二項展開式中指定項系數求法“全掃描”

蔣 敏

(四川省南充龍門中學 637130)

一、通項分析法，開門見山，直搗黃龍

1.求第m項：此時k+1=m，直接代入通項；

2.求常數項：即這項中不含“變元”，令通項中“變元”的冪指數為0建立方程；

3.求有理項：令通項中“變元”的冪指數為整數建立方程．

特定項的系數問題及相關參數值的求解等都可依據上述方法求解．

解析本題考查二項式定理，項的系數問題.由二項式展開定理可得其通項為：

二、系數配對法，理清思路，心無旁騖

評注“多項式乘以二項式”型的二項式問題，通用的解法是系數配對法，即將多項式中的每一項xk的系數與后面二項式展開式中xr-k的系數相乘，然后把所有這些滿足條件的情況相加，即得到xr項的系數．

變式1 (x+2)10(x2-1)的展開式中x10的系數為____(用數字作答).

變式2 (1-ax)2(1+x)6的展開式中，x3項的系數為-16，則實數a的值為____．

三、組合消項法，化難為易，別有洞天

例3 (2015全國新課標1卷理科第10題)

在(x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數為( )．

A．10 B.2O C.30 D.60

解析化三項為兩項，求指定項的系數.

評注在高考中，常常涉及一些多項式二項式問題，主要考查學生的化歸能力．歸納起來常見的命題角度有：

(1)幾個多項式和的展開式中的特定項(系數)問題：只需依據二項展開式的通項，從每一項中分別得到特定的項，再求和即可．

(2)幾個多項式積的展開式中的特定項(系數)問題：一般都可以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解，但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏．

(3)三項展開式中的特定項(系數)問題：一般先變形化為二項式再解決．

A.1 B.25 C.10 D.252

四、雙通項法，雙管齊下，有的放矢

A.1 B.25 C.10 D.252

評注先各自獨立運用二項展開式的通項公式，再結合題目所求，雙管齊下，有的放矢.

A．32 B．34 C．36 D．38

五、變形代換法，巧妙構造，以小博大

例5 已知1-x+…+(-1)kxk+…+(-1)nxn=a0+a1(x+1)+…+an(x+1)n，其中n∈N*,n≥3．

則當a1+a2=0時，n=____；

當a1-a3=0時，n=____；當a2+a3=0時，n=____．

評注變形代換法．在本題中，可將x+1看成一個整體，令t=x+1，再用二項式通項分析法求解．

變式若將函數f(x)=(x-1)5表示為f(x)=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5，其中a0,a1,…,a5為實數，則a3+a4=____．

六、等比數列求和轉化法，轉換視角，豁然天開

例6 (1+x)1+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)2017(x≠0且x≠-1)的展開式中，x1000的系數為( ).

評注根據式子結構特點，把它看成一個等比數列的求和，然后利用公式對其進行化簡．

變式1 在(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展開式中，x2的系數是____．

變式2 已知f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)2015(x≠0且x≠-1)，則導數f′(x)的展開式中的x1000的系數為( ).

[1] 劉紹學.普通高中課程標準試驗教科書·數學選修2-3(必修A版)[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2] 王懷學，肖斌.高考數學經典題型與變式[M].拉薩：西藏人民出版社,2016.