區(qū)間屬性變量和不同市場指數(shù)之間的差異,見圖1和圖2.

圖1和圖2表明無論是美國股票市場還是中國股票市場,區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)的走勢特征非常相似.從日內(nèi)價(jià)格極差(PSR)走勢和日間價(jià)格變化(DPSH和DPSL)走勢可以看出,中國股票市場較美國股票市場波動更加劇烈.美國股票市場日內(nèi)價(jià)格極差波動大部分時(shí)間相對穩(wěn)定,而中國股票市場的日內(nèi)價(jià)格極差波動劇烈.此外,美國股票市場和中國股票市場在美國次貸金融危機(jī)之后的走勢特征也有很大差異.因此,中國股票市場和美國股票市場的特征差異性為不同金融市場區(qū)間價(jià)格預(yù)測的穩(wěn)定性檢驗(yàn)提供了可能.

表2 中國股票市場區(qū)間價(jià)格指數(shù)變量的基本統(tǒng)計(jì)分析Table 2 Statistical analysis of interval price index variables in the Chinese stock market

圖1 美國股票市場中S&P 500指數(shù)各個區(qū)間屬性變量趨勢Fig.1 Each interval attribute variable trend of S&P 500 index in the U.S.stock market

4.2 實(shí)證分析中預(yù)測比較方案設(shè)計(jì)

金融資產(chǎn)區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)的預(yù)測將考慮以下情形:

(a)區(qū)間數(shù)據(jù)的Na¨?ve預(yù)測模型(NAIVEH和NAIVEL);(b)區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)各自的AR預(yù)測模型(ARH和ARL);(c)區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)的VAR預(yù)測模型(VARH和VARL);(d)基于區(qū)間運(yùn)算的ACI模型(ACIH和ACIL).

這里有幾點(diǎn)特別值得注意的地方:1)Na¨?ve預(yù)測模型為研究其他模型的預(yù)測表現(xiàn)提供了一個基準(zhǔn).2)利用區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)分別建立各自的AR預(yù)測模型,可以得到區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)的預(yù)測值.然而,該種預(yù)測方法并不考慮區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)之間的相關(guān)關(guān)系.因此,將該種預(yù)測方法得到的預(yù)測值與VAR模型和ACI模型的預(yù)測值進(jìn)行比較,可以分析區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)相互作用關(guān)系能否幫助提高預(yù)測精度.3)基于區(qū)間運(yùn)算的ACI模型在參數(shù)估計(jì)過程中能夠同時(shí)利用中點(diǎn)趨勢信息和價(jià)格極差信息,而VAR模型作為區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)的二元模型系統(tǒng)能夠考慮高價(jià)和低價(jià)之間的相互作用.然而,VAR模型和ACI模型的差異在于,VAR模型中的過多參數(shù)可能會導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)的有效性下降以及樣本外預(yù)測誤差增加,所以這兩種模型的區(qū)間預(yù)測精度的比較分析更有意義.

圖2 中國股票市場中上證綜指各個區(qū)間屬性變量趨勢Fig.2 Each interval attribute variable trend of SHCI index in the Chinese stock market

進(jìn)一步,由于過度擬合和數(shù)據(jù)測量偏差的存在使得好的樣本內(nèi)擬合并不能夠保證好的樣本外預(yù)測表現(xiàn),所以對于不同模型預(yù)測效果的比較,擬從樣本內(nèi)預(yù)測比較和樣本外預(yù)測比較兩個方面進(jìn)行.首先將所考慮的區(qū)間時(shí)間序列分為兩部分:測試部分和驗(yàn)證部分,然后所有的預(yù)測模型都將通過這兩部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整和檢驗(yàn).訓(xùn)練部分的數(shù)據(jù)是用于模型方法的初始化以及參數(shù)的調(diào)整,而驗(yàn)證部分的數(shù)據(jù)將用于評價(jià)模型的預(yù)測效果.

