注重邏輯推理關注思維發展
——由一道中考題的錯解分析與多解思路引發的思考

☉浙江湖州市南潯區教育教學研究和培訓中心姜曉翔

注重邏輯推理關注思維發展
——由一道中考題的錯解分析與多解思路引發的思考

☉浙江湖州市南潯區教育教學研究和培訓中心姜曉翔

中考試卷中的簡單基礎題能暴露學生的典型錯誤及多解思路，對今后的教學必然會產生一定的導向作用.基于此，筆者對2016年湖州市中考第20題進行研究，并在集中網評閱卷時特地進行了關注，現整理成文，與同仁分享.

一、原題呈現

（2016年湖州市第20題）如圖1，已知四邊形ABCD內接于圓O，連接BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°.

（1）求證：BD=CD；

（2）若圓O的半徑為3，求B（C的長.

圖1

二、試題總體評析

該題涉及的主要知識點有：圓內接四邊形的性質、圓心角定理、圓周角定理、弧長的計算等.主要涉及的基本方法能力有：線段、弧、圓周角之間相等關系的轉化，弧長公式的運用等，考查學生對基礎幾何問題的邏輯推理、規范書寫及簡單計算等基礎能力.本題雖為一道基礎簡單的幾何證明計算題，涉及的知識點也并不繁雜，但是從最后的閱卷報告發現，滿分為8分的試題，實際平均得分才5.9分，得分率僅為0.74.由此可見，學生對于這類幾何邏輯推理題的掌握并不理想，部分學生的書寫過程缺乏規范性，與此同時，也涌現出了不同的解題思路，大致情況如下所示.

三、典型錯誤及其分析

該題的前兩小題要求學生寫出完整的解答過程，考查學生幾何推理表達的能力.筆者將主要典型錯誤歸類如下.

1.第（1）小題的典型錯誤及分析.

錯解一：把∠ADC直接當直角用，然后證出結論BD=CD.

錯解二：直接認為∠ABC=∠BAD=105°，然后證出結論BD=CD.

【分析】這兩種錯解主要原因是學生未審清題意，盲目地直觀判斷造成的.題目的條件并未指出∠ADC是直角或∠ABC=∠BAD=105°，學生卻根據圖形做出了直觀的錯誤判斷，由這些錯誤判斷推理得出結論.相當于將原來條件一般化變為了特殊化，這是幾何推理中較為容易犯的錯誤“直觀看，缺推理”.

錯解三：作DE⊥BC，經過點O.如圖2，由垂徑定理，得BE=CE，則BD=CD.

錯解四：連接OB、OC、OD，直接得到∠ODB=∠ODC=15°，然后得到△DOB?△DOC；則BD=CD.

【分析】錯解三和錯解四均屬于

“輔助線滿足過多條件”，其本質為“造條件”.錯解三中作DE⊥BC，一定經過點O嗎？即使經過也需證明.錯解四中連接OB、OC、OD后，就有∠ODB=∠ODC=15°嗎？就算有，也需要證明.在幾何推理證明時，這樣的典型錯誤屬于“造條件，缺推理”.

2.第（2）小題的典型錯誤及分析.

錯解一：把∠CDB=30°直接當成圓心角代入弧長公式算出錯誤結果.

錯解二：弧長公式記錯，或和扇形面積公式混淆，從而得出一個錯誤的結果.

【分析】第（2）小題的錯解一和錯解二，均因對弧長公式不理解所造成.錯解一是將公式中的圓心角用題中的圓周角所代替，錯解二則完全記錯公式，這兩種典型錯誤原本為最低級錯誤，但卻在學業考試中屢屢出現，將這現象映射至平時的教學，是否應該更進一步抓落實呢？

圖2

圖3

四、多解思路及其分析

該題雖然為基礎題，但第（1）小題的證明涉及的量較多，有圓心角、圓周角、弧、弦等，且能互相轉化，因此解答思路也較多，故筆者重點對第（1）小題的證明進行多解思路的分析.

思路一：∠BAD=105°，根據圓內接四邊形對角互補，得出∠C=75°，于是，∠C=∠DBC，則BD=CD.

思路二：將DA適當延長至點E，如圖4，得到∠EAB=75°，利用外角等于內對角得到∠DCB=∠EAB=∠DBC=75°，則DB=DC.

圖4

【分析】思路一是命題者在命制試題時所想到的思路，也是學生解題時的“自然思路”，所得出的解法也就是最自然的解法，是最快速最直接能得出結論的方法，大多數學生都用到了該思路.思路二可謂是思路一的“孿生思路”，因為“圓內接四邊形的外角等于內對角”和“圓內接四邊形對角互補”原本就同氣連枝.

思路三：連接AC，如圖5，先利用圓周角定理得出∠DAC=∠DBC= 75°，進而得到∠BDC=∠BAC=30°，再用三角形內角和定理得出：∠DCB=∠DBC=75°，則DB=DC.

圖5

思路四：連接OB、OC、OD，如圖3，利用圓心角與圓周角的關系及周角和為360°，得到∠COD=∠BOD=150°，再利用OB=OC、OD=OD證明△DOB?△DOC，則DB=DC.

思路五：連接OB、OC、OD，如圖3，利用圓心角與圓周角的關系及周角和為360°，得到∠COD=∠BOD=150°（同思路4），再利用圓心角定理直接得出DB=DC.

