生長數學下“二次根式”單元第一課的教學設計

☉江蘇南京市寧海中學分校卜以樓

生長數學下“二次根式”單元第一課的教學設計

☉江蘇南京市寧海中學分校卜以樓

文1、2分別與大家交流了生長數學下“初中數學第一課”和“接班第一課”教學設計的問題.本文以“二次根式”為例，和大家談談生長數學下單元第一課（或稱“章首課”）的教學問題.一方面，為單元第一課教學提供一個課例研究的范式；另一方面，讓本文與文1、2形成生長數學下不同內容“首課”教學的基本理念和基本結構，以便積累生長數學下的“首課”教學活動的經驗.

一、基于教學內容的價值判斷

單元第一課和初中第一課、接班第一課一樣，首要討論的問題就是基于什么樣的價值判斷來選擇教學活動.就“二次根式”這一教學內容，筆者認為教學價值主要有以下三個方面.

1.用整體統領的觀點來搭建結構.

整體指事物的全局和發(fā)展的全過程，是事物發(fā)展的統領部分，起主導作用.在數學學習中，它是數學中始終貫徹的基本觀點、基本策略、基本套路.在數量上看它是“一”，這個“一”就是一脈相承、一以貫之、一如既往的思維方法.如果能靈活地運用整體的觀點去理解、去學習、去探究數學知識，就會有一種居高臨下、一覽眾山小的感覺與效果.

作為“二次根式”的章首課，用整體統領的觀點來搭建本章的知識結構，應是價值定位的首要選擇.整體統領的思想就是要求從數學內部結構上、從學習“式”這個知識模塊上，對二次根式進行宏觀上的分析、探究、理解與把握.從這個意義上說，二次根式章首課要研究與整式、分式相“同化”的基本知識，即要用整體的觀點、聯系的思想、統領的方法來研究二次根式的概念、性質、運算和應用這幾個方面的內容.當然，由于二次根式又不完全等同于已經學習過的整式和分式，它應有其內在的特有的屬性，所以還要用“順應”的思想來研究二次根式的特性，這就是最簡二次根式的涵義.

2.用類比聯想的策略來滿足生長.

類比聯想是發(fā)現問題的一種思維方式.它起源于看到一種事物想到另一種和它相似的東西.通過類比聯想活動來啟迪思維，可以幫助學生進行探究、分析、總結、歸納，有利于提高學生發(fā)現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.

作為“二次根式”的章首課，用類比聯想的策略來滿足知識的生長發(fā)展，是內生生長的必然選擇.這是因為，學生在學習這一內容時，已經學習過代數式、整式、分式這些內容，明晰了“式”系統的基本結構，知道了“式”系統中部分成員的共性與特性，掌握了研究“式”系統的基本方法，積累了研究“式”系統成員的基本經驗.所以說，從知識生長、生命成長的角度來講，生長的內因與外因皆已俱備.這里的內因是指知識的縱向生長，即從整式生長到分式，再從分式生長至二次根式，以及學生探究新知識、分析新問題、研究新結論的渴望.這里的外因是指知識的橫向發(fā)展，即學生在初一、初二積累的研究“式”的基本知識、基本數學活動經驗，特別是類比思維的活動經驗，以及教師將要設計的教學活動“思維場”.這兩種因素碰撞到一起，立即會形成勢不可擋的內生生長強大力量.為此，教學中要借勢而發(fā)、順勢而為、因勢利導，抓住這種不可多得的生長資源，發(fā)揮數學教學的最大效能，彰顯類比思維的教育價值，促進學生的思維向高水平、高層次、高質量方向發(fā)展.

3.用自主建構的方法來積累經驗.

建構主義認為，學習就是建構內在心理表征的過程.學習者并不是把知識從外界搬到記憶中，而是以已有的經驗為基礎，通過與外界的相互作用來建構新的理解.在這個過程中，由于新認知的介入，對已有知識的認識會發(fā)生調整和改變，所以說，學習并不是簡單的信息積累，它包含由于新舊經驗的沖突而引發(fā)的觀念轉變和結構重組，學習過程是新舊經驗反復的、雙向的相互作用過程.因此，教學時不能無視學生的這些經驗，而是要把學生原有的知識經驗作為新知識的生長源、生長點、生長力，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗.

作為“二次根式”的章首課，用自主建構的方法來進一步積累學習經驗，是學生學會學習的根本選擇.這就是說，要讓這節(jié)課的學習活動成為學習二次根式這一內容的統帥、固化和程序，為今后再探究“式”這個大家庭中的其他“式”成員，再提供些必備的思想方法和學習經驗，再豐富一下研究“式”的學習范式.

二、基于價值判斷的活動設計

基于上述價值判斷，可設計下列生長鏈來建構二次根式的生長路徑和學習活動.

活動一：概念的建構.

