基于分數階聯合卡爾曼濾波的磷酸鐵鋰電池簡化阻抗譜模型參數在線估計

李曉宇 朱春波 魏 國 逯仁貴

（哈爾濱工業大學電氣工程及自動化學院 哈爾濱 150001）

基于分數階聯合卡爾曼濾波的磷酸鐵鋰電池簡化阻抗譜模型參數在線估計

李曉宇 朱春波 魏 國 逯仁貴

（哈爾濱工業大學電氣工程及自動化學院 哈爾濱 150001）

電池特性建模及模型參數在線估計是電動汽車電池管理系統的關鍵技術，以磷酸鐵鋰電池這一非線性系統為研究對象，以包含分數階元件的簡化電池電化學阻抗譜模型為基礎，建立了該模型的狀態轉移方程和系統觀測方程，運用分數階聯合卡爾曼濾波器（FJKF）對該模型的擴散極化電壓和模型參數進行了在線估計。試驗結果表明，該模型能較好地表征磷酸鐵鋰電池的動態特性，分數階聯合卡爾曼濾波算法在參數估計過程中能夠保持很好的精度，同時該方法對多種測試工況都有較好的適用性，算法估計得到的模型參數值具有較好的穩定性。

磷酸鐵鋰電池 分數階電池模型 電化學阻抗譜 分數階聯合卡爾曼濾波

0 引言

隨著汽車技術的發展，代表新一代節能與環保汽車發展方向的電動汽車開始逐漸被推廣應用[1]，磷酸鐵鋰電池因其高安全性而日益廣泛地應用于電動汽車。動力電池作為電動汽車的能量存儲與供給單元，對其進行有效的監測和管理是電動汽車安全、高效運行的基本保障[2]。目前，動力電池的狀態監測和管理技術主要有電池荷電狀態（State Of Charge, SOC）估計技術[3,4]、峰值功率預測技術[5]（State OfPower, SOP）、電池健康狀態（State Of Health，SOH）估計、壽命預測技術[6]（Remain Useful Life, RUL）、電池老化機理無損分析技術[7]、冷熱管理技術等，為了更好地實現對儲能系統的監測與管理，依據適當的電池模型[8,9]、電池端電壓和負載電流等數據求解電池模型的狀態、參數[10]以及變化情況，進而實現系統的優化配置[11]管理。

常見的電池模型有等效電路模型、電化學反應機理模型及多物理場模型[12]等，等效電路模型形式簡單、計算量小，并且能夠有效地反映電池動態特性，在電池狀態監測和管理領域有著廣泛的應用。典型的等效電路模型有Rint模型、一階RC模型、PNGV模型、二階RC模型及電化學阻抗譜模型等。不同類型動力電池的外特性不盡相同，選用的等效電路模型也多種多樣。其中，一階RC模型計算量小、能夠較好地反映多種電池的動態特性而被廣泛地使用；電化學阻抗譜模型可以更好地反映多種動力電池的動態特性[13]，并且對比一階RC模型，電化學阻抗譜模型中元件的物理意義更加明確，因而該電池模型越來越受到人們的關注。

C. Fleishcher等基于電化學阻抗譜技術建立電池等效電路模型，實現了電池的SOC估計[14]、SOH估計[15,16]以及SOP預測[17]，但是電化學阻抗譜模型也存在計算量大、模型參數難以在線估計等缺點，這在一定程度上制約了電化學阻抗譜模型在電池的狀態監測和管理技術中的應用。

