尺規作圖“倍立方”

☉江蘇鹽城市尚莊初級中學劉志才

☉江蘇鹽城市尚莊初級中學王壽云

尺規作圖“倍立方”

☉江蘇鹽城市尚莊初級中學劉志才

☉江蘇鹽城市尚莊初級中學王壽云

一、倍立方問題

如圖1，已知正方體ABCD-EFGH.

用尺規求作：正方體A′B′C′D′-E′F′G′H′，使得V正方體A′B′C′D′-E′F′G′H′=2V正方體ABCD-EFGH.

二、作圖分析

圖2

假定正方體A′B′C′D′-E′F′G′H′已經作出，如圖2，設AB為1個單位長，則A′B′=個單位長.因此作出個單位長線段是解決問題的關鍵，這可借助平面直角坐標系來求解.

設正方體A′B′C′D′-E′F′G′H′的棱長為x個單位長，體積為y個單位長立方，則y=x3（x≥0）.我們知道，函數y= x3的圖像為一支曲線，點（，2）（記為點M）在這條曲線上，我們可以通過列表、描點、連線等步驟畫出函數圖像，進而在圖像上確定出點M（，2），從而得到表示個單位長的線段.事實上，畫曲線時由于“連線”存在誤差，會導致點M的位置不準確，根本的問題是這種方法不屬于尺規作圖的方法，用這種方法來求解顯然是錯誤的.但作直線時“連線”不存在誤差，如果點M在一條直線上，那么所求點M的位置就是準確的，且所求得的個單位長線段才是尺規作圖所得.

圖3

通過上述方法處理后的曲線就顯得較為扁平、平滑了，但僅這一點還不夠，還需要在曲線上截取我們所需要的極小部分，以確保局部曲線直線化.方法是：找出左、右都逼近點M（，2）的點P和點Q.由于≈ 1.260，注意到是左、右逼近23■的較近的兩個值.這樣取值的目的，就是為了截取曲線中的極小部分，將PQ部分直線化，點M在PQ上，從而確保點M在直線PQ上.

通過以上兩次處理后，確保了點M在直線PQ上，接下來就是要確定點M在坐標系中的準確位置，在x軸上確定出表示個單位長的線段，從而作出所求正方體.

三、作圖實例

步驟1：作x軸垂直于y軸，垂足為O，在x軸上以已知正方體的棱長AB為x軸上的1個單位長，以個AB長作為y軸上的1個單位長作出平面直角坐標系，如圖3.

說明：x軸上的單位長和y軸上的單位長不統一，這并不影響x軸上所有線段單位長的比值，也不會影響y軸上所有單位長的比值.隨著n值的逐步增大，曲線就顯得越來越扁平、平滑，就會有越來越多的點集中在同一條直線上.局部曲線直線化的范圍也同時被擴大.

步驟3：在y軸上確定出表示2個單位長的點H，過點H作HM垂直于y軸，交直線PQ于點M.

步驟4：過點M作x軸的垂線交x軸于點N.

步驟5：以ON的長為所求正方體的棱長作出正方體A′B′C′D′-E′F′G′H′，則正方體A′B′C′D′-E′F′G′H′為所求，如圖2.

說明：以上作圖都是在尺規作圖的范圍內完成的，圖3中的曲線連接部分不屬于尺規作圖的范圍，只是直觀地作為輔助說明曲線直線化的道理及證明求解的需要.另外，圖1、圖2均為將所作實際圖形按一定比例縮小后的圖形.

四、后語

用以上方法作一個正方體，可分別為已知正方體的3倍、4倍、…、n倍，關鍵是要恰到好處地找出左、右都分別逼進它們立方根的較近的兩個值，以確保局部曲線直線化.

尺規作圖的應用，是學生對所學知識點自我的綜合考量與檢測，是一次數學實驗活動.學生必須要手腦并用，學會全面地、融匯貫通地進行分析與疏理，從中找出解決問題的方法.當然，我們還可以借助幾何畫板進行演練，使學生從中找到樂趣，這對于愉悅學生的身心有一定的好處，它迎合現代教育的主流方向，是培養學生創造力的有效途徑.