板式雙邊永磁電動懸浮電磁力計算

陳 殷張昆侖

（1. 中國中鐵二院工程集團有限責任公司 成都 610031 2. 磁浮技術與磁浮列車教育部重點實驗室 成都 610031）

板式雙邊永磁電動懸浮電磁力計算

陳 殷1,2張昆侖2

（1. 中國中鐵二院工程集團有限責任公司 成都 610031 2. 磁浮技術與磁浮列車教育部重點實驗室 成都 610031）

針對現(xiàn)有電動懸浮模式的缺點，研究了一種由導體板和雙邊Halbach永磁陣列構成的懸浮系統(tǒng)。相比單邊電動懸浮，該系統(tǒng)電磁阻力更小，適用于城市軌道交通。分別采用解析法和有限元法對其產(chǎn)生的電磁力進行計算。首先，建立了空間矢量磁位方程，通過求解該方程可得導體板中渦流分布；其次，研究了空間磁場與渦流的相互作用，得到了電磁力的2D解析表達式，建立了2D和3D有限元模型，計算了不同速度下的電磁力、磁場與渦流，并得出解析法與2D有限元法的平均相對誤差為1.7%；最后，通過與單邊電動懸浮對比，證明了該懸浮模式可有效提高浮阻比，減小阻力損耗。

雙邊永磁電動懸浮 Halbach陣列 解析計算 有限元 電磁場

0 引言

當永磁體與導體板發(fā)生相對運動時，會在導體板中感生渦流，從而產(chǎn)生懸浮力，這就是永磁電動懸浮的基本原理。這種懸浮方式結構簡單，能實現(xiàn)自穩(wěn)定懸浮，不需要控制，可靠性強，因此已成為磁浮研究的熱點。然而傳統(tǒng)的永磁電動懸浮方式在低速運行時電磁阻力大且能耗高，因此不適于城市軌道交通。為了克服這一缺點，美國GA公司提出了一種基于雙邊Halbach陣列的電動懸浮模式[1,2]，該方案能有效降低阻力，但懸浮軌道由平行布置的獨立線圈構成，結構復雜，安全性較低。為了克服這一缺陷，本文研究了板式雙邊永磁電動懸浮，并對其電磁場特性和電磁力進行了分析與計算。

這種懸浮方式由非磁性導體板和布置于上下側的兩組Halbach陣列構成，當上下氣隙不等時，導體板中將產(chǎn)生感應電流，從而產(chǎn)生懸浮力。在研究永磁體與導體板所構成的電磁裝置動態(tài)特性時，最常用的是有限元方法（Finite Element Method, FEM）[3-7]。S. M. Jang研究渦流制動器時，建立了較為完整的有限元模型，并設計了相應的實驗平臺。通常情況下有限元結果準確，但無法反應不同參數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系。采用解析法研究該類問題時，由于電磁場計算的復雜性，通常假設導體板無限厚或無限薄，從而簡化研究問題[8,9]。例如文獻[8]在研究單側電動懸浮時將導體板視為無限薄板，用面電流替代體電流。由于電流趨膚深度與速度關系密切，因此該方法計算結果僅在一個較小的中速區(qū)間與實驗結果吻合。R. F. Post給出了線圈式電動懸浮的等效電路，通過能量轉換理論計算電磁力[10,11]，但板式裝置等效電感不易計算，因此該方法僅適用于獨立線圈式懸浮系統(tǒng)。另外，永磁直線電機具有類似的電磁特性，但永磁電機存在主動控制，次級電流恒定，因此電磁力計算簡單，與本文所研究電磁系統(tǒng)有較大差別[12-14]。

本文在上述研究的基礎上，提出了板式雙邊永磁電動懸浮方案，并對其電磁特性與電磁力進行了研究。建立了空間不同區(qū)域內(nèi)磁矢位的微分方程，提出了電磁力的解析式，并用APDL方式建立了參數(shù)化的有限元2D、3D模型，證明了該解析式的正確性，對電動懸浮的進一步研究具有重要意義。