本文依據磷酸鐵鋰電池的電化學阻抗譜測試結果建立了一種等效電路模型，構建了算法所需的狀態方程與觀測方程，利用分數階聯合卡爾曼濾波器[18]（Fractional Joint Kalman Filter，FJKF），將電池模型中的準開路電壓OCVe、歐姆內阻Ro、擴散極化參數XW和擴散極化電壓UW作為估計量，將測得的電池端電壓UL、負載電流IL以及采樣的時間間隔Ts（Ts=1s）作為已知量。通過FJKF算法的迭代更新，實時地估計出所測磷酸鐵鋰電池的準開路電壓、歐姆內阻及擴散極化參數。與傳統的阻抗譜測試方法、一階RC模型及卡爾曼濾波方法相比，本文提出的方法通過迭代求解，無需專用的電化學阻抗譜測試設備，即可在線估計出磷酸鐵鋰電池的電化學阻抗譜分布情況。電池模型的仿真精度優于一階RC模型，模型參數值的穩定性優于傳統的電池參數在線估計算法，該方法可以為動力電池的狀態監測和管理提供可靠的依據。

1 等效電路模型的建立

1.1 動力電池使用工況分析

動力電池使用工況的特征在一定程度上決定了電池模型應有的精細化程度。汽車常見的運行工況大致可以分為兩種：市區工況和城郊工況，對應的典型測試工況有美國《USABC電池測試手冊》中的聯邦城市（FUDS）工況、FTP75市區（FTP75 Urban）工況、FTP75市郊（FTP75 Suburb）工況等。圖1對FTP75市區和市郊工況的車速、仿真得到的負載電流及其頻率特性做了對比。主要仿真參數有：整車質量1 200kg，迎風面積1.97m2以及電池組參數336V/40A·h。

圖1 FTP75 市區工況和市郊工況對比Fig.1 Comparison of the FTP75 urban and suburban vehicle working conditions

圖1c頻譜中，兩種工況的頻率成分均集中在很低的頻率處，而存在的差異表現在FTP75-Urban-a（FTP75市區工況的穩態行車工況部分）的主要頻譜成分比FTP-Suburb分散，FTP-Suburb工況頻譜的最高和次高幅值均出現在基頻附近。

因此，在電池建模時，表征電池中高頻特性的電路元件可以被簡化。由于不同運行工況的低頻頻率成分分布存在差異，因此用于表征電池低頻特性

的電路元件應盡可能準確。

1.2 磷酸鐵鋰電池等效電路分析

建立電池等效電路的主要目的是使用電路元件表征電池電參數的動態變化，獲取電池狀態信息。圖2描繪了磷酸鐵鋰電池的三種等效電路阻抗特性，其中“R-RQ-ZW”（Q為恒相位元件，ZW為韋伯阻抗元件）表示電化學阻抗譜模型，能夠準確反映電池的阻抗譜，“R-RC”表示一階RC模型，“R-2RC”表示二階RC模型。對于本文研究的磷酸鐵鋰動力電池的電化學阻抗譜分布，圖2中區域①對應的頻譜范圍約為1kHz～1Hz，區域②對應的頻譜范圍約為1Hz～0.05Hz，f表示頻譜奈奎斯特圖中測試頻率。區域②右側阻抗對應的測試頻率逐漸減小，該阻抗成分通常被認為是電池擴散特性的外在反映。一階RC模型的阻抗特性只在很小的頻率范圍內與電化學阻抗譜模型相似，二階RC模型也同樣沒有明顯改善。因此，使用低階次的RC模型很難全面地表征電池的低頻阻抗譜特性。然而，電化學阻抗譜模型中的ZW元件因其自身的特性可以較準確地表征電池的低頻阻抗譜特性。

圖2 電池等效電路模型對比Fig.2 Comparison of the battery equivalent circuit models

1.3 簡化電化學阻抗譜模型的描述

通過上節的對比分析可以得出，在對磷酸鐵鋰電池建模時，電化學阻抗譜模型中的較高頻率的阻抗特性（對應圖2中①）可以由常用的RQ并聯電路簡化為純阻性元件R，簡化后得到的簡化電化學阻抗譜等效電路模型如圖3所示。