問題1：學校決定將文正樓與文行之間的一塊長為a m、寬為b m的矩形綠地進行改造.請你回答下列問題：

（1）這塊綠地的周長是多少？這塊綠地的面積是多少？

（2）如果這次改造總費用為c元，那么每平方米改造的費用是多少元？

（3）如果在這個矩形綠地中規(guī)劃面積為2m2、8m2、S m2和9S m2的正方形種植新品種花木，那么這4個正方形的邊長各為多少？

（4）如果在這個矩形綠地中還要規(guī)劃一個邊長為2m的正方形，則這個正方形的對角線為多少？

設計意圖：通過學生熟悉的、簡明的、能揭示二次根式本質的問題情境，讓學生列出代數式，為下面研究這些“式結構”的數學本質作好鋪墊.

有不少教科書上有這樣的情境：面積為S m2的圓的半徑是多少？筆者在這里不建議使用.因為此時這個圓的半徑為，這個式結構可能會干擾學生對二次根式的認識.對于式子，會有一部分學生根據分母中是否含字母（事實上π不是字母）和是否含根號這兩個標準對上述“問題1”中列出的代數式進行分類.這樣對建構二次根式的概念造成分類標準上的錯覺，效果可能會適得其反.所以在建立概念的起始階段，要關注概念的本質，不要讓非形式化的東西掩蓋了概念的本質.

生成預設：如果學生表達有困難，可復習平方根、算術平方根的概念，讓學生會正確地表達“問題1”中的問題.

問題2：請嘗試對上述各問題得到的數學式子進行

設計意圖：讓學生嘗試分類，就是讓學生在分類中碰出思維的火花，能夠看清二次根式概念的數學本質.

生成預設：對于，學生可能把它放在單項式中，這是有道理的.因為它們說到底就是一個具體的無理數，根據一個數、單獨的字母是單項式的規(guī)定，可認定它們是單項式.但是，像這種類型的式子，顯然不屬單項式，但它們又與“長”得相同，為了研究方便，我們可以把這種類型的式子單獨給予一個名稱，暫且稱之為二次根式.

問題3：誰能給二次根式下個定義？

設計意圖：讓學生提取用“樣子+條件”的方法，對二次根式下定義，再次增強這種下定義通法的價值.

生成預設：如果學生想不到用“樣子+條件”的方法對二次根式下定義，可啟發(fā)學生：面對一個想說又說不清的概念，我們應該怎么辦？學生當然會想到用“舉例子”的方法.例子舉不完怎么辦？此時學生會想到用“樣子+條件”的方法來下定義.如果學生想不到要說明二次根式具備的條件，可舉出反例讓學生在樣子后面增加必要的條件.

活動二：性質的探究.

問題4：好，今天我們在“式”這個大家庭中又結識了二次根式這個新朋友，對于這個新朋友，我們要從哪些方面對它進行進一步的研究呢？

設計意圖：讓學生進一步明晰研究一個具體“式子”的基本套路.

生成預設：如果學生想不到研究具體式子的基本套路，可引導學生回憶在學習分式的過程中是怎樣研究分式的，以此為類比源、生長點，讓學生的視角定位到本節(jié)課要研究二次根式的“概念—性質—運算—應用”套路上來.

問題5：那么二次根式有哪些基本性質呢？

設計意圖：讓學生進一步明晰并運用從定義出發(fā)來研究基本性質的方法，探究想要得到的新結論.

生成預設：如果學生不會從定義法去研究基本性質，一是用舉例歸納的方法得到（）2=a（a≥0）和= |a|；二是啟發(fā)學生回憶在幾何學習過程中是如何研究基本性質的，讓學生想到從定義出發(fā)來研究基本性質.回歸定義，應該有：若x2=a，則有a≥0，并且x=±，所以有（）2=a（a≥0）；或者可以從“式結構”上來做文章，從“式結構”（）2上看，是對a先開平方再平方，因此，可從平方根的源頭即定義上來探究想要得到的東西；當然，也可以由（）2這個“式結構”想到“形結構”，這個“形結構”就應該是面積為a的正方形的邊長定為，而邊長為的正方形的面積也定為a，所以有（）2=a（a≥0）.當學生得到上述結論時，可追問：既然（）2=a（a≥0），那么=？從而得到二次根式的另一個性質=|a|.如果要追究為什么，那么完全可以依照上述方法進行探究.

活動三：運算的把握.

問題6：我們之所以研究性質，是為了更好地把握它的運算，那么你打算怎樣研究二次根式的運算呢？

設計意圖：讓學生將研究分式運算的經驗遷移過來，就是先研究乘除運算，再研究加減運算.

生成預設：如果學生要先研究加減再研究乘除，一是可以按照其思路進行研究；二是讓學生回憶分式的運算是按什么順序研究的，把學生的思維拉回到先研究乘除再研究加減運算上來.

