結(jié)合判別式，巧解數(shù)學(xué)題

朱秋萍

(江蘇省如皋市第二中學(xué) 226500)

一、不等式證明

判別式在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，它是等式與不等式相聯(lián)系的重要橋梁，巧用判別式簡(jiǎn)解數(shù)學(xué)題的思路是，從條件出發(fā)等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造出關(guān)于某個(gè)變量的一元二次方程或一元二次不等式或一元二次函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)判別式簡(jiǎn)解問(wèn)題.

點(diǎn)撥本題巧用判別式簡(jiǎn)解數(shù)學(xué)題的思路是，將c看成常量，觀察a、b之間的關(guān)系利用韋達(dá)定理構(gòu)造出一元二次方程，將c代入方程，得到關(guān)于c的一元二次方程，利用判別式法，結(jié)合題目中的條件解答問(wèn)題.

二、求解三角函數(shù)中角的值

巧用判別式簡(jiǎn)解三角函數(shù)中的角值，關(guān)鍵在于構(gòu)造出關(guān)于某個(gè)變量的一元二次方程，再根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)，然后利用判別式與0的大小，構(gòu)造出三角函數(shù)中的角的取值范圍，得出三角函數(shù)中角的值.

三、解平面幾何問(wèn)題

將一元二次方程根的判別式應(yīng)用于幾何，應(yīng)注意根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，構(gòu)造關(guān)于某一幾何量為元的一元二次方程，判別式法常可以避免許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，而且?guī)缀我饬x清晰，不失為一個(gè)方便、有效的好方法.

例3 三角形ABC中，已知AB=c及其相對(duì)的C角，求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍.

又r>0，

點(diǎn)撥本題求解內(nèi)切圓半徑r的取值范圍的過(guò)程中，根據(jù)三角形的性質(zhì)，得到a、b之間的關(guān)系，利用韋達(dá)定理得到一元二次方程，再利用Δ>0，使問(wèn)題變得輕巧簡(jiǎn)捷，因此判別式法在幾何問(wèn)題中也能夠得到廣泛的應(yīng)用.

四、求解極值

二次函數(shù)的判別式也常常應(yīng)用與極值的求解，通過(guò)將原來(lái)的函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到一元二次方程的一般形式，從而根據(jù)判別式求出系數(shù)的極值，此種方法的關(guān)鍵在于“降次”，通過(guò)下面的例題可以對(duì)判別式求極值有一個(gè)基本的了解.

例4 若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為_(kāi)___.

點(diǎn)撥本題的關(guān)鍵在于消元，首先將“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”，接著又將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)巧妙的轉(zhuǎn)化，利用一元二次方程根的判別式，巧妙地求出了a的極值.

綜上所述，對(duì)有些看似與一元二次方程毫無(wú)關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造出一元二次方程，進(jìn)而利用判別式能使問(wèn)題由繁化簡(jiǎn)，最終巧妙地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.希望學(xué)生們?cè)谝院蟮慕忸}過(guò)程中，能夠?qū)W會(huì)使用判別式，來(lái)解一元二次方程以外的問(wèn)題.

[1]張麗萍.巧用判別式求函數(shù)的最值[J].高中數(shù)理化,2011(23).

[2]王云峰.判別式法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2011(07).