圖3中，UL、IL分別為電池的端電壓與流經電池的總電流，模型由OCVe、Ro、ZW三個元件構成。其中，OCVe為準開路電壓元件，主要反映電池開路電壓特性。

圖3 簡化的電化學阻抗譜模型Fig.3 A simplified electrochemical impedance spectroscopy model

由于電化學阻抗譜模型簡化了電池化學反應動力學的許多過程，OCVe是電池開路電壓（Open Circuit Voltage, OCV）的近似值，OCVe在數值上包含了OCV以及一部分由于擴散極化產生的過電動勢。

式中，Ro為歐姆內阻特性元件，該參數主要反映電池電化學阻抗譜的中高頻歐姆阻抗特性，參數在數值上約等于高頻歐姆阻抗RΩ、固液界面（Solid Electrolyte Interface, SEI）膜阻抗RSEI、電荷轉移阻抗Rct之和。

從電池的電化學阻抗譜測試數據可知，電池離子擴散特性可近似由0.5階韋伯阻抗來描述[14]。韋伯阻抗定義式為

式中，W為離子擴散系數；ω為角頻率。為了便于阻抗參數的在線估計，本文中取，得到

該等效電路模型的特點是簡化了傳統阻抗譜等效電路模型中的高頻（頻率大于1kHz）和中頻阻抗（頻率大于0.5Hz，且小于1kHz）電路，上述簡化阻抗譜模型可以有效減少模型參數數量，并且適合用于電池的狀態監測和管理。

2 電池模型的參數估計

2.1 狀態方程的建立

根據已建立的包含分數階元件的電池等效電路模型，將構建模型對應的狀態方程與觀測方程。

首先，取IL在放電時為正值，數據采樣周期為Ts=1s，使用Δr作為微分算子，即

2.2 分數階聯合卡爾曼濾波參數估計

J. Sabatier和D. Sierociuk分別提出了兩種分數階元件參數的估計方法，一種是Levenberg-Marquart算法[19]，它是一種非線性最小二乘濾波算法，該算法的特點是根據函數梯度信息，不斷尋找參數最優值的迭代過程。該方法的特點是需要計算待估參量的輸出敏感度系數，然而對于分數階元件，敏感度系數的計算十分復雜，且計算量大，不適合工程應用。另外一種方法是FJKF算法，該方法可以將分數階元件參數作為隱性參量，在不計算參量的輸出敏感度系數情況下即可獲得參數的估計值。該算法的特點是分數階元件參數的估計過程簡單。另外，該算法有效利用了卡爾曼濾波算法的預測-修正的工作特點，使得參數估計過程的跟蹤性能，參數估計精度都優于最小二乘濾波算法。但是該方法也有一定的局限性，當算法應用的模型結構復雜時，會造成濾波器發散。綜合考慮上述兩種方法的優缺點，由于本論文使用的簡化電化學阻抗譜模型形式簡單，模型狀態和參數的估計方法選用FJKF算法。該算法的具體計算過程如下：

（1）初始化。取Qk為噪聲wk的協方差，Rk為噪聲vk的協方差，設定各個參量的初始值。

（2）狀態、參數及協方差矩陣的時間更新。

（3）狀態、參數及協方差矩陣的測量更新。

采用FJKF算法實現電池模型狀態及參數的遞推更新流程如圖4所示。

圖4 分數階聯合卡爾曼濾波算法流程Fig.4 Flow chart of the fractional joint Kalman filter

3 試驗與數據分析

3.1 試驗介紹

本文試驗選用的電池是深圳沃特瑪電池有限公司生產的額定容量為5A·h的LiFePO4/graphite 能量型動力電池，電池單體的上下限截止電壓為3.65V和2.5V，每8個電池單體并聯組成電池模塊，然后105個電池模塊串聯可以組成額定電壓為336V、額定電流為100A（2.5C）的動力電池包。本文的算法驗證試驗主要由Arbin BT2000電池測試系統完成，試驗對象為磷酸鐵鋰電池單體，試驗內容包括FUDS工況試驗、FTP75市區和FTP75市郊混合工況試驗，試驗放電電流的最大值為12.5A（2.5C）。另外，實施了脈沖放電試驗和電化學阻抗譜試驗，用來獲取電池開路電壓的真值和電化學阻抗譜的真值，驗證算法性能。試驗環境為常溫、常濕、標準大氣壓。

