高中數(shù)形結(jié)合解題技巧的總結(jié)與分享

李夢(mèng)晗

(山東省濟(jì)寧市魚臺(tái)縣第一中學(xué)高二(12)班 272300)

所謂數(shù)形結(jié)合思想，即高中階段數(shù)學(xué)解題期間，利用圖形和方程式的結(jié)合，以簡化數(shù)學(xué)習(xí)題的一種方法.這種解題方法能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)字與圖形的相互分析，將其轉(zhuǎn)化為相對(duì)較為簡便的數(shù)量關(guān)系.

一、數(shù)形結(jié)合概述

數(shù)形結(jié)合簡而言之就是通過分析數(shù)學(xué)問題本身所蘊(yùn)含的內(nèi)在層次和結(jié)構(gòu)，梳理其中的已知條件、結(jié)論的聯(lián)系，這種分析除了具有代數(shù)含義以外，也體現(xiàn)了幾何含義.通過數(shù)學(xué)問題中各種關(guān)系的結(jié)合，將其與空間形式進(jìn)行融合，在此基礎(chǔ)上確定解決問題的思路與方法，使數(shù)學(xué)問題得以有效解決.其本質(zhì)是使抽象性的數(shù)學(xué)語言與直觀性的圖形進(jìn)行充分的融合，尤其是代數(shù)與形象圖表的結(jié)合，可以使代數(shù)問題呈現(xiàn)出幾何化的特點(diǎn)，使抽象問題更加形象化.

其實(shí)在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用非常普遍，例如求解函數(shù)相關(guān)問題時(shí)，便可以建立函數(shù)模型，通過函數(shù)圖像的方式求解最終的參數(shù)取值范圍.其實(shí)也可以在求解的過程中對(duì)方程根的范圍進(jìn)行求解，并且求出各數(shù)值的關(guān)系.不僅如此，數(shù)形結(jié)合也能夠使代數(shù)問題更加幾何化，通過幾何模型的方式對(duì)問題本質(zhì)進(jìn)行分析，以此解決數(shù)學(xué)問題.其實(shí)也能夠?qū)缀瘟?xí)題中的斜率、截距進(jìn)行求解，進(jìn)而獲得最大值與最小值.最后，數(shù)形結(jié)合也可以用在圖形形狀與位置關(guān)系等的研究和求解上，對(duì)圖形存在的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行分析，并且求解出最終的結(jié)論.

二、高中數(shù)形結(jié)合解題技巧的總結(jié)與分享

1.以數(shù)轉(zhuǎn)形

因?yàn)閿?shù)學(xué)圖形具有直觀、形象的特點(diǎn)，相較于數(shù)學(xué)語言存在非常大的優(yōu)勢(shì)，所以，高中數(shù)學(xué)知識(shí)也可以將一些抽象且求解比較難的代數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合的形式轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形問題， 以此順利地梳理出我們的解題思路.了解有效的解題方式，完成解題，從而提升我們的數(shù)學(xué)解題水平.

圖1

(2)將b視為斜率為-2,過半圓x2+y2=3(y≥0)上的點(diǎn)P(x，y)的直線在y軸上的截距.由圖可知，n1≤b≤n2(n1、n2分別代表直線BP1、CP2的截距).

通過例1可知，對(duì)于一些不等式問題的求解，為了能夠更加全面、快速地求解出正確答案，我們可以運(yùn)用以數(shù)轉(zhuǎn)形這一方法進(jìn)行求解.如此一來，不僅拓展了我們的解題思路，提高解題速度，同時(shí)也通過直觀的圖形的提高觀察能力，為思維的發(fā)散奠定基礎(chǔ).

2.以形轉(zhuǎn)數(shù)

雖然圖形具有直觀、形象等多種優(yōu)勢(shì)，但是也存在一些不足，例如計(jì)算過程的準(zhǔn)確性與推理的邏輯性.特別是一些數(shù)學(xué)問題方面，這種邏輯性和準(zhǔn)確性就更加明顯.所以，對(duì)于這些問題，就不能只是運(yùn)用圖形進(jìn)行求解，以免出現(xiàn)錯(cuò)誤.基于此種情況，可以通過數(shù)形結(jié)合的方式，將圖形轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)語言的形式，通過另一種途徑對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解.

例2 設(shè)函數(shù)y=f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，在區(qū)間[0,1]上的圖象為如圖2所示的線段AB，則在區(qū)間[1,2]上，f(x)=____.

解析通過題目中已經(jīng)給出f(x)在區(qū)間[0,1]的圖象，所以可以使用圖形結(jié)合和對(duì)稱變形的方式進(jìn)行求解.由于y=f(x)為偶函數(shù)，由“形”對(duì)稱變換到“形”，得到函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,0]上的圖象，如下圖線段CA.由于y=f(x)是最小正周期是2的函數(shù)，再由“形”向右平移至“形”，最終獲得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,2]上的圖象，如下圖所示線段BD.f(x)=x,x∈[1,2].

圖2 圖3

A.1 B.2 C.3 D.4

圖4

此題特別好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的作用，若只是以數(shù)的角度出發(fā)解題，可以得到m=-a和n=a,但是這一求解存在很大的難度.然而若是以形的角度出發(fā)進(jìn)行解題，便可以非常直接地求出最終答案.這也就說明了當(dāng)求解小題時(shí)必須要對(duì)這一思想進(jìn)行重視.

由此可見，一些數(shù)學(xué)問題中求取具體值不能使用圖形進(jìn)行準(zhǔn)確求值，因此，將圖形轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題，可以使我們快速求解問題并且獲得最終答案.在這一環(huán)節(jié)當(dāng)中，作為學(xué)生，需要全面考慮，綜合考慮題目中已知條件和所有可能性，只有這樣才能獲得準(zhǔn)確的答案.

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