例析“平面”在立體幾何中的核心作用

姜衛(wèi)東

(江蘇省揚(yáng)州中學(xué) 225009)

“平面”是貫穿歐氏幾何始終的一個(gè)核心概念，它是立體幾何公理化體系的基石，立體幾何中諸多概念、定理等知識(shí)的構(gòu)建最終都是在“平面”內(nèi)來(lái)完成的；在處理立體幾何問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常將問(wèn)題轉(zhuǎn)移或歸結(jié)到同一平面內(nèi)來(lái)進(jìn)行解決，這種“平面化”的思想方法，也是解決空間問(wèn)題的核心思想.接下來(lái)，筆者擬從知識(shí)建構(gòu)與例題教學(xué)這兩個(gè)層面，對(duì)“平面”在立體幾何中核心作用進(jìn)行解讀.

一、依托平面，建構(gòu)知識(shí)體系

立體幾何與平面幾何一樣，也是在眾多概念、公理與定理的基礎(chǔ)上，利用公理化體系建立起來(lái)的.而這些概念、公理與定理的獲得，都是借助平面化策略、將問(wèn)題轉(zhuǎn)換到平面內(nèi)，通過(guò)同化的手段得以完成的！

案例1.1 空間的三種角(線線角、線面角、面面角)，都是將空間角轉(zhuǎn)換為平面角來(lái)定義的.兩條異面直線所成的角，就是通過(guò)在空間取一個(gè)點(diǎn)，將異面直線進(jìn)行平移，從而用兩條相交直線所成的角來(lái)刻畫(huà)兩條異面直線所成的角；直線與平面所成的角也是利用直線與它的射影所成的平面角來(lái)定義的；而空間二面角的度量則是轉(zhuǎn)換為它的平面角來(lái)度量的.

案例1.2 空間的四種距離(線線距、點(diǎn)面距、線面距、面面距)從定義到具體的計(jì)算都體現(xiàn)了空間到平面的轉(zhuǎn)換.例如：求異面直線距離的基本方法有：或轉(zhuǎn)化為求它們公垂線段的長(zhǎng)；或轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離；或轉(zhuǎn)化為求兩平行平面間的距離.而這三種方法最終又轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離.

案例1.3 教材中幾種多面體和旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式的推導(dǎo)(除球面和球冠外)、側(cè)面上最短線路問(wèn)題也都是通過(guò)側(cè)面展開(kāi)圖轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題；旋轉(zhuǎn)體的問(wèn)題也多是通過(guò)軸截面而轉(zhuǎn)化為平幾問(wèn)題的.

二、構(gòu)造平面，優(yōu)化例題教學(xué)

處理空間習(xí)題，需要靈活運(yùn)用各種概念與定理，但其中最重要的是要借助平面，將空間中的諸多元素向平面內(nèi)轉(zhuǎn)化.有時(shí)這種平面是現(xiàn)成的，我們只需要充分利用它即可；但有時(shí)這種平面不是現(xiàn)成的，那么就需要我們進(jìn)行構(gòu)造，通過(guò)構(gòu)造輔助平面，才能優(yōu)化問(wèn)題的解決.同時(shí)，構(gòu)造輔助平面的途徑與方法也正是產(chǎn)生一題多解的本源！

案例2.1 如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM=DN,求證：MN∥平面AA1B1B.

解析要證明MN∥平面AA1B1B.根據(jù)線面平行的判定定理，可通過(guò)線線平行來(lái)完成(當(dāng)然利用面面平行也能實(shí)現(xiàn)，這里不再贅述).而平面AA1B1B內(nèi)沒(méi)有一條現(xiàn)成的直線與直線MN平行，故必須進(jìn)行構(gòu)造！如何構(gòu)造這條直線？應(yīng)該通過(guò)輔助平面來(lái)構(gòu)造！也就是應(yīng)經(jīng)過(guò)直線MN作一個(gè)平面，并使得此平面與平面AA1B1B相交，那么交線就是要構(gòu)造的直線.接下來(lái)的問(wèn)題就是，經(jīng)過(guò)MN如何來(lái)構(gòu)造平面呢？根據(jù)公理3及其推論，我們可以利用兩條平行直線或兩條相交直線來(lái)確定輔助平面，由此便產(chǎn)生了以下兩種證法.

又ME∥BC∥AD∥NF,∴四邊形MEFN為平行四邊形，∴MN∥EF.又∵M(jìn)N?平面AA1B1B,EF?平面AA1B1B,∴MN∥平面AA1B1B.

