基于“數學核心素養”視角下的解題教學*
——從波利亞解題思想出發

☉華中師范大學數學與統計學學院 魏珂

☉華中師范大學數學與統計學學院 胡典順

基于“數學核心素養”視角下的解題教學*
——從波利亞解題思想出發

☉華中師范大學數學與統計學學院 魏珂

☉華中師范大學數學與統計學學院 胡典順

一、背景引入

2014年3月30日，《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》頒布后，“數學核心素養”一詞迅速引起數學教育界的熱議.一般認為，六大數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.六大數學核心素養是一個相互獨立又相互交融的有機整體，數學核心素養不僅能衡量一個中學生的數學綜合能力，也是幫助中學生發現數學問題、進行數學解題、歸納數學結論的重要素養.因此，如何培養初中生的數學核心素養并將其運用于解題教學是當今數學教育界值得重視的一個問題.

美國著名數學家、數學教育家喬治·波利亞（George Polya，1887—1985）一生中在數學界眾多領域都作出了開創性的貢獻，著名代表作《怎樣解題》對中學數學教育產生了極大的影響.他的解題思想集中體現在他創立的“怎樣解題表”中，他將解題過程分為四個階段，即：理解題目、擬定方案、執行方案、回顧.

下面，筆者以一道中考幾何題為例，在波利亞“怎樣解題表”的框架下，對六大數學核心素養如何在各階段發揮作用并引導解題展開分析.

二、解題分析

（2016福建福州，25）如圖1，△ABC中，∠A=30°，AB=AC，以B為圓心、BC長為半徑畫弧，交AC于點D，交AB于點E.

（1）求∠ABD的度數；

圖1

1.理解題目階段.

理解題目即審題.在審題階段，可以通過數學抽象素養，將已知信息具體化，可以引導出隱含信息，通過直觀想象素養對給出的圖形進行分析和發現，再通過數據分析素養引導解題的方向.

分析：就本題而言，對于第（1）問，從題目中的已知條件“AB=AC”可以抽象出隱含條件“△ABC是等腰三角形”，從“以B為圓心、BC長為半徑畫弧”可以抽象出隱含條件“BD=BC”，再通過對已知數據的分析，即可為“求出∠ABD的度數”作準備.對于第（2）問，題目中的隱含條件有“以B為圓心、BC長為半徑畫弧”，再通過觀察圖形，運用直觀想象素養引導，容易看出所求陰影部分與△AED和扇形BED有關系，如圖2所示，從而確定第（2）問的解題思路.

圖2

2.擬定方案階段.

審題結束后，即進入分析所有條件并擬定解題方案階段.主要運用邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算素養引導擬定解題方案.

分析：對于第（1）問，運用邏輯推理素養，可以找到未知角∠ABD與∠ABC之間的關系“∠ABD=∠ABC-∠DBC”，再運用數學建模素養確定邏輯嚴謹的解題方向和方案：由理解題目階段發現的隱含條件“△ABC是等腰三角形”和已知條件“∠A=30°”可以通過數學運算求出∠ABC和∠BCD的度數；再通過隱含條件“BC=BD”容易求出∠DBC的度數，從而求出未知角∠ABD的度數.對于第（2）問，從理解題目階段運用直觀想象素養分析可知“S陰影=S△ABD-S扇形BDE”，從題中的已知條件“BD=”并運用扇形面積公式容易求出扇形BDE的面積，這一問的難點就在于求△ABD的面積.由于AB×高，通過直觀想象素養的引導，可以看出這里需要構造輔助線，即△ABD的邊AB上的高DF（如圖3所示）.最后通過邏輯推理和數學運算我們可以根據已知條件BD=和第（1）問中求出的∠ABD的度數求出AB和DF的長度，從而△ABD的面積可以求出.

圖3

3.執行方案階段.

擬定方案結束后進入執行方案階段.本階段主要運用數學運算素養和邏輯推理素養對解題過程進行書寫.

