數學運算 無限奧秘

徐遠

提起數學，相信首先浮現在人們腦海中的，并非是那些高深晦澀的定理，而是計算，

早在幼兒園時，我們便有了算術課，那時只覺得“+”、“一”、“×”、“÷”四個符號仿佛具有魔力，可以將一個數字變換成另一個，于是對于計算學習的熱情也仿佛注入了魔力，樂此不疲，長大后，才知道數學計算遠非四則運算那么簡單，解析幾何、求導、最值……簡簡單單的兩個字，卻是一片廣闊的天地，擁有各種出神入化的技巧和秘訣，

如今走進“運算”這片天地十多年，我也越來越感受到它的博大精深，它與我們的生活息息相關，也是我們進行數學考試的基本能力，接觸越久，了解越深，對于我而言，曾經還是模模糊糊的數學運算，已經有了全新的詮釋與分類。

一、常規計算

什么是“常規”？“常規”就是一種普適性的想法，是所謂的單刀直入、切中主題，它來自于課本上的基礎內容與老師授課所講，相信每一位同學都經過無數題目的洗禮，在這個過程中，我們逐漸形成了一種自然的思維模式，這樣剩下的任務就是沿著它順理成章地算出答案啦，這個過程，就是“常規計算”。

解題過程雖然稍顯復雜，但是算法卻十分簡約，常規算法，就是用一種普遍性的想法干凈利落地起手，算出結果，而正是由于它的常規，所以在掌握它的時候，我們才需要對計算進行記憶、理解、熟化，這樣才可以做到以不變應萬變。

我們開始接觸的常規計算就是加、減、乘、除了，“三三得九、二五一十”的乘法口訣早已爛熟于心，小時候還是咬著筆桿冥思苦想的題目現在可以只是“水題”，這其中原因當然有年歲增長、智力成熟，但最重要的是記憶和理解的深入，古人云“熟能生巧”，一個“熟”字，便道出了常規運算的精髓，記得剛學三角函數時，便為各種拗口的恒等變換公式所頭疼，做題時還要苦記“奇變偶不變、符號看象限”的口訣，但在學完整個版塊，完成專題試卷之后，像sin（α+β）的恒等公式已經信手拈來，遇到題目，常規運算自動浮現，這是來自于我們對公式推導方法層層深入的理解，與解題后對于內容的加深記憶，所以，如果將常規計算比作通向恢宏數學殿堂的大門的話，“熟化”就是那把契合鎖孔的鑰匙。

二、技巧運算

小時候聽到的記憶最深的數學故事，就是高斯計算“1+2+…+100”的故事，尚顯稚嫩的小高斯已經想出來首尾相加的技巧，這位數學巨匠的天賦并非年齡所能掩蓋，技巧，高大上地說，是一種四兩撥千斤的智慧；通俗地說，就是對數學式子進行巧妙分析，構思出一種簡單的方法，從而事半功倍，不必說技巧運算可以鍛煉到我們的思維，開拓更加靈活的思路，單從功利的角度看，精妙的想法可以縮短運算時間，讓我們在緊張的考試中占得先機。

但是，根據“難度守恒定律”，運算的簡便，意味著技巧思路難以發現，那么，怎樣才能找到運算的技巧呢？在《庖丁解牛》故事中，庖丁的高超之處就是在于他在宰牛時能循著牛的骨架和紋理下刀，從而達到游刃有余的境界，同樣，想要在學習中“游刃有余”，也要能學會分析式子結構。

如果說常規算法是自動浮現的話，技巧運算就是“蹦”出來的，代表著一種靈活與精妙，結構分析需要的是一種感覺，就像遇到過圓錐曲線焦點的線段長問題，就想到用極坐標，遇到計算最值時兩個分式分母和為定值，就想到用柯西不等式，這種感覺，依靠于一種靈感與思維的跳脫，技巧不是先天具有的，也不是能刻意鍛煉出來的，只有思維足夠靈動，對于數學足夠的熱愛，才能掌握技巧運算的真諦。

但是數學無限，技巧也無限，不可能將其窮盡，真正優秀的算法，不是死記技巧，蒙頭亂撞，而是選擇最合情合理的運算。

運用虛數解組合題看似不可思議，但仔細分析就會發現這種想法不僅不是空穴來風，反而有理有據，令人驚嘆，這就是合理的魅力，

解題方法無窮無盡，而在我看來，合理運算的精髓就在于化未知為已知的思想，將陌生的式子與熟悉的知識比較結合，找出共同點，就如同我們最為熟悉的換元法，對目標的合理分析后，再陌生的式子，在抓住了它的本質之后，也可以向已知靠攏，變量的轉化帶來更加簡單、更加熟悉的式子，演繹出合理思想的精彩，而上面的組合數求和，也是從已知的知識（組合數的偶數項的和）出發，找到與陌生目標（組合數的第4k+2項的和）之間的聯系，從而獲得清晰的思路，從一開始的茫無頭緒，變得胸有成竹，化未知為已知，是將運算歸于合理的最精妙的一筆。

“天下同歸而殊途，一致而百慮，”從一個角度看，所有的運算都是為了得出答案，而學習數學最有挑戰、最為趣味的一部分，就是找到合理的那種方式，在已知中開拓，在未知中追尋，這就是數學運算的奧秘，讓我們關注運算技巧，熟化常規運算，到達合理運算的境界。