圖3 圖4

解析因題設(shè)中出現(xiàn)了面面平行的條件，故應(yīng)想到要用面面平行的性質(zhì)定理，將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵在于必須構(gòu)造一個(gè)平面與平面α,β,γ相交.

那么，又如何構(gòu)造輔助平面并使得它與平面α,β,γ相交呢？根據(jù)公理3及推論可知，我們可以利用兩條平行直線與兩條相交直線來(lái)確定平面，于是就產(chǎn)生了以下兩種解法.

圖5 圖6

證法二如圖6，連結(jié)AF,交平面β于R點(diǎn)，連結(jié)BR,ER.

∵平面ACF∩β=BR,平面ACF∩γ=CF,

從表面上看，兩種方法不同，但它們的本質(zhì)是一致的，都是構(gòu)造輔助平面！

案例2.3 如圖7，已知AB是兩異面直線AC,BD的公垂線段，且AC⊥平面α,BD⊥平面β,α∩β=l.求證：AB∥l.

圖7 圖8

解析題中是線面垂直關(guān)系，最后要證明的結(jié)論是線線平行，所以要將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系.考慮到線面垂直的性質(zhì)定理，故應(yīng)通過(guò)構(gòu)造輔助平面實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

如圖8，作BE⊥α于點(diǎn)E.∵AC⊥α,∴BE∥AC.又∵AB⊥AC,∴AB⊥BE.又AB⊥BD,BD∩BE=B,∴AB⊥平面DBE.由BE⊥α,l?α,∴BE⊥l,同理BD⊥l.又BD∩BE=B,∴l(xiāng)⊥平面DBE,∴AB∥l.

需要指出的是，已知條件中涉及垂直關(guān)系而求證結(jié)論是平行關(guān)系時(shí)，往往通過(guò)構(gòu)造輔助平面(如本題中的平面DBE)，將垂直關(guān)系向平行關(guān)系轉(zhuǎn)化.

案例2.4 已知平面α⊥平面β,平面α⊥平面γ,且β∩γ=a,求證：a⊥α.

解析題設(shè)中出現(xiàn)了面面垂直的條件，而要證明的是線面垂直，故應(yīng)借助面面垂直的性質(zhì)定理，將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直.如何轉(zhuǎn)化？關(guān)鍵在于抓住一個(gè)平面，在此平面內(nèi)作交線的垂線.這里，可以在平面α內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)分別作交線的垂線；也可以分別在平面β,γ內(nèi)，作交線的垂線，于是就有了以下兩種解法.

證法一如圖9所示，設(shè)α∩β=b,α∩γ=c.在平面α內(nèi)任取一點(diǎn)P，滿足P?b,P?c,過(guò)P作PA⊥b于A,PB⊥c于B.∵α⊥β,α∩β=b,PA⊥b,PA?α,∴PA⊥β.又β∩γ=a,∴PA⊥a.同理可證：PB⊥a,又PA∩PB=P,∴a⊥α.

圖9 圖10

證法二如圖10所示，設(shè)α∩β=b,α∩γ=c.在平面β內(nèi)作直線m⊥b,在平面γ內(nèi)作直線n⊥c,滿足m,n與a不重合，∵α⊥β,α∩β=b,m⊥b,m?β,∴m⊥α.同理可證：n⊥α,∴m∥n.∵n?γ,m?γ,∴m∥γ,又m?β,β∩γ=a,∴m∥a,∴a⊥α.

圖11

案例2.5 如圖11，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a,BC=b,BB1=c,并且a>c>b>0,求沿著長(zhǎng)方體的表面自A到C1的最短路線長(zhǎng).

解析本題的關(guān)鍵在于先將長(zhǎng)方體表面展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，利用在平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)是兩點(diǎn)間的最短距離來(lái)解答.

將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展開(kāi)有下列三種可能，如圖11-1、11-2、11-3所示，圖11-1、11-2、11-3中的AC1的長(zhǎng)分別為：

圖11-1 圖11-2 圖11-3

在解決有關(guān)最短路線問(wèn)題時(shí)，通過(guò)將側(cè)面或表面展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，從而將空間問(wèn)題平面化，往往會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算，顯得直觀，可操作性強(qiáng).

因此，在解決空間問(wèn)題時(shí)，要緊緊抓住“平面”這個(gè)工具，善于將空間問(wèn)題“平面化”.實(shí)際上，這種轉(zhuǎn)換的策略與方法就是降維思想的具體體現(xiàn)，即將三維空間的問(wèn)題降到二維平面上來(lái)處理，可以說(shuō)空間問(wèn)題一“面”牽！

[1]李善良.《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》的體例與特點(diǎn)(續(xù))[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2005(02).