分析：對于第（1）問，因為AB=AC，∠A=30°，所以∠ABC=∠ACB=75°.由已知條件知BC=BD，所以∠BDC=∠BCD=75°，∠DBC=30°，從而∠ABD=∠ABC-∠DBC= 45°.

對于第（2）問，過點D作DF⊥AB于F.在Rt△BDF中，∠FBD=45°，BD=BC=，所以BF=DF=BD·sin45°==1.在Rt△ADF中，∠A=30°，所以AD=2DF= 2，AF=，所以AB=AF+BF=+1.所以S陰影=S△ABD-

4.回顧階段.

這道題是對初中幾何中“三角形”及“扇形”的考查，因此在回顧階段可以利用三角形和扇形的基本性質進行檢查反思.

分析：首先，要利用數學建模素養、直觀想象素養和邏輯推理素養對這道題的解題思路和解題方案進行整體梳理；其次，對題目中的隱含條件和結論數據進行分析和檢驗，看是否符合實際情況，這里既需要數學抽象素養的引導，也需要數據分析和數學運算素養的運用.對于第（2）問，也要對三角形和扇形的面積公式進行檢查，并對計算出的數據檢驗和分析，看數據結果是否合理.這道題的難點之一就是運用直觀想象素養將第（2）問中要求的陰影面積轉化成另外兩個圖形的面積差，通過體會這一過程的發現，真正掌握解決此類問題的方法和技巧.可以看出，在回顧的過程中，六大核心素養都發揮了一定的引導作用，因此回顧階段是綜合提高學生數學核心素養的有效途徑，不容忽視.

三、六大核心素養在解題教學中的運用

1.運用數學抽象發掘信息.

數學抽象是指舍去事物中的一切物理屬性，得到數學研究對象的素養.通常在理解題目階段運用數學抽象素養對題目中的隱含條件和信息進行發掘，將抽象變具體，將隱含變清晰.以上面這道中考題為例，通過數學抽象素養可以從題目中的已知條件“AB=AC”發掘出隱含條件，即“△ABC是等腰三角形”，這對問題的解決是至關重要的第一步.

2.運用數據分析找出本質.

數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用統計、計算等方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養.題目中的圖表或數據往往有著內在的聯系并隱含著重要的信息，在理解題目的過程中，可運用數據分析素養引導和分析已知數據，通過整理數據，找出問題的本質，從而解決問題.比如，將這道中考題中的已知數據“∠A=30°”與已知條件結合起來分析，就是第（1）問的求解的關鍵所在.

3.運用直觀想象發現思路.

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的素養.通過建立數與形的關系，引導學生建立數學解題的直觀模型，再運用邏輯推理和數學建模探索解決問題的思路和模型.比如，這道中考題的第（2）問無法直接求解，通過直觀想象素養的運用可以看出圖形面積之間的關系，從而作出輔助線，發現解題思路.

4.運用邏輯推理探索思路.

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推理出其他命題的素養.邏輯推理是解題中的基本思維品質，既要保證解題的嚴謹性，又要把握事物之間的關聯并引導出進一步的解題思路.邏輯推理一般運用于擬定方案和執行方案的過程中，即對解題過程的書寫，不僅要用正確的公式或文字進行表達，頭腦中還要通過邏輯推理素養對整個解題思路進行一步步推理與探索，從而完成解題.

5.運用數學建模設計方案.

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學知識與方法構建模型解決問題的素養.數學模型的搭建是數學解題的重要形式，也是解決實際問題的基本手段.通過數學模型的建構引導，設計出解題方案，為下一階段的執行方案奠定基礎.數學建模素養主要運用于擬定方案階段，通過對邏輯推理出的思路進行整理和建構，在頭腦中設計出一個完整的解題模式和方案，為下一步的書寫和計算打下良好的基礎.

6.運用數學運算得出結果.

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.只有具備了一定的數學運算素養，才能依據已經建立的數學模型和數學思路引導運算進而得出結論.因此，數學運算素養在解題過程中也是至關重要的，它不僅貫穿于整個解題過程，而且在執行方案和回顧階段發揮著重要的作用，也是整個題目的結論是否正確的關鍵所在.