3.2 估計值與試驗參考值對比

本文采用的FUDS測試工況最大放電功率為32W，在每個FUDS工況之間加入了5min的靜置工況，兩者循環執行，直至電池放電結束。通過此工況試驗驗證電池模型及參數估計值的準確性。圖5a為數據采集系統得到的電池端電壓UL和負載電流IL。圖5b為FJKF算法計算得到的端電壓的估計誤差，可以看出，FJKF算法的端電壓估計誤差非常小，基本維持在5mV以內，而在工況測試的初期和末期誤差較大，原因可能是模型參數在算法參數跟蹤過程的初期誤差較大所致，工況測試后期誤差較大的原因可能是由電池模型誤差引起的。

圖5 FUDS工況數據及FJKF算法估計誤差Fig.5 FUDS battery terminal voltage and load current data and FJKF estimation error

圖6對采用FJKF算法計算得到的OCV估計值和采用脈沖放電靜置1h得到的OCV參考值作了對比。從圖6中看，OCV估計值基本與OCV參考值吻合，除了在電池電壓從放電平臺1向平臺2過渡的區域，OCV估計值存在較大誤差，此處的最大偏差值為20mV。

圖6 OCV測試結果對比Fig.6 Comparison of open circuit voltage test result

圖7對采用FJKF算法計算得到的阻抗譜估計值與傳統電化學阻抗譜（Electrochemical Impedance Spectroscopy, EIS）測試方法得到的阻抗值進行對比。圖7中，由于算法使用的電池模型對電池阻抗譜的中高頻成分做了簡化，因此，本文的阻抗譜估計值沒有傳統EIS方法測試得到的中高頻信息（圖7中區域1）。低頻阻抗譜成分與傳統EIS方法的結果基本吻合，但阻抗值略小。通過對電化學反應機理的分析，阻抗偏小的原因是電池在經歷大電流充放電時，電池化學反應的動力學過程復雜，由于電極反應不均勻、Butler-Volmer等動力學過程會導致阻抗測試結果與傳統EIS離線測試結果的偏離。但是該阻抗譜的估計值在數值上是對電池動力學過程的真實反應。

圖7 電化學阻抗譜測試結果對比Fig.7 Comparison of EIS test results

3.3 參數估計值穩定性對比

圖8對本文提出的方法與一階RC電池等效電路模型和DEKF方法[20]的結果作了對比，FJKF的估計值（FJKF-OCVe）相對DEKF的估計值（DEKF-OCVe）更加穩定，DEKF-OCVe在數值上偏小于FJKF-OCVe，基于3.2節中的OCV的對比分析，FJKF-OCVe更接近OCV真值，因此DEKF-OCVe必然偏小于OCV真值。而DEKF-OCVe在電池處于靜置的狀態時，會出現升高并且逐漸接近OCV真值的現象，當再次對電池加載波動的電流激勵之后，DEKF-OCVe則又逐漸地偏離OCV真值，該現象的原因是一階RC模型不能準確地反映電池和工況的動態特性。

圖8 算法模型參數估計值值穩定性對比Fig.8 Comparison of the model parameter stability

通過1.1節電動汽車運行工況分析可知，當工況存在波動的電流激勵時，電流激勵的頻率成分非常豐富。（類似圖1中FTP75-Urban-a的頻譜分布情況），當電池處于靜置工況后，電流激勵的主要頻率成分將逐漸向極低頻區域移動，當工況電流恒定為零時，工況的主頻率成分也接近為零。然而，一階RC模型只能在一段頻率范圍內接近于阻抗譜的真值，因此，DEKF算法在自適應參數調整過程中，波動電流工況與靜置工況中對應的模型參數OCVe、Ro、Rp、Tau（RC并聯電路的時間常數）存在差異或波動，而無法得到穩定的參數值。而FJKF計算得到的OCVe、Ro、XW沒有出現明顯的波動現象。由此看出簡化阻抗譜模型可以較準確地反映磷酸鐵鋰電池的動態特性，該模型結合FJKF算法估計得到的參數值穩定性優于一階RC模型及其參數估計方法。

