三角函數學習的幾點建議

田煒歌

吉林省長春市第七中學

三角函數學習的幾點建議

田煒歌

吉林省長春市第七中學

三角函數是高中數學的重要組成模塊，在高考中幾乎是決定成敗的知識點，在學生未來的大學學習中也是理解周期性的基礎。但是，很多同學們在學習三角函數部分知識時，常常感覺吃力。這是為什么呢？

三角函數在知識考察難度上看，相比導數和圓錐曲線的考察難度并不是難點，一般都是小題或第一大題。但是從知識范圍上看，三角函數知識在高中教材中占的筆墨很多——共有70頁，而與三角函數密切相關的三角變換、解三角形模塊，在高考復習中往往都集中起來與三角函數知識一起復習，所占篇幅就更多了，這就說明三角函數知識所包含的小知識點多而雜。學生在復習這部分知識時，往往容易混淆基本概念，用錯公式，理解失誤。甚至很多同學認為只要把公式背下來，能不能答對都靠運氣。

數學是理性的，數學方法作為解決問題基本方法已經滲透到生活中的方方面面。只靠蒙猜來解題顯然是違背數學思維的，那么，怎么能學好三角函數知識在高考中致勝呢？以下的幾點經驗與廣大師生分享。

一、透徹理解三角函數相關概念

數學中的概念都是從實際中抽象而來，并且應用于解決更復雜的問題。在三角函數部分，需要學習兩個基本概念：一個是角的概念推廣，一個是三角函數的重新定義。這兩者的學習都可以比照初中知識分析理解。讓同學們分析其中的變化，來感受新定義的不同之處。

角的定義的變化就是在為三角函數最具代表的性質——周期性做鋪墊。同學們在解答三角函數的題型時，常常忘記三角函數的周期性而導致出錯，如果在角的推廣學習是就能理解記憶周期性，那么，在高考中將會避免這樣的失誤。

在三角函數的定義中，初中時用直角三角形定義，高中是用單位圓與角的終邊的交點坐標來定義的，在這個定義中，高中三角函數知識的復雜性就體現的很明顯。在求任意角的三角函數值時，往往因為概念理解不到位，使解題過程復雜化。其實在這一部分學習時，有一個常用概念往往被同學們忽視——三角函數線。三角函數線定義在教材中位置不顯，但在理解三角函數上的作用與三角函數定義是一樣的，而且，由于三角函數線具有圖形特征，在解決問題時更容易被使用。例如，誘導公式的發現和三角函數圖象與性質的發現都是由三角函數線來解決的。所以在學習高中三角函數定義時，筆者認為同學們應該同時理解兩個定義——交點坐標定義與三角函數線定義。

二、學會使用合適的三角公式解決三角問題

在三角部分的公式很多——同角三角函數基本關系、六組誘導公式、兩角和差公式、二倍角公式以及正（余）弦定理，在解題中還常用一些導出的公式，例如：半角公式、輔助角公式。常常讓同學們頭昏眼花，不知何去何從。這里給大家提供一個思路，首先公式不是背的越多越好，要抓住每一個公式是怎么來的，同時要知道公式是做什么用的；其次使用公式之前要觀察所求與已知的聯系。

同角三角函數公式應用時，所求角與已知角是同一個角，在現階段只研究一個角的正弦值、余弦值、正切值之間的關系。所涉及的常見題型為：第一已知正弦值、余弦值、正切值中的一個值求其他的值；第二將給定的包含多個三角函數值的式子化簡求值。公式的作用主要就是求值和化簡。

同樣的，六組誘導公式、兩角和差公式、二倍角公式的作用也是求值和化簡，但是區別在于所求角與已知角的關系：所求角與已知角的差（和）是90°或180°，常常使用誘導公式，所求角與已知角的和（差）是特殊角的題常常使用和差公式，所求角與已知角有二倍關系常常使用二倍角公式。這其中最常用的是和差公式。半角公式是二倍角公式的逆用，輔助角公式是和差公式的逆用。

最后是正余弦定理，其作用在于轉化邊角關系，在解題時，將角都化邊或者邊都化角是基本思想。此外，要找清楚什么樣的三角形可以解，什么條件的三角形會出現多個解，這些最基本方法。在教材中都有類似的例題。不要把精力放在復雜題型上，應該多關注基本方法，不要做很多題，而是要觀察題與題之間的聯系，觀察相同點，找出不同的試題中不變的東西，培養學生的數學思想。

三、從周期性上理解三角函數的圖象與性質的變化

三角函數最有代表的性質就是周期性，如果將三角函數的圖像與性質列成表格，會占很大篇幅，多數教輔書籍上都會這樣去列表，但同學們在記憶使用時，總是會感覺混亂，每一個小表格中寫的公式都是很相似的一長串，死記硬背很容易出錯，單調區間、對稱軸等等性質的書寫方式也不唯一。所以，在學習或復習圖象與性質時，應重點關注它的周期性，不要只看[0,2π]一個周期區間的圖象，要結合前一個或后一個周期區間的圖象，來觀察記憶性質。要知道單調區間、最值、對稱軸、對稱中心等，都是周期性出現的。

四、融會貫通提倡一題多解

一題多解是提高興趣與數學能力的重要途徑，在數學的學習中，每個人都有其與眾不同的思維，在高中數學中，很多知識模塊都可以和三角函數知識有聯系，例如不等式、平面向量、解析幾何等。三角函數所具有的靈活性會使問題得到多種解答，嘗試對一個試題找到多種解法，比多做試題只死記硬背一種解法要有效的多。

以上是筆者對三角知識學習的一些建議，希望對同學們的學習和教師們的講授有所幫助。