四、在解題教學中培養“數學核心素養”的建議與思考

1.加強概念教學，強化數學抽象.

在初中解題教學中，想要提高數學抽象素養就應該重視題目中基本概念的提取.比如，上文這道中考幾何題中的基本概念就是“三角形”和“扇形”.學生只有理解了這兩個基本概念，并通過找出這些概念和圖形的內涵和外延，結合概念的一些特殊性質，才能抽象出題目的深層含義.當然，基本概念的提取離不開平時課堂中的概念教學，因此，要想很好地培養學生在解題中的數學抽象素養，就應該加強初中階段的概念教學，在教學過程中重視對基本概念的積累與記憶，讓學生學會在解題中提煉基本概念，從而簡化條件找到本質.

2.重視計算訓練，提高運算分析.

在初中解題教學中，可以通過對學生計算能力的鍛煉提高學生的數學運算素養和數據分析素養.在解題教學過程中，要讓學生從理解運算的基本知識出發形成一定的運算技能，可以采用“先慢后快”的原則，即剛開始練習時運算步驟和依據必須明確、清晰，運算過程必須規范，待學生熟練后可適當加快運算速度或簡化步驟.另外，還可以通過引導學生對運算規律和基本類型進行分類整理，使學生頭腦中建構出完善的運算知識系統，最終達到加快解題速度和提高正確率的效果.當然，這些題目最好具有一定的規律性和趣味性，也可以作為思考題留給學生課下進行思考，從而使學生的數學運算素養和數據分析素養得到潛移默化的提升.

3.強調數形結合，提升直觀想象.

在初中解題教學過程中，對學生直觀想象素養的培養可以從以下幾個方面進行.第一，在教學過程中注重基本圖形的理解和積累.一般來說，任何一個幾何問題都是由基本圖形組成的，在解題過程中如果學生看到一個幾何圖形時能夠快速觀察、發現、分解出它蘊含的基本圖形，無疑能達到事半功倍的解題效果.第二，讓學生體會并學習數形結合的思想和方法.如果學生學會了在解題時盡可能用畫圖來解決問題，化數為形，將代數問題與幾何問題聯系起來，找到本質，就可使復雜的問題簡單化.第三，利用多媒體教學化靜為動.像幾何畫板、超級畫板Z+Z、GeoGebra、3D數學教學平臺等動態幾何軟件，有助于教師生動、形象地展示幾何圖形的各種性質和演示幾何變化的動態效果，帶給學生直觀視覺上的沖擊，有利于培養學生觀察、認識周圍事物間的數量關系和形體特征的興趣和意識.

4.注重邏輯練習，鍛煉推理能力.

提高學生的邏輯推理素養對數學解題也是很有必要的.對學生邏輯推理素養的培養能夠保證學生在解題時的正確性和嚴謹性，在教學過程中可以通過對類比法、分析法（包括逆證法）、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法（要求分類討論）等邏輯數學方法的講解對學生的邏輯推理素養進行有意識培養，并通過一些邏輯思維的練習題進一步提升學生的邏輯推理素養.

5.生活聯系實際，建構數學模型.

數學建模，顧名思義就是要培養學生對數學模型的建立，這一素養的培養來源于生活又高于生活.在教學過程中可以將現實生活中與數學學習有關的素材引入課堂，通過一定的趣味性滿足學生好奇的心理要求，從而在學生頭腦中建立起一個個數學模型，從而方便他們在解題中使用并建立相關模型.通過建立模型全面理解題目并引導設計解題方案，達到解題目的.

1.G·波利亞著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題［M］.上海：上海科技教育出版社，2011.

2.朱立明.基于深化課程改革的數學核心素養體系構建［J］.中國教育學刊，2016（5）.

3.劉錦，李龍安，侯學萍.基于核心素養導向的中學數學教學思考［J］.現代中小學教育，2016（10）.

全國教育科學規劃教育部重點課題——TPACK視角下卓越教師培養的理論研究與實踐探索（課題編號DHA150287）.