對于不同模型的區(qū)間預(yù)測表現(xiàn)比較,還將考慮不同的模型階數(shù)p,不同的估計(jì)窗口寬度以及不同的數(shù)據(jù)頻度.令記號表示在t時(shí)刻獲得的h–期后的預(yù)測值,其中PA代表所關(guān)注的預(yù)測對象(例如區(qū)間高價(jià)或者區(qū)間低價(jià)).樣本外預(yù)測值是通過一個動態(tài)遞歸迭代過程產(chǎn)生的,其中在遞歸的每一步中模型參數(shù)都將重新估計(jì),但是不改變預(yù)先設(shè)定好的模型階數(shù).當(dāng)h＞1時(shí),各種預(yù)測模型右側(cè)變量的真實(shí)觀測值是不可知的,此時(shí)需要由預(yù)測值來替代真實(shí)值進(jìn)行下一步的預(yù)測.下面小節(jié)實(shí)證中的預(yù)測結(jié)果分析主要以樣本外一階預(yù)測為主.對模型滯后階數(shù)的選擇,首先由于整個估計(jì)和預(yù)測過程采用樣本外滾動方式進(jìn)行,因此本文利用各個時(shí)間序列的偏自相關(guān)圖(短截尾)以及AIC,SBIC等模型階數(shù)判定準(zhǔn)則選取模型階數(shù)為p=3;其次,由于本文提出的區(qū)間時(shí)間序列模型的變量選擇理論還在進(jìn)一步研究中,為了保證模型預(yù)測比較的穩(wěn)定性,本文從不同階數(shù)(p=1,2,3)分別將區(qū)間模型和其他各種模型進(jìn)行預(yù)測比較.

4.3 基于美國股票市場的預(yù)測比較結(jié)果

對于不同模型的樣本內(nèi)預(yù)測比較,采用樣本期內(nèi)模型估計(jì)和擬合得到區(qū)間高價(jià)和低價(jià)預(yù)測的MAD和MSE,然后計(jì)算平均值,具體比較結(jié)果見表3.表3表明,基于美國股票市場S&P500指數(shù)的VAR預(yù)測模型和區(qū)間預(yù)測模型的樣本內(nèi)區(qū)間擬合效果優(yōu)于隨機(jī)游走Na¨?ve模型和區(qū)間高價(jià)、低價(jià)各自的AR預(yù)測模型.

表4中顯著為負(fù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量結(jié)果表明,無論是從樣本內(nèi)區(qū)間預(yù)測精度MAD還是預(yù)測穩(wěn)定性MSE來看,AR模型要顯著優(yōu)于隨機(jī)游走Na¨?ve模型,VAR模型和區(qū)間ACI模型要顯著優(yōu)于AR模型.對于樣本內(nèi)的ACI區(qū)間模型與VAR模型的比較沒有顯著的結(jié)果,故文中沒有列出相應(yīng)的結(jié)果.此外,基于美國股票市場DJIA和NASDAQ指數(shù)的樣本內(nèi)區(qū)間預(yù)測有類似比較結(jié)果,說明了VAR模型和區(qū)間ACI模型的樣本內(nèi)區(qū)間預(yù)測優(yōu)勢.

表3 基于美國股票市場S&P500指數(shù)的樣本內(nèi)區(qū)間預(yù)測比較Table 3 In-sample interval forecasting comparison based on S&P500 index in the U.S.stock market

表4 基于美國股票市場S&P500指數(shù)的樣本內(nèi)區(qū)間預(yù)測比較檢驗(yàn)結(jié)果Table 4 The testing results of in-sample interval forecasting comparison based on S&P500 index in the U.S.stock market

為了更加細(xì)致區(qū)分不同模型的預(yù)測精度,文中比較了不同模型的樣本外預(yù)測效果.基于美國股票市場指數(shù)的各種模型方法得到的區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)的預(yù)測誤差結(jié)果見表5和表6,對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)比較結(jié)果見表7.

從表5和表6中不同模型對區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)預(yù)測誤差MAD和MSE均值結(jié)果可以看出,無論是預(yù)測偏差還是預(yù)測穩(wěn)定性,區(qū)間ACI模型較Na¨?ve模型、高價(jià)和低價(jià)各自回歸的AR模型以及VAR模型都具有預(yù)測優(yōu)勢,而且這種預(yù)測優(yōu)勢對于美國股票市場中S&P500指數(shù)、DJIA指數(shù)以及NASDAQ指數(shù)都是一致的.這是由于區(qū)間ACI模型估計(jì)過程中不僅利用了區(qū)間高、低價(jià)信息,而且還利用了區(qū)間價(jià)格極差信息,更加豐富的信息有助于區(qū)間模型得到準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)推斷和預(yù)測效果.為了進(jìn)一步比較不同模型預(yù)測優(yōu)勢的顯著性,本文在表7中給出了關(guān)于美國股票市場S&P500指數(shù)的樣本外區(qū)間預(yù)測比較的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果.

