自動控制原理之相對穩定性概念的教學

陳鳳祥

摘要：傳統教材針對一類系統給出了相位裕度和增益裕度定義，但無法直接應用到一般的線性系統之中。同時這些教材利用Nyquist和Bode圖對一般系統的絕對穩定性判定又具有普適性。為此本文基于相對穩定性的基本理念，通過對一般線性系統相對穩定性的分析，引入了系統的上相位裕度、下相位裕度和上增益裕度、下增益裕度的定義。

關鍵詞：自動控制；相對穩定性；相位裕度；幅值裕度；

中圖分類號：TP1 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）03-0207-03

控制系統的基本要求一般可歸結為：穩定性、快速性、準確性三方面。穩定是控制系統的重要性能，也是系統能夠工作的首要條件。控制系統在實際運行當中，或多或少地受到外界和內部一些因素的擾動，若系統不穩定，就會在這些擾動作用下，偏離原來的平衡狀態，并隨時間的推移而發散。因此，自動控制原理占了很大篇幅都在討論系統穩定性的判定。控制系統的穩定與否是絕對穩定性的概念。而對一個穩定的系統而言，還有一個穩定的程度，即相對穩定性。在設計一個控制系統時，不僅要求它是絕對穩定的，而且還必須保證它具有一定的穩定程度，只有這樣，系統才能抵抗因模型精度、系統參數變化等原因引起的系統性能變差甚至不穩定。這樣就引出了相位裕度和增益裕度的定義。目前教材中[1，2]關于相位、增益裕度的講解大多都是針對一類線性系統，其Nyquist曲線只與實軸與單位圓各只有一個交點，當多于一個交點時則會產生歧義而無法定義。但在利用Nyquist和Bode穩定性判定的時候又允許多個交點的存在。然而一些求知欲較強的優等生往往會對一些復雜Nyquist/Bode曲線的相位、增益裕度求取和分析感興趣，但又很少有教材對該問題進行深入探討。為了培養優秀學生對這門課程的興趣，本文通過實例分析使得相位、增益裕度的定義能夠適合更一般的線性系統。

一、相對穩定性定義

閉環系統的穩定與否可以通過Nyquist穩定性定理進行判定，也就是通過穿越次數和開環不穩定極點之間的關系來獲得閉環不穩定極點的個數。其公式為Z=P+2N，其中Z為閉環不穩定極點個數，P為開環不穩定極點個數，N為正、負穿越的代數和。該判定定理包括后續推導出利用Bode圖穩定性判定定理，并沒有對系統的Nyquist/Bode曲線的形狀進行限制。

二、相對穩定性概念的深入

從Nyquist穩定性判定理中并不能直接推出，γ和h大于0系統必定穩定。相位、增益裕度的定義更多是從模型的攝動來考慮的，即分別從增益攝動和相位的攝動。通過相位、增益攝動后使得一個系統從穩定/不穩定變成臨界穩定，而這個攝動的最大值分別稱為相位裕度和增益裕度。根據該理念，下面對一般線性系統的增益裕度和相位裕度進行重新分析。

1.增益裕度。考慮G（jw）和kG（jw）的Nyquist曲線如圖1所示，其中0

通過上面的分析，教材中的相位裕度和增益裕度的定義只適合一類系統的相對穩定性分析。對于更為一般系統的相對穩定性分析更應該注重對相對穩定性的理解而不是簡單記住相關公式。

通過對一般線性系統中相對穩定性中的相位裕度和增益裕度的定義的深入探討，完善了相位裕度和增益裕度的定義，使其能夠描述更為一般的線性系統。

參考文獻：

[1]孔祥東，王益群.控制工程基礎[M].第3版.北京：機械工業出版社，2008.

[2]胡壽松.自動控制原理[M].第5版.北京：科學出版社，2007.

Teaching for the Conception of Relative Stability in Automation Control

CHEN Feng-xiang1，2

（1.School of Automotive Studies，Tongji University，Shanghai 201804，China；

2.Clean Energy Automotive Engineering Center，Tongji University，Shanghai 201804，China）

Abstract：Definition of phase margin and gain margin for a class of linear system are given in traditional textbooks，but they cannot be directly applied to a general linear system. And，based on the Nyquist and Bode diagram，absolute stability judgement is analyzed for linear system in the textbooks. Based on the basic concept of relative stability，the paper introduces the definition of upper phase margin，low phase margin，upper gain margin and lower gain margin

Key words：automation control；relative stability；phase margin；gain margin