1 懸浮系統(tǒng)模型

電動懸浮列車橫截面如圖1所示，其中永磁陣列為Halbach陣列，該陣列在上下兩側產(chǎn)生不對稱磁場，可增加懸浮效率，減小磁場對人體的輻射[8]。

圖1 板式雙邊電動懸浮Fig.1 Plate type null double side permanent magnet electrodynamic suspension

雙邊永磁電動懸浮示意圖如圖2所示。通常情況下，為提升懸浮性能，永磁體和導體板橫向?qū)挾龋╓1、W2）遠大于極距（τ），此時可將其簡化為2D模型。圖2中，L為非磁性導體板厚度，h為永磁陣列高度，d1、d2為上、下懸浮間隙。當d1≠d2時，導體板處上、下磁場不對稱，在導體板中感應電流，從而產(chǎn)生電磁力。由楞次效應可知，電磁力方向沿d1（d2）方向，故該系統(tǒng)可實現(xiàn)自穩(wěn)定懸浮。且由圖2可知，上、下兩組永磁陣列在氣隙產(chǎn)生的磁場y分量相互抵消，z分量相互疊加，因此相比單邊懸浮，雙邊懸浮能產(chǎn)生更大浮阻比[15,16]。

圖2 雙邊永磁電動懸浮示意圖Fig.2 Diagrams of double side permanent magnet electrodynamic suspension

2 電磁計算

2.1 解析法計算

單側Halbach永磁陣列空間磁場表示為[17]

其中

式中，Br為永磁體剩磁；m為一對極中包含的模塊數(shù)（圖1所示為4模塊結構，m=4）；s為氣隙中一點到永磁體下表面的距離；p=π/τ。則雙邊永磁陣列氣隙磁場可表示為

式中，C1～C6為待定常數(shù)，由邊界條件式（15）、式（19）和式（20）確定。導體板中磁場為永磁體所產(chǎn)生的靜態(tài)磁場與感生磁場的疊加。故空間中電磁場和渦流可表示為

懸浮力和阻力的計算式為

2.2 有限元法計算

本文使用Ansys建立了雙邊永磁電動懸浮的2D、3D有限元模型，模型參數(shù)見表1。2D建模使用的單元為PLANE53，用實常數(shù)法定義運動速度，考慮到模型中材料均為線性特性，故采用Solve線性求解方法。生成節(jié)點數(shù)114 042，單元數(shù)37 723。為節(jié)省計算空間和時間，采用3D對稱建模，3D有限元模型如圖3所示，使用單元為Solid97，生成節(jié)點數(shù)為143 876，單元數(shù)為126 720。運行速度為200km/h時，導體板中磁感線和渦流分布分別如圖4和圖5所示。

表1 模型參數(shù)Tab.1 Model parameters

3 結果分析

3.1 電磁力

本文分別采用解析模型和有限元模型進行計算，參數(shù)見表1，所得懸浮力與阻力隨速度變化關系如圖6所示。

圖3 3D有限元模型Fig.3 3D finite element model

圖4 200km/h速度時的磁感線分布Fig.4 Distribution of magnetic induction line at speed of 200km/h

圖5 導體板中渦流分布Fig.5 Distribution of eddy current in the conductor plate

圖6 懸浮力與阻力隨速度變化關系Fig.6 Relationship between levitation force and resistance change with velcity

圖7為不同速度下解析法和有限元法計算的相對誤差，由圖可知，解析模型計算結果與2D有限元模型計算結果幾乎一致，兩者最大相對誤差4.1%，平均相對誤差1.7%，其中懸浮力最大相對誤差僅為2.2%。而解析法與3D有限元法計算平均誤差為9.2%。由圖4可知，3D模型中導體板中存在橫向（z方向）電流，這與2D計算的前提假設不符，因此產(chǎn)生誤差。

圖7 解析與有限元法計算相對誤差Fig.7 Relative error between the analytic and finite element methods

本文分別在不同橫向?qū)挾扰c極距比下，計算了3D有限元法與解析法的相對誤差，結果如圖8所示。由圖8可知，隨著橫向?qū)挾扰c極距比增加，兩者相對誤差下降，當橫向?qū)挾扰c極距比為3∶1時，相對誤差約為5.1%。因為當橫向?qū)挾仍黾訒r，橫向端部效應可忽略，導體板中電流橫向分量（z分量）為零，故可將模型簡化為2D計算，在實際應用中，該假設顯然是成立的。

