理論光學教學中標量和矢量成像理論的比較

耿滔+賈宏志

摘要：為了探討光學理論課程中標量理論的適用范圍，以及超出標量理論范圍后該如何處理等問題，本文使用菲涅爾衍射和透鏡相位變化的標量成像理論與基于德拜近似的平面波角譜展開法的矢量成像理論做了比較。結果發現菲涅爾衍射的精度要求在實際使用中過于苛刻，當數值孔徑小于0.4時，標量理論能獲得精度很高的結果。

關鍵詞：標量衍射理論；矢量衍射理論；成像理論

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）02-0190-02

成像系統的探討無疑是光學教學中的重點之一，這一問題貫穿于幾何光學、物理光學、矩陣光學以及傅里葉光學等課程的教授中。目前，教材中的波動光學成像理論通常都是使用基于傍軸近似的菲涅爾衍射理論加理想薄透鏡的相位變換公式來分析成像系統，但對于這一方法的適用范圍卻鮮有探討，同時對后續適用于緊聚焦系統的矢量衍射內容也不涉及。其實為了激發學生的學習熱情，并拓寬他們的知識面，任課教師可以在課時允許的條件下，在課堂教學中對這些問題給出適當的解釋和說明。鑒于此，本文將對上述問題做一些有益的探討。

一、標量和矢量衍射理論

二、結果討論

計算時我們以氦氖激光為入射光源，波長λ=632.8nm，透鏡的通光孔徑半徑為1mm。圖1（a）給出了NA=0.01使，兩種算法給出的焦平面上x軸的總光強分布。可以預料，在小數值孔徑下，系統滿足傍軸近似條件，因此標量理論和矢量理論的結果吻合得很好。在這里需要指出的是，即使在小數值孔徑下電場的縱向分量也不為零，其縱向分量光強分布如圖1（b）所示，但其大小只有橫向光強的約十萬分之一，可忽略不計。另外從圖1（a）中我們還可以看到主光強峰邊上的旁瓣，這說明此時聚焦平面光束并不是如幾何光學一樣聚焦在一點上，而實際上是孔徑函數的夫瑯禾費衍射圖樣。

圖2（a）和（b）分別給出了NA=0.4和NA=0.5時，兩種算法給出的焦平面上x軸的總光強分布。從圖中可以看到，隨著透鏡數值孔徑的增大，標量理論和矢量理論的計算結果吻合程度越來越差，標量理論計算的焦斑尺寸逐漸小于矢量理論的計算結果，當 NA=0.4時可以觀察到兩者明顯的差異。這說明隨著數值孔徑的增加，標量理論逐漸對光場的衍射效應估計不足，導致焦斑偏小。另一方面，隨著數值孔徑的增加，焦斑光場的矢量性也逐漸凸顯，縱向分量所占的比重逐漸增加，當數值孔徑增大到0.9時，縱向分量占到總光強的約10%，此時縱向分量不能再被忽略不計。

從本文的比較結果來看，當NA≤0.4時，我們認為標量理論與矢量理論吻合得很好，在這些情況下使用標量理論就足夠了，不需要使用復雜的矢量理論。那么對于本文計算的情況，即波長λ=632.8nm，透鏡的通光孔徑半徑為1mm時，此時衍射距離z滿足z≤4.6cm。另一方面，我們知道菲涅爾近似的精度是由在二項式展開中丟棄高于一次項的各項所引入的誤差決定的，那么對于本文計算的情況，要求衍射距離z必須z？垌4.3cm。與上述只需要z≤4.6cm的結果比較，我們可以發現菲涅爾近似的條件過于嚴格，事實上在短得多的距離上菲涅爾衍射就可以獲得精度很高的結果。

三、小結

本文通過比較標量成像理論和矢量成像理論的計算結果，發現當透鏡的數值孔徑滿足NA≤0.4時，標量理論可以適用，否則就要使用矢量理論，且菲涅爾近似的精度要求過于苛刻，衍射距離在短得多的距離上菲涅爾衍射也能獲得很好的結果。這些結果可以用于光學理論課程的教學當中，不僅可為學生解惑，還可進一步拓展學生的知識面，為后續課程打下基礎。

參考文獻：

[1]陳家璧，蘇顯渝，朱偉利，孫雨南，陶世荃，吳建宏.光學信息技術原理及應用[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]波恩，沃耳夫.光學原理（上冊）[M].北京：電子工業出版社，2007.

Comparison between Scalar Theory and Vector Theory for Imaging System in Optics Course

GENG Tao，JIA Hong-zhi

（School of Optical-Electrical and Computer Engineering，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

Abstract：There are two purposes for this paper. The first is to let the students know the application scope of scalar diffraction theory for imaging system. The second is to introduce the students to the vector diffraction theory. In this paper，both scalar diffraction theory （the Fresnel diffraction） and vector theory （based on Debye approximation） are used to discussed the same imaging system. The results show that when the numerical aperture is less than 0.4，the scalar diffraction theory can be used well.

Key words：scalar diffraction theory；vector diffraction theory；imaging theory