從統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)角度分析,表7中對區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)預(yù)測誤差MAD和MSE的檢驗(yàn)結(jié)果說明:1)從MAD檢驗(yàn)來看,ACI區(qū)間模型的高價(jià)和低價(jià)預(yù)測表現(xiàn)均要顯著優(yōu)于Na¨?ve和AR模型的區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)預(yù)測表現(xiàn).2)從MSE檢驗(yàn)來看,除了ACI區(qū)間模型高價(jià)預(yù)測與Na¨?ve模型高價(jià)預(yù)測相比檢驗(yàn)不顯著之外,其余的ACI區(qū)間模型與Na¨?ve模型和AR模型檢驗(yàn)均是顯著的,表明ACI區(qū)間模型的高價(jià)和低價(jià)預(yù)測穩(wěn)定性均要顯著優(yōu)于Na¨?ve和AR模型的高價(jià)和低價(jià)預(yù)測穩(wěn)定性.此外,盡管ACI區(qū)間模型與Na¨?ve模型的高價(jià)預(yù)測相比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不顯著,但是其數(shù)值是負(fù)的,表明ACI區(qū)間模型的高價(jià)預(yù)測還是有優(yōu)勢的. 3)ACI區(qū)間模型與VAR模型的高價(jià)和低價(jià)預(yù)測相比,無論是基于MAD還是基于MSE的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均為負(fù)值,而且對于高價(jià)預(yù)測MAD的檢驗(yàn)是顯著的,表明ACI區(qū)間模型的高價(jià)預(yù)測要顯著優(yōu)于VAR模型的高價(jià)預(yù)測.為了進(jìn)一步表明ACI區(qū)間模型對VAR模型的樣本外預(yù)測優(yōu)勢,本文以美國次貸金融危機(jī)全面爆發(fā)時(shí)刻(2008年08月)為分割點(diǎn),將預(yù)測樣本分成危機(jī)前(2003–01–2008–07)與危機(jī)后(2008–08–2012–12)兩個時(shí)間段后分別比較ACI區(qū)間模型和VAR模型的樣本外預(yù)測精度,比較檢驗(yàn)結(jié)果見表8.

表5 基于美國股票市場S&P500指數(shù)的樣本外區(qū)間預(yù)測比較Table 5 Out-of-sample interval forecasting comparison based on S&P500 index in the U.S.stock market

表6 基于美國股票市場DJIA和NASDAQ指數(shù)的樣本外區(qū)間預(yù)測比較Table 6 Out-of-sample interval forecasting comparison based on DJIA and NASDAQ indices in the U.S.stock market

從表8中可以看出,在美國次貸金融危機(jī)前的樣本期(2003–01–2008–07),除了基于MSE的低價(jià)預(yù)測檢驗(yàn)不顯著以外,基于MAD和MSE的高價(jià)和低價(jià)樣本外預(yù)測檢驗(yàn)結(jié)果均表明ACI區(qū)間模型較VAR模型有較高的樣本外預(yù)測精度.

綜上,區(qū)間模型在金融資產(chǎn)區(qū)間價(jià)格序列預(yù)測方面有較為明顯的優(yōu)勢.

4.4 穩(wěn)健性檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)預(yù)測結(jié)果的穩(wěn)健性,考慮多種參數(shù)對預(yù)測結(jié)果的影響,基于美國股票市場指數(shù)區(qū)間價(jià)格數(shù)據(jù)研究各個模型預(yù)測表現(xiàn)的實(shí)證研究中,除了基于MAD和MSE基本誤差統(tǒng)計(jì)量比較分析以外,還利用MDM統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)不同模型預(yù)測優(yōu)勢的顯著性.此外,由于美國股票市場和中國股票市場在市場發(fā)展程度和有效性等方面差異性較大[37],所以本文基于中國股票市場數(shù)據(jù)進(jìn)一步比較不同預(yù)測模型對金融區(qū)間時(shí)間序列的預(yù)測精度.基于滾動區(qū)間預(yù)測的結(jié)果,逐月計(jì)算各個模型區(qū)間預(yù)測的MAD和MSE,誤差結(jié)果和檢驗(yàn)結(jié)果見表9和表10.

表7 基于美國股票市場S&P500指數(shù)的樣本外區(qū)間預(yù)測比較檢驗(yàn)結(jié)果Table 7 The testing results of out-of-sample interval forecasting comparison based on S&P500 index in the U.S.stock market

表8 基于S&P500指數(shù)的ACI和VAR模型在美國次貸金融危機(jī)前后預(yù)測比較檢驗(yàn)結(jié)果Table 8 The forecasting comparison testing results between ACI and VAR models before and after the U.S.subprime mortgage crisis based on S&P500 index

表9 基于中國股票市場的樣本外區(qū)間預(yù)測比較Table 9 Out-of-sample interval forecasting comparison based on the Chinese stock market

表9從預(yù)測誤差MAD和MSE兩個方面表明ACI區(qū)間模型有較好的樣本外預(yù)測精度.表10中基于中國股票市場數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果表明,ACI區(qū)間模型的預(yù)測效果是顯著的.此外,表11中基于上證綜指的ACI和VAR模型在美國次貸金融危機(jī)前后預(yù)測比較檢驗(yàn)結(jié)果同樣驗(yàn)證了ACI區(qū)間模型比VAR模型有較好的樣本外預(yù)測表現(xiàn).最后,本文對不同的估計(jì)樣本窗寬、不同數(shù)據(jù)頻度以及不同模型階數(shù)也進(jìn)行了相應(yīng)的模型預(yù)測比較分析.多種條件的改變均得到類似的結(jié)論,進(jìn)一步證實(shí)了區(qū)間數(shù)據(jù)模型的可靠性.

