理解定義關聯概念，解后反思走向教學
——一道新定義考題的思路突破與教學思考

☉河南省鄲城縣教研室 于杰

☉河南省鄲城縣第二高級中學

理解定義關聯概念，解后反思走向教學
——一道新定義考題的思路突破與教學思考

☉河南省鄲城縣教研室 于杰

☉河南省鄲城縣第二高級中學

當前流行的函數綜合題多是以常見的函數圖像（直線、曲線、拋物線）為背景，融入幾何基本圖形進行一些演算或推證，難點往往在幾何構造，與函數的性質或本質甚至沒有直接相關性，使得不少命題研究者將上述試題歸到所謂“偽坐標系”“偽函數題”.本文結合一道北京海淀區中考模考的新定義題，講解思路突破，反思問題結構，并跟進教學思考，供研討.為p時，其函數值等于p，則稱p為這個函數的不變值.在函數存在不變值時，該函數的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數的不變長度.特別地，當函數只有一個不變值時，其不變長度q為0.例如，圖1中的函數有0、1兩個不變值，其不變長度q等于1.

圖1

圖2

一、考題及思路突破

考題：（2016年北京海淀區中考二模，第29題）對于某一函數給出如下定義：若存在實數p，當其自變量的值

（2）已知函數y=2x2-bx.

①若其不變長度為0，求b的值；

②若1≤b≤3，求其不變長度q的取值范圍；

（3）記函數y=x2-2x（x≥m）的圖像為G1，將G1沿直線x=m翻折后得到的函數圖像記為G2.函數G的圖像由G1和G2兩部分組成，若其不變長度q滿足0≤q≤3，分析m的取值范圍.

理解新定義：在開始求解具體問題時，我們先對所謂的新定義進行直觀理解，構造圖2分析，作出直線y=x，與原函數圖像相交于點O（0，0）、A（1，1）.這樣新定義提及的所謂不變長度就是兩點縱坐標的差|yA-yO|=1-0=1.我們用初中生熟悉的數學符號語言將問題重新表述之后，有利于后面思路的講解與突破.

思路突破：

（1）有了上面的準備工作，我們就可構造出圖3~圖5直觀理解，直接看出答案：函數y=x-1沒有不變值；函數有-1和1兩個不變值，其不變長度為2；函數y=x2有0和1兩個不變值，其不變長度為1.

圖3

圖4

當然，我們也可“離開”圖形，從“數”的角度算出答案.比如，函數y= x-1與直線y=x聯立得方程組該方程組無解；類似的，聯立得方程組可得交點（1，1）或（-1，

圖5

（2）①函數y=2x2-bx的不變長度為0，就是將其與直線y=x聯立后的方程組有兩組相等的實數解,即一元二次方程2x2-bx=x有兩個相等的實數根，根據Δ= 0可解出b=-1.此時拋物線y=2x2+x與直線y=x有且只有一個公共點（0，0），符合不變長度為0的要求.

由1≤b≤3，得1≤x2≤2.不變長度為x2-x1，代入x2的極值,可分析出y=2x2-bx的不變長度q的取值范圍為1≤q≤2.

（3）首先想清楚拋物線y=x2-2x與直線y=x交于點O（0，0）及A（3，3），這樣我們就可依次構造出圖6~9的可能情況，注意圖象的虛像與實數是由自變量x≥m及對稱（沿直線x=m翻折）后的實像與虛像.

圖6

圖7

在圖6中，當m=3時，可見到此時新圖像G（兩個實像分支組合而成）與直線y=x恰交于一點A（3，3），此時不變長度q為0.符合要求（0≤q≤3）.想象將直線x=m向右平移（m＞3），則新圖像G與直線y=x就沒有交點了，說明m＞3時不合題意.

接下來將直線x=m向左平移，如圖7所示，1≤m＜3時，新圖像G與y=x交于點A（3，3），還有另一點B，在線段AO上，顯然此時不變長度q滿足0≤q≤3，故1≤m≤3符合要求.

接著將直線x=m向左平移，0≤m≤1時，如圖8，新圖像G與y=x交于點A（3，3），還有另一點C，在AO的延長線上，此時q＞3，與0≤q≤3矛盾.