3.4 參數估計工況適應性分析

為了驗證算法的工況適應性，除了FUDS工況測試之外，下文采用FTP75市區和市郊的混合工況測試算法的工況適應性，FTP75市區工況包括冷起動、穩態、熱靜置和熱起動四部分，市郊工況為高速工況。數據系統采集的電池端電壓UL和負載電流IL數據以及算法的計算結果如圖9、圖10所示。

在兩種測試工況下，電池模型參數能夠迅速跟蹤真值，測試工況在熱靜置、熱起動、高速等狀態轉換時，模型參數值沒有出現明顯差異或波動，可以穩定反映電池的動態特性。

圖9 FTP75工況電壓和電流數據Fig.9 FTP75ULandILdata

圖10 FJKF算法狀態和參數估計值Fig.10 State and parameter estimation result based on FJKF

4 結論

根據動力電池使用工況特性分析、磷酸鐵鋰電池的電化學阻抗譜特征與等效電路模型對比，本文建立了磷酸鐵鋰電池的簡化電化學阻抗譜等效電路模型，該模型采用分數階元件——韋伯阻抗元件描述電池的擴散極化特性。

根據已建立的電池簡化電化學阻抗譜模型和Grünwald-Letnikov分數階微分定義，列寫了該電池模型離散化形式的狀態方程和系統觀測方程，采用分數階聯合卡爾曼濾波算法，估算得到磷酸鐵鋰電池的擴散極化電壓、開路電壓、歐姆內阻以及擴散極化參數，這些參數可以較準確地反映電池動態特性。

該方法與一階RC模型和DEKF參數估計方法相比，參數的穩定性高，并且物理意義明確。另外，通過FTP75工況試驗可以看出，該方法具有較好的工況適應性。

本文提出的模型參數估計方法有望用于磷酸鐵鋰動力電池SOC估計、SOP預測、SOH估計等技術中，進而提高電池系統工作過程的安全性、可靠性及有效性。該方法是否能夠適用于其他類型鋰離子動力電池還需要進一步驗證。

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Online Parameter Estimation of a Simplified Impedance Spectroscopy Model Based on the Fractional Joint Kalman Filter for LiFe PO4Battery

Li Xiaoyu Zhu Chunbo Wei Guo Lu Rengui
（School of Electrical Engineering and Automation Harbin Institute of Technology Harbin 150001 China）

Battery modeling and online battery model parameter estimation are the key technologies of EV battery management system. Based on the battery simplified electrochemical impedance spectroscopy which contains a fractional component, this paper establishes the state transition and systematic observation equations for the nonlinear system of LiFePO4secondary battery. Then, the diffusion polarization voltage and model parameters are estimated online with the fractional joint Kalman filter (FJKF). The experimental results show that, this model can reflect the dynamic characteristics very well, and FJKF parameter estimation algorithm can maintain good accuracy. Meanwhile, the method is suitable for a variety of load conditions. The model parameters obtained by this algorithm have good stability.

LiFePO4battery, fractional battery model, electrochemical impedance spectroscopy, fractional joint Kalman filter

TM912

李曉宇 男，1988年生，博士，研究方向為儲能系統綜合測試與管理技術，電池梯級利用技術。

E-mail: xiaoyu070220202@126.com

朱春波 男，1964年生，教授，博士生導師，研究方向為儲能系統綜合測試與管理技術、無線電能傳輸技術。

E-mail: zhuchunbo@hit.edu.cn （通信作者）

國家高技術研究發展計劃（863計劃）（2012AA111003），國家自然科學基金（51277037）和黑龍江省應用技術研究與開發計劃項目（GA13A202）資助。

2014-10-17 改稿日期2015-03-02