淺談流體力學流量特性的矛盾與統一

袁曉明+羅成+李明

摘要：流體力學是液壓與氣壓傳動的理論基礎，液壓與氣壓傳動是流體力學的延伸和發展。在流體力學的學習和研究過程中，一直存在著表面上似乎相互矛盾的問題，即從連續性方程來看，當管道半徑增大時，其過流斷面面積同樣增大，流體平均流速減小；然而根據節流口的節流特性，可通過改變節流口過流斷面面積控制流經過流斷面的流量。從表面上理解，連續性方程與節流方程的結論存在矛盾。在對二者物理意義進行理論分析的基礎上，以數學公式的方式進行了推導計算，揭示了上述表面矛盾的本質，得出了兩者并不矛盾，且可以相互統一的