表10 基于中國股票市場的樣本外區(qū)間預(yù)測比較檢驗(yàn)結(jié)果Table 10 The testing results of out-of-sample interval forecasting comparison based on the Chinese stock market

表11 基于上證綜指的ACI和VAR模型在美國次貸金融危機(jī)前后預(yù)測比較檢驗(yàn)結(jié)果Table 11 The forecasting comparison testing results between ACI and VAR models before and after the U.S.subprime mortgage crisis based on SHCI index

5 結(jié)束語

傳統(tǒng)點(diǎn)值模型的區(qū)間預(yù)測損失了部分可用信息的預(yù)測能力,本文提出了基于金融區(qū)間時(shí)間序列構(gòu)建的區(qū)間預(yù)測模型,并通過實(shí)證檢驗(yàn)了其預(yù)測能力更強(qiáng).基于美國股票市場和中國股票市場數(shù)據(jù)與傳統(tǒng)的點(diǎn)值A(chǔ)R模型、VAR模型以及Na¨?ve模型比較分析結(jié)果顯示,區(qū)間時(shí)間序列預(yù)測模型在區(qū)間高價(jià)和區(qū)間低價(jià)預(yù)測方面有較為明顯的優(yōu)勢,而且該優(yōu)勢是具有顯著性的.可見,區(qū)間時(shí)間序列模型不僅能夠提供區(qū)間高價(jià)和低價(jià)的預(yù)測,而且具有較優(yōu)的預(yù)測表現(xiàn),是金融數(shù)據(jù)預(yù)測的更好選擇.因而,區(qū)間數(shù)據(jù)建模理論與方法有廣泛的應(yīng)用前景,值得進(jìn)一步深入的研究,諸如細(xì)化估計(jì)樣本特征對區(qū)間數(shù)據(jù)模型預(yù)測誤差的影響,完善參數(shù)估計(jì)最優(yōu)核K的選擇理論以及將不同模型的預(yù)測優(yōu)勢進(jìn)行組合等,以此進(jìn)一步提高區(qū)間時(shí)間序列的預(yù)測精度.

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Forecasting research of fnancial time series based on interval data

Yang Wei1,2,Han Ai2,Wang Shouyang2
(1.Institute of Management and Decision,Shanxi University,Taiyuan 030006,China; 2.Academy of Mathematics and Systems Science,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China)

This paper expands the traditional time series models by proposing a new methodology to forecast thefnancialdatabasedontheintervaltimeseriesmodel.Thecomparisonresultsofintervalpredictionaccuracy between the interval model with the traditional point-valued AR model,VAR model,and Naive model indicate that the proposed interval forecasting model has a smaller forecasting error than other models in the intervalbased low and high price forecasting and that this predictive advantage is statistically signifcant.In addition, some stability tests based on different estimating samples,data frequency,and index interval price data in different fnancial markets,prove the reliability of the interval model.This forecasting research of fnancial interval time series not only provides a new perspective for the quantitative analysis of fnancial problems,but also provides more decision reference information for making policies and implementing trading strategies.

interval time series;interval arithmetic;DK-estimator;interval forecasting

F224

A

1000-5781(2016)06-0816-15

10.13383/j.cnki.jse.2016.06.010

楊 威(1982–),男,山西大同人,博士,副教授,研究方向:區(qū)間計(jì)量分析,金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理,Email:yangwei@sxu.edu.cn;

2016-01-07;

2016-02-29.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71501115;71201161)和教育部人文社科基金資助項(xiàng)目(14YJC630163).

*第十二屆金融系統(tǒng)工程與風(fēng)險(xiǎn)管理年會優(yōu)秀論文

韓 艾(1983–),女,北京人,博士,助理研究員,研究方向:計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析,金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理,Email:hanai@amss.ac.cn;

汪壽陽(1958–),男,江蘇鹽城人,博士,研究員,博士生導(dǎo)師,研究方向:金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理,經(jīng)濟(jì)預(yù)測,物流與供應(yīng)鏈管理,Email:sywang@amss.ac.cn.