注重知識(shí)的整合
——三角復(fù)習(xí)教學(xué)例談

馬衛(wèi)華

(江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 226300)

三角是中學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的一章，其既有大量的角度變換公式，也有非常多的代數(shù)變形．從歷屆學(xué)生的學(xué)習(xí)來看，學(xué)生對(duì)于三角章節(jié)的學(xué)習(xí)存在著大量的困難，造成這種困擾的因素是多方面的的：首先是三角基本知識(shí)的不完全理解，我們知道，三角章節(jié)存在著大量的基本公式以及公式變形，因教學(xué)進(jìn)度導(dǎo)致學(xué)生未能有效消化這些數(shù)學(xué)公式，使其運(yùn)用公式解決問題比較困難；其次是三角中存在著大量需要理解的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生往往學(xué)習(xí)的是如何解數(shù)學(xué)題，并不注重概念的運(yùn)用，如三角函數(shù)線是怎么回事？三角函數(shù)的定義是如何推廣到任意角的？一概不知；最后是三角函數(shù)是一種以角度為自變量的函數(shù)，跟一般的函數(shù)f(x)是一個(gè)道理，但是如何將其整合到不同章節(jié)中去，并運(yùn)用其解決問題是最需要突破的．

一、概念性知識(shí)的運(yùn)用

三角一章中有著不少的數(shù)學(xué)概念，從任意角開始到各種函數(shù)的出現(xiàn)，呈現(xiàn)的是螺旋式上升的概念進(jìn)階．從學(xué)生反饋來看，三角函數(shù)定義、三角函數(shù)線等一系列起始概念并未被學(xué)生掌握，雖然后續(xù)三角函數(shù)知識(shí)的引入也能解決相關(guān)問題，暫時(shí)掩蓋了前面概念學(xué)習(xí)的缺失，但是對(duì)于其全方面理解知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)卻帶來了較大的困難．

問題1 在(0,2π)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍為 ．

說明隨著三角學(xué)習(xí)過程的深入，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生漸漸對(duì)三角函數(shù)線等一系列基本概念拋諸腦后，問題的解決不能僅僅依賴圖象，這樣不利于學(xué)生對(duì)三角知識(shí)的全方面理解，因此將三角函數(shù)線知識(shí)整合到本題的解決中，恰恰是為了學(xué)生回顧這些基本概念作出的反饋．很多時(shí)候，學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)線之類重要的概念完全無視，可以說這是教師教學(xué)的不重視，只注重后續(xù)函數(shù)圖象解決問題的時(shí)效性，卻忘記了三角函數(shù)定義的本質(zhì)，這樣的教學(xué)是不可取的．

二、與前期知識(shí)的整合

三角知識(shí)承前啟后，有些知識(shí)與前期所學(xué)知識(shí)緊密相關(guān)，而有些卻為后續(xù)的知識(shí)作出了重要的鋪墊．但是孤立的學(xué)習(xí)每一單元的知識(shí)，導(dǎo)致學(xué)生并不理解這些知識(shí)的重要性，在解決問題時(shí)往往陷入孤立的境地．以解三角形中《正弦定理》學(xué)習(xí)為例，學(xué)生對(duì)于正弦定理最難以掌握的是三角形解的個(gè)數(shù)的判斷，而教材思考與閱讀中的三幅判斷解的個(gè)數(shù)的圖形，學(xué)生更是不喜歡運(yùn)用．那么如何去整合這一教學(xué)的難點(diǎn)呢？筆者引導(dǎo)學(xué)生思考初中數(shù)學(xué)全等三角形判斷的條件，從這一定性的分析從而進(jìn)入定量的分析：初中數(shù)學(xué)判斷三角形全等有三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，即SSS，SAS，AAS，而SSA是不能作為判斷全等三角形的依據(jù)的．即：

問題2 在△ABC中，由下列各組條件求解三角形，其中有兩個(gè)解的是____．

①b=20,A=45°,C=80°;

②a=30,c=28,B=60°;

③a=14,b=16,A=45°;

④a=12,c=15,A=120°;

⑤a=4,b=5,c=6;

解析第①項(xiàng)，AAS，必定一解；

第②項(xiàng)，SAS，必定一解；

第③項(xiàng)，SSA，sinB<1且a

第④項(xiàng)，SSA，且C>A=120°，無解；

第⑤項(xiàng)，SSS，必定一解；

第⑥項(xiàng)，SSA，sinB=1，一解．

說明與初中數(shù)學(xué)全等三角形判別知識(shí)的整合，學(xué)生迅速理解了哪種情況下需要作出三角形不是唯一解的判別，這與正弦定理相互結(jié)合，將知識(shí)的理解和運(yùn)用提升到了一個(gè)更為重要的層面，是符合復(fù)習(xí)教學(xué)的特點(diǎn)的，將知識(shí)整合經(jīng)過螺旋式上升的教學(xué)，大大加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用的能力．

三、注重?fù)Q元思想的介入

三角章節(jié)可以看成是工具性作用突出的章節(jié)，不少函數(shù)問題在解決過程中可以依賴三角進(jìn)行求解，這大大加快了解決過程．將三角問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題，這需要換元數(shù)學(xué)思想的介入，因此將知識(shí)與思想的整合是復(fù)習(xí)教學(xué)的核心．

總之，知識(shí)學(xué)習(xí)的整合告訴我們，教師首先需要自身加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解，了解這些知識(shí)的“前世今生”，唯有足夠的理解才能告訴學(xué)生這些知識(shí)如何整合到其他知識(shí)中去，才能讓學(xué)習(xí)的知識(shí)不再是孤立的，本文以三角中部分知識(shí)點(diǎn)為例進(jìn)行說明，不當(dāng)之處懇請(qǐng)讀者指正．

[1]姜興榮.探求解題思路的幾種有效策略[J].中小學(xué)數(shù)學(xué),2013(7).

[2]范廣法.三角函數(shù)問題解決的五大要素[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2015(4).

[3]劉見樂.用函數(shù)思想指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)解題[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2011(5).