【分析】思路三至思路五，雖都需添加輔助線，但至少整個推理過程完全正確，思路三運用圓周角定理配合三角形內角和定理，最終用“一個三角形中，等角對等邊”得出，思路四與思路五的前半部分完全一樣，只是思路四稍顯復雜，需證一次三角形全等，思路五相對快捷一些，直接通過“相等的圓心角所對的弧相等”輕松得出結論.總而言之，這三種思路均通過圓周角、圓心角、弦之間的轉化一步一步推理得出結論，先不論繁簡程度，推理過程沒有任何問題，也不失為一種好的解法，體現了“殊途同歸”的解題思維本真.

思路六：利用圓周角與所對的弧之間的度數關系，得到弧BD的度數=1周角360°-弧BCD的度數=360°-2× 105°=150°，得到∠DCB=∠DBC=75°，則DB=DC.

思路七：利用圓周角與所對的弧的度數關系，根據弧BC+弧CD=弧BCD，由弧的關系轉化到其所對圓周角的關系，得到∠BDC+∠DBC=∠BAC=105°，所以∠BDC= 30°，（或先得到B（C的度數等于60°，再得到∠BDC=30°）再利用三角形內角和為180°，得到∠DCB=∠DBC=75°，則DB=DC.

【分析】思路六和思路七的共同點是：均借助弧的關系得出其所對圓周角的關系，最終得到線段之間的關系.雖相比前幾種解題思路，稍顯不易想到，但仔細想來，圓的諸多性質追根溯源，不就是根據一周360°及圓的旋轉不變性和軸對稱性得來的嗎？恰恰相反，能利用該思路解答的學生反而是對圓的本質掌握最好的學生.聯想到平時的教學，教師是否能在課堂上多滲透如此體現圓本質的解題思路呢？可見，教學中如能讓學生多掌握一種思路就能多增加一點思維寬度.

五、教學啟示

通過上述分析和思考，得到了幾點教學啟示.

1.注重推理分析，關注思維發展性.

在教學中，做題、講題的目的不僅僅在于讓學生“懂”和“會”，還需要讓學生的思維能力與品質得到不同程度的發展與提升.在分析問題時，如果能讓學生就“如何做”“為什么這樣做”“怎樣想到這樣做”等方面多做交流與思維展示及碰撞，同時，教師能給予合適的評價與引導，會有助于減少學生解題過程中的直觀判斷因素，增加其理性思考成分，并有助于提高學生的思維能力和品質.典型錯誤中的“直觀看，缺推理”，正是由于平時教學中在問題分析方面的欠缺所造成的，如能在分析問題時對于“如何做”“為什么這樣做”“怎樣想到這樣做”這一思維發展線加強重視，相信會減少這類錯誤的出現.

2.注重推理規范，加強思維縝密性.

在幾何證明的教學過程中，要培養學生規范解題的習慣.論證問題時，首先要引導學生分析清已知條件與未知條件間的邏輯關系，有關系才能應用已知條件進行論證，沒有關系則不能亂用條件證明，更不能為了證明結論而創造條件.如典型錯誤中的“造條件，缺推理”，正是因為學生沒有弄清條件和結論之間的邏輯關系才造成的低級錯誤.借助圖形直觀解決問題是一種常用的解題方法，但“過度直觀”也易造成解題過程的不嚴密.如典型錯誤中的兩種“缺推理”，都應引起高度重視，特別是“合情推理”和“演繹推理”的正確運用需通過平時的教學讓學生合理掌握，可借助“合情推理”來尋思路，用“演繹推理”來完成解答過程，加強思維縝密性的培養.

3.注重推理方法，培養思維多元性.

多種不同解題思路的探尋可以拓寬學生的思路，培養學生思維的發散性和融合性，使學生思維的角度更多，思維的范圍更廣，真正達到增加思維寬度，連線成面的效果.對于第（1）小題多種解法思路的探尋發現，該題的解題通法為利用圓中弧、圓心角、圓周角、弦之間的轉化，進而證得結論成立.多樣的解法呈現了“殊途同歸”的多元化思路.可見，在平時的解題教學中，多種思路探究教學既能培養學生的多元化思維，還能幫助學生挖掘問題的本質，找到解題的通法，從而積累解題經驗，建構解決問題的方法體系.

4.注重推理思想，助推思維靈活性.

數學思想方法是對數學知識、方法、規律的一種本質認識，是數學的精髓，是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化成能力的橋梁.當然，數學思想方法要在概念、性質、法則、公式、公理、定理的學習過程中適時滲透，讓學生在掌握表層知識的同時，又能體悟到深層的數學思想方法，助推思維靈活性.該題作為一道基礎題，所涉及的重要數學思想并不多，但轉化思想、數形結合思想及建模思想還是有所體現的.轉化思想用于各元素等量關系之間的轉化，數形結合思想體現在通過角度的計算得出圖形中重要元素的數量關系（相等或倍數），建模思想運用于采用何種模型，如三角形內角和模型、全等三角形模型、等腰三角形模型、圓內接四邊形模型等.數學思想是數學思維的靈魂，平時的教學中，只有注重思想的滲透，才能給學生帶來思維的可持續發展.

1.張克玉.2015年中考數學：閱卷報告——安徽第22題［J］.中學數學教學參考（中），2015（11）.

2.高峰.條件誤用惹禍端轉化無門陷艱難［J］.中學數學教學參考（中），2014（10）.

3.陳德前.重結果，輕過程，合情推理不合情［J］.中學數學教學參考（中），2014（10）.

4.姜曉翔，沈瑩琪.挖掘本質出奇效雙直模型巧解題——以一則教師說題案例說起［J］.中學數學（下），2014（11）.