圖8

圖9

繼續將直線x=m向左平移，如圖9，可以想見翻折后的拋物線與直線y=x有一次相切的情況（圖9中點D），此時設該拋物線的解析式為y=（x-n）2-1，易得n=-，即此時y=（x+）2-1，根據對稱性，此時m=-；就是說，此時不變長度q對應著A、D兩點的縱坐標之差，不符合0≤q≤3的要求.而當直線x=m繼續向左平移時，新圖像G左側部分與直線y=x就沒有交點了，這樣不變長度q又回到A、O兩點之間的縱坐標之差，符合要求.則m＜-符合題意.

解后反思：這道新定義考題除了表述新定義時附了一個簡單的圖形，下設小問都沒有給出圖像，但是我們卻可以根據題意構造出豐富的圖像輔助理解，體現了以形助數的解法特點，特別是最后一問，需要結合直線x= m的位置，想清楚虛像、實像，并理解實像與直線y=x的交點的意義，這樣考查思考、函數圖像性質的考題較好地達到了“多想少算”的命題風格，值得點贊.

二、關于新定義考題的教學思考

在近幾年北京中考試題的引領下，北京各區七、八、九年級的把關題都積極跟進，出現了大量優秀的新定義考題，引領了教學方向，重在啟發學生思考，學會思維，理解數學概念的本質，以下再圍繞新定義考題的教學，提出一些初步的思考.

1.學會閱讀并準確理解新定義是成功解題的起點.

新定義考題開始的幾段話或幾句話都是闡釋新定義的內容，并會輔以必要的例子、圖形來解釋新定義，就像數學上很多描述性定義一樣（比如，形如……的式子稱為分式）.在解答新定義考題時，不要急著看后續設問，而應該在閱讀理解新定義語句、字符時下足功夫，做到讀懂、讀通、讀順新定義中的每一個字句、每一個字符、圖形上的每個線條的特點、字母的特點、位置的特點等.我們見到不少同學不能順暢解答新定義考題，往往是對總題干中的新定義沒有能準確理解所致.

2.善于將新定義相關概念與所學概念關聯、對比.

新定義考題常常是初中階段所學的一些概念穿靴戴帽、喬裝改扮而來，在閱讀理解新定義后，要結合題干中所舉的例子、圖形認真分析，發現所謂新定義與此前初中數學哪一個數學概念、數學性質有關聯，關聯在何處.比如，上面考題新定義的本質就與一次函數中正比例函數y=x相一致，只是包裝了一個說法而已，接下來對于不同形式的函數，只要將其與y=x聯立成方程組解出它的解即可繼續分析.

3.解函數類新定義題要注重“數形結合”的分析策略.

本文述及的考題是一道函數類新定義題，下設幾個小問雖然沒有給定圖像，但是解題時心中要有圖形意識，我們在上文中構造出多個圖形就是想傳遞數形結合分析策略，因為直觀的圖像理解有助于對問題的思考，也是符合函數本質的（函數的關系就是溝通數形關系）.特別是考題的最后一問，我們構造了圖6~圖9，試圖從動態的角度直觀發現圖像G與直線y=x的交點情況，最容易忽略的就是圖9中有一次相切的情形，而這又對應著一元二次方程根的判別式為0.為了幫助學生更好地從數形結合的角度分析最后一問，教學時可設計出如下的一些提示問題：

問題1：當m=1時，畫出函數G的圖象；

問題2：當m=3時，指出函數G的圖像與直線y=x的交點坐標；

問題3：當m=-1時，指出函數G的不變長度q；

問題4：函數G的不變長度q滿足0≤q≤3，分析m的取值范圍.

四、寫在后面

近年來在《中學數學（下）》見到一些新定義考題的教學研討文章，多數集中在解法探討，深入到如何開展新定義考題的教學設計，讓更多優秀的、抽象的新定義考題能以更生動、形象的面貌呈現在課堂上，我們要做的研究還很多，本文只是由一道新定義考題述及一些初步思考，做得還不夠，期待今后繼續努力，研發新定義考題的“一題一課”.

1.甘曉云.以退為進：挑戰新定義考題的有效策略——北京海淀九上期末卷第29題解析與賞析［J］.中學數學（下），2017（2）.

2.許燕.從解題賞析走向教學研究—以2016年無錫卷第27題為例［J］.中學數學（下），2016（10）.

3.秦怡.回到概念，讓解題念頭“自然生成”——從一道幾何難題的思路突破說起［J］.中學數學（下），2017（2）.

4.鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.