淺談高中數學平均值不等式的運用

李睿賁

說到高中數學，平均值不等式是不等式的重要內容之一，是高中數學不等式一章中的最基礎、應用最廣泛的靈活因子。作為一名高中生來說，在數學課堂學習中，豐富平均值不等式這方面的知識對提高數學解題能力和數學修養等方面都是大有益處的。

在處理有關平均值不等式的證明問題時，并非每一個問題都可以看出它是否可以使用均值不等式，這就存在一個如何創造使用均值不等式的環境問題.此時會用到平均值不等式的一些運用技巧。這些技巧體現了平均值不等式在數學問題中的靈活性、廣泛性與重要性。

一、拆項法

我們在解題時，要注意到使用n次平均值不等式的前提必須是有n個和項或積項（注：在高中階段只要求n=2或n=3兩種情況），有時題設不具備n個項，這時我們可以考慮把一項或幾項進行分拆，產生n個項，以創造均值不等式的使用環境。

二、添項法

對不具備使用平均值不等式條件的關系式，添加一些關系式，創造均值不等式使用環境，也是一種常用手段。比如，如果所求式的形式為a+b且ab不為定值，我們可以考慮使用添項法，給所求式添上僅符號相反的同類項，把它變成a+c-c+b的形式.注意，添項后應符合“積為定值”的情形。通過添項我們把原式分為兩部分，這兩部分各項之積分別為定值，這是求解的關鍵。

三、減項法

多元輪換對稱不等式，?？衫脺p元或減項的方法化為二元不等式，創造使用均值不等式的環境，然后輪換相加，以達到證明目的.

四、代換法

一般來說，對于以下三種情況，可用代換法求解：第一種情況，如果條件中存在或通過化簡能得到一個值為1的代數式，可把這個結果為1的代數式代入目標式中，變形后再利用均值不等式求解。第二種情況，對于多元條件的求最值問題，一般可考慮通過換元化多元為一元，將所求目標化為一元函數，再利用均值不等式求解。第三種情況，如果目標式含有分式且分母形式復雜，可以考慮用一元未知數替換分母，將分母的形式簡化后再求解。我們通過一個例題來看一下。

例題：已知a，b都是負實數，則+的最小值是（ ）

解析：在例題中，分母a+2b，a+b均為多項式，且·不為定值.若能將分母轉化為單項式，則有利于問題的化簡和求值.

設m=a+2b，n=a+b.因為a，b都是負實數，所以m<0，n<0，所以>0. 由m=a+2b，n=a+b可得a=2n-m，b=m-n，所以+=+=+-2≥2-2=2-2.當且僅當=時等號成立.

評注：例題中，采用了換元法，它的巧妙之處在于用m替換了分母a+2b，用n替換了分母a+b，把分母從多項式轉化為單項式，使化簡、計算更簡單.

五、改變結構法

有些不等式僅從式子結構上看并不具備使用均值不等式的環境，但如果對結構式做適當的變化，解決的方式就一目了然了。比如，如果條件式和目標式的系數存在一定的聯系，可以根據題意對條件式或目標式進行變形，如取倒數、平方、因式分解等，構造出和或積是定值的情形，同時使得目標式與條件式相互對應。

例題：已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是

（A）3（B）4（C）5（D）6

解析：我們發現，條件式x+2y+2xy=8的系數1，2，2和目標式x+2y的系數1，2具有一定的相似度.如果對條件式進行因式分解，將它變為“積”式（x+1）（2y+1）=9，就可利用均值不等式求出“和”式（x+1）+（2y+1）的最小值.

由x+2y+2xy=8可得（x+1）（2y+1）=9，所以（x+1）+（2y+1）≥2=6，即x+2y≥4.當且僅當x+1=2y+1，

x+2y+2xy=8時等號成立. 結合x>0，y>0，解得x=2，

y=1.所以x+2y的最小值是4，選B.

評注：由于目標式x+2y的形式為“和”式，所以我們嘗試從條件中找出與目標式系數相等的、具有定值的“積”式.對條件式重新進行組合，將它轉化為對應的“積”式（x+1）·（2y+1）=9，就能根據“積定和最小”求解.這正是此類問題的思考方向。有時候，我們可以把目標式看作一個整體，構造一個關于目標式的不等式，通過解不等式求出答案。

如何添項、拆項、換元、構造，是利用均值不等式求最值問題的難點.但實際上，所有的配湊變形技巧都是為了實現“一正、二定、三相等”的目標，只要找準方向，使目標“和”與條件“積”對應，使目標“積”與條件“和”對應，就能順利解題。

平均值不等式始終貫穿于高中數學學習中，它是不等式的基礎，同時也是數學學習的重點、難點。它的應用很廣泛，尤其是在求函數最值的時候。事實上，利用均值不等式求最值，“一正、二定、三相等”的條件很重要，特別是“等號條件的成立”。但是，在運用均值不等式的時候，往往就容易產生這樣或那樣的錯誤。因此，我們在使用平均值不等式解題時，需要注意以下事項。

（1）不同的均值不等式對實數的取值范圍有不同的要求，如果實數在二次根號下，要求實數大于等于零。（2）均值不等式是帶有等號的不等式，在解答此類問題時，首先，要考慮等號成立的條件。（3）為了便于掌握均值不等式，可以運用多種形式，例如，符號表達、圖形表達、生活用語。把生活語言表述成符號，容易看出其與均值不等式的密切關系。（4）解答圓的直徑與弦長大小的比較也可用均值不等式，體現了均值不等式的幾何意義。這是一個典型的幾何問題，在實際應用中有很多用處。（5）在周長相等的全部矩形中，面積是最大的是正方形。在面積相等的全部矩形中，周長最小的是正方形。這個結論通過反復驗證、分析，具有普遍意義。

在重新整理了均值不等式的過程中，我開拓了解題思路，提高了對均值不等式的認識。通過對本文的闡述，我相信同學們對解均值不等式的應用也有了進一步的了解和自己的體會。利用均值不等式的常用技巧，可以提高我們的解題思路，大大增加解題效率，對提高數學解題能力和數學修養等方面將大有益處。