圖8 三維有限元法與解析法的相對誤差隨Lx/τ比值的變化關系Fig.8 Relative error between 3D FEM and expression method vs.Lx/τ

3.2 磁場與渦流

為了進一步對解析模型進行說明，本文對比了解析法和有限元法磁場與渦流的計算結果。其中解析計算式為式（23），有限元結果可由Ansys直接得出。圖9和圖10分別為速度200km/h時，y=0處磁場和導體板不同深度下渦流分布。

圖9 速度200km/h時y=0處磁場Fig.9 Magnetic field with velocity of 200km/h aty=0

圖10 導體板不同深度下渦流分布Fig.10 Eddy current distribution at different depth of conductor plate

如圖9和圖10所示，解析法與有限元計算法在陣列中部有較高的吻合度，而在端部相對誤差較大，這是由于Halbach陣列磁場的正弦假設，忽略了端部效應造成的。

3.3 單邊與雙邊電動懸浮對比

本文所研究的雙邊電動懸浮是為提高單邊電動懸浮浮阻比提出的，為檢驗這一效果，根據(jù)表1中參數(shù)，對兩種懸浮方式不同速度下的浮阻比進行計算。單邊與雙邊懸浮浮阻比對比如圖11所示，單邊模型中沒有下方永磁陣列，故無d2，其余參數(shù)均相同。由圖10可知，雙邊懸浮能極大地提高了浮阻比，從而減小了阻力損耗，因此該系統(tǒng)比傳統(tǒng)懸浮模式更適于城市軌道交通。

4 結論

針對現(xiàn)有電動懸浮存在的缺陷，提出了板式雙邊永磁電動懸浮方案。通過求解空間矢量磁位方程，得到了磁場與渦流分布，進而推導出該懸浮系統(tǒng)電磁力的2D解析計算，并用有限元法證明了所得解析式的正確性。同時對比了相同結構下，單邊與雙邊懸浮的浮阻比，證明了該方案用于城市軌道交通的優(yōu)越性。本文假設合理，推導嚴密，結果準確，對永磁電動懸浮的進一步研究具有重要意義。

圖11 單邊與雙邊懸浮浮阻比對比Fig.11 Comparation of levitation-to-drag ratio in single and double suspension system

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Calculation of Electromagnetic Force of Plate Type Null Double Side Permanent Magnet Electrodynamic Suspension

Chen Yin1,2Zhang Kunlun2
（1. Chinese China Railway Eryuan engineering Refco Group Ltd Chengdu 610031 China 2. Key Laboratory of Magnetic Suspension Technology and Maglev Vehicle Ministry of Education Chengdu 610031 China）

In view of the existing weaknesses, a new suspension system, composed of conducting sheet and double Halbach array, was proposed in this paper. Compared with single Halbach array system, this device could create least drag force, and it is more suitable for urban transportation. Analytic and finite element methods were used to calculate the forces created by this device. First, the differential equations of magnetic vector potentials were built, and accordingly the distribution of eddy current can be deduced. Second, in order to get the expression of forces, the relationship between magnetic field and current was studied. 2D and 3D finite element models were built. The magnetic forces, field and eddy current in different velocities were calculated. The relative error between analytic method and 2D FEM is 1.7%. At last, compared with single Halbach suspension system, the levitation-to-drag ratio highly increased in this model.

Double side permanent magnet electrodynamic suspension, Halbach array, analytic calculation, finite element, electromagnetic field

TM154.1

陳 殷 男，1987年生，博士研究生，研究方向為電磁懸浮。

E-mail: chenyin_swjtu@126.com（通信作者）

張昆侖 男，1964年生，教授，博士生導師，研究方向為電力電子與電力傳動、電磁懸浮與線性驅(qū)動等。

E-mail: zhangkunlun@home.swjtu.edu.cn

中央高校基本科研業(yè)務費（2682013ZT18）和2014年西南交通大學博士研究生創(chuàng)新基金資助項目。

2014-09-10 改稿日期2014-10-28