用極端假設法巧解不等式恒成立問題

何治宣

(四川省鄰水中學 638500)

極端假設法是解決數學問題的一個重要方法，正確、科學地使用極端假設法，可以培養學生多元化的解題思維，進而提升解題效率.

一、極端假設法的基本原理

極端假設法是本人在從事高、初中數學教學時不斷總結出來的一種方法， 以求大家共勉.極端假設法的使用原理(生活實例)：

1.如果要證明某個班上的同學A的年齡是最大的，那么只需找出該班上除去同學A以外的其他所有同學中年齡最大的同學B,只要A的年齡大于B的年齡就可得出A是該班同學中年齡最大的同學.

2.如果要證明某班上同學A年齡是最小的，那么就只需找出除同學A以外的所有同學中年齡最小的同學B，只要A的年齡小于B 的年齡，就可得出A是該班同學中年齡最小的同學.

極端假設法在含參數的函數或含參數的不等式中的應用原理：

第一步：將一個單項式或多項式看作關于某個變量的函數；

第二步：求出該函數的極端值(實際上就是函數的最大值、最小值或函數的極大值，極小值)；

第三步：只要所求的參數大于該函數的最大值或所求的參數小于該函數的最小值，就可以求出不等式恒成立時，參數的取值范圍.

二、極端假設法在解不等式恒成立中的應用

2017年的高考已結束，在2017年的全國高考試題中，全國高考理科數學(四川卷)第23題(選作題)是涉及到含兩個絕對值相減的不等式，而且第(2)小題還涉及了參數m,下面我們先來研究此題的第(1)小題.

(2017年理科數學四川卷第23題第(1)小題)

已知函數f(x)=|x+1|-|x-2|，求不等式f(x)≥1的解集.

解法一：分類討論法

①當x≤-1時，f(x)≥1無實數解.

②當-1

③當x≥2時，由f(x)≥1得x≥2.

由①、②、③得：f(x)≥1的解集為{x|x≥1}.

對于此題，多數學生能夠想到分類討論，但易忽略將①、②、③的結果求并集，從而導致結果出錯.

解法二：數形結合法

函數f(x)的解析式是分段函數，其圖象為如圖所示.

由上圖可直觀得到f(x)≥1的解集為{x|x≥1}

現將此高考題進行變式：

變式：已知函數f(x)=|x-2|-|x+3|，

(1)求不等式f(x)≤5的解集；

(2)若f(x)≥k對一切實數x恒成立，則k的取值范圍是多少？

(3)若f(x)

這個變式題的三個小題都在以前的全國卷高考題中出現過此類題型，又尤其是含兩個絕對值相加的不等式，在全國卷中多次出現.本人在從事高中數學教學的過程中，對此類題目的解答略有體會.對于本題的(2)、(3)小題最佳解決方法就是用極端假設法.

解(1)

由圖可知，函數f(x)的取值范圍為-5≤f(x)≤5，

∴f(x)max=5,

顯然f(x)≤5對x∈R恒成立.

∴f(x)≤5的解集為R.

(2)由(1)知，-5≤f(x)≤5,∴f(x)min=-5.

∴要使f(x)≥k對一切實數x恒成立,

則只需k≤f(x)min=-5 即可(極端法).

∴k≤-5.

∴k的取值范圍是k≤-5.

(3)又由(1)知，f(x)max=5，

∴要使f(x)

只需f(x)max

∴k的取值范圍是k>5.

無論是我們的學習生活還是日常的生活中，我們經常會面臨各種挑戰，甚至是極限挑戰，如果我們經常習慣于用常規思維去思考難度比較大的問題時，往往會十分困難.但是如果我們能用極限思維去思考問題時，它會給我們以豁然開朗的感覺，也給我們足夠大的空間去思考問題，進而化解難題.

[1] 許芬英.學為中心的初中數學課堂特征和教學基本模式初探[J].課程·教材·教法，2014(05).

[2] 劉鵬林.例談中學數學解題方法的探究[J].萍鄉學院學報，2015(12).