注重知識的整合
——三角復習教學例談

馬衛華

(江蘇省南通市通州區金沙中學 226300)

三角是中學數學中非常重要的一章，其既有大量的角度變換公式，也有非常多的代數變形．從歷屆學生的學習來看，學生對于三角章節的學習存在著大量的困難，造成這種困擾的因素是多方面的的：首先是三角基本知識的不完全理解，我們知道，三角章節存在著大量的基本公式以及公式變形，因教學進度導致學生未能有效消化這些數學公式，使其運用公式解決問題比較困難；其次是三角中存在著大量需要理解的數學概念，學生往往學習的是如何解數學題，并不注重概念的運用，如三角函數線是怎么回事？三角函數的定義是如何推廣到任意角的？一概不知；最后是三角函數是一種以角度為自變量的函數，跟一般的函數f(x)是一個道理，但是如何將其整合到不同章節中去，并運用其解決問題是最需要突破的．

一、概念性知識的運用

三角一章中有著不少的數學概念，從任意角開始到各種函數的出現，呈現的是螺旋式上升的概念進階．從學生反饋來看，三角函數定義、三角函數線等一系列起始概念并未被學生掌握，雖然后續三角函數知識的引入也能解決相關問題，暫時掩蓋了前面概念學習的缺失，但是對于其全方面理解知識、運用知識卻帶來了較大的困難．

問題1 在(0,2π)內，使sinx>cosx成立的x的取值范圍為 ．

說明隨著三角學習過程的深入，筆者發現學生漸漸對三角函數線等一系列基本概念拋諸腦后，問題的解決不能僅僅依賴圖象，這樣不利于學生對三角知識的全方面理解，因此將三角函數線知識整合到本題的解決中，恰恰是為了學生回顧這些基本概念作出的反饋．很多時候，學生對于三角函數線之類重要的概念完全無視，可以說這是教師教學的不重視，只注重后續函數圖象解決問題的時效性，卻忘記了三角函數定義的本質，這樣的教學是不可取的．

二、與前期知識的整合

三角知識承前啟后，有些知識與前期所學知識緊密相關，而有些卻為后續的知識作出了重要的鋪墊．但是孤立的學習每一單元的知識，導致學生并不理解這些知識的重要性，在解決問題時往往陷入孤立的境地．以解三角形中《正弦定理》學習為例，學生對于正弦定理最難以掌握的是三角形解的個數的判斷，而教材思考與閱讀中的三幅判斷解的個數的圖形，學生更是不喜歡運用．那么如何去整合這一教學的難點呢？筆者引導學生思考初中數學全等三角形判斷的條件，從這一定性的分析從而進入定量的分析：初中數學判斷三角形全等有三個標準，即SSS，SAS，AAS，而SSA是不能作為判斷全等三角形的依據的．即：

問題2 在△ABC中，由下列各組條件求解三角形，其中有兩個解的是____．

①b=20,A=45°,C=80°;

②a=30,c=28,B=60°;

③a=14,b=16,A=45°;

④a=12,c=15,A=120°;

⑤a=4,b=5,c=6;

解析第①項，AAS，必定一解；

第②項，SAS，必定一解；

第③項，SSA，sinB<1且a

第④項，SSA，且C>A=120°，無解；

第⑤項，SSS，必定一解；

第⑥項，SSA，sinB=1，一解．

說明與初中數學全等三角形判別知識的整合，學生迅速理解了哪種情況下需要作出三角形不是唯一解的判別，這與正弦定理相互結合，將知識的理解和運用提升到了一個更為重要的層面，是符合復習教學的特點的，將知識整合經過螺旋式上升的教學，大大加深了學生對知識的理解和運用的能力．

三、注重換元思想的介入

三角章節可以看成是工具性作用突出的章節，不少函數問題在解決過程中可以依賴三角進行求解，這大大加快了解決過程．將三角問題轉換為函數問題，這需要換元數學思想的介入，因此將知識與思想的整合是復習教學的核心．

總之，知識學習的整合告訴我們，教師首先需要自身加強對知識的理解，了解這些知識的“前世今生”，唯有足夠的理解才能告訴學生這些知識如何整合到其他知識中去，才能讓學習的知識不再是孤立的，本文以三角中部分知識點為例進行說明，不當之處懇請讀者指正．

[1]姜興榮.探求解題思路的幾種有效策略[J].中小學數學,2013(7).

[2]范廣法.三角函數問題解決的五大要素[J].中學數學,2015(4).

[3]劉見樂.用函數思想指導高中數學解題[J].中國數學教育,2011(5).