問題7：那么如何研究二次根式的乘除運算呢？

設計意圖：創(chuàng)設這樣的思維場景，就是讓學生用舉例歸納的方法，得到二次根式乘除的運算性質.

生成預設：如果學生不知道如何下手解決這個問題，則可追問學生：研究二次根式的乘除運算，就是要研究一個什么樣的東西？逼學生得到就是要研究“·=？”和“=？”.明確了要研究什么，學生當然會想到用猜想、賦值、嘗試、歸納這種從特殊到一般認識事物的規(guī)律探究本問題了.

當學生會進行二次根式的乘除運算時，可追問學生：什么形式的結果可作為二次根式的運算結果呢？在此教師要作為探究的主體，領著學生得到最簡二次根式的條件.在這個問題上，章首課可不必過多的探究，只要根據二次根式乘除的結果進行指導什么是最簡結果，從而得到最簡的二次根式條件即可.在以后具體的新授課中，可適當進行探究分析.

問題8：研究了二次根式的乘除運算，接下來我們就來研究其加減，那么如何來研究二次根式的加減運算呢？

設計意圖：讓學生將合并同類項的法則遷移到二次根式的加減運算上來，讓學生嘗到運用舊知識解決新問題的甜頭.

生成預設：如果學生得到，可追問學生：這個結果正確嗎？逼學生用估算的方法進行檢驗.如果不正確，那么什么樣的二次根式可以相加減呢？讓學生進行猜想、賦值、嘗試、歸納，得到二次根式加減的運算性質.

活動四：應用的感受.

問題9：兩個正方形的面積分別為S m2、9S m2，求這兩個正方形的邊長的和.

設計意圖：通過實際問題，讓學生進一步感受學習二次根式的必要性，以及學習二次根式的價值.

生成預設：如果學生解答有困難，則首先啟發(fā)學生將問題數學化成二次根式，再運用二次根式的知識解決.

三、基于活動設計的教學反思

教學的目的不是為了傳播知識，而是把知識作為訓練思維的載體，在放飛思維的過程中讓學生得到又一次的生長.上述活動設計對章首課的教學至少有三點啟示.

1.重傳承，更重生長.

章首課，對于學生來說一定是一個新的學習內容，面臨的也是一個新的挑戰(zhàn).但是，這個挑戰(zhàn)一定是建立在學生已有知識基礎和學習經驗之上的.從這個意義上說，這是個傳承思維的過程.但是，教學中不僅要注意運用最近發(fā)展區(qū)理論，讓學生自主傳承、自主探究、自主發(fā)現，而且更要讓學生在傳承過程中，得到知識生長、經驗生長、生命的成長.因此，從這個意義上說，教學活動又必須要讓學生“在知識的活的身體里要有情感的血液在暢流”，以促進學生感悟生命的力量.只有讓學生在思維活動中生命得到拔節(jié)提升，學生的生命才能得到自然生長，教學的最終目的才能落地生根.

2.重技能，更重策略.

如果說，新授課既要注意探究程序性知識，又要注意探究策略性知識，那么，章首課就更要重視策略性知識的探究.例如，本課例設計中一開始通過問題情境，讓學生體悟到研究二次根式的必要性，然后根據學生的學習經驗直入主題，研究二次根式的概念、性質、計算及應用，這是探究一個新知的大策略，在這個大策略下，又產生了如何研究二次根式的概念、性質、計算、應用這樣一些小的策略.這些策略的研究一是基本經驗，二是基于創(chuàng)新，又重在創(chuàng)新，而不是將學習的重點放在碎片化的技能訓練上面，這是由章首課的地位與作用所決定的.

3.重內容，更重結構.

從某種意義上說，重內容就是學什么，重結構就是怎么學.教學活動的根本就是讓學生學會學習，也就是讓學生知道怎么學，所以說章首課更要在知識結構性上做好文章.這種結構上的東西，是由學生的悟性決定的.為此，要讓學生找到知識的源頭，也就是通常所說的知識的生長點，進而形成生長節(jié)，最終長成知識樹.本課例中讓學生借鑒分式的學習過程與經驗，這就讓學生找到了二次根式的生長源；研究二次根式的概念、性質、計算及應用等知識環(huán)節(jié)，就是讓學生在生長點中逐步形成生長節(jié)；通過對上述知識的逐一探究，回頭來看，便自然形成了知識樹.顯然，這是個由內往外的自然迸發(fā)的過程，具備了生長的本質特征，它定會為學生生命進階注入新的能量，這也是生長數學所追求的教學意蘊.

1.卜以樓.“初中第一課”的教學設計［J］.中學數學（下），2016（11）.

2.卜以樓.“接班第一課”的教學設計［J］.中學數學（下），2015（12）.

3.蘇霍姆林斯基.給教師的建議［M］.北京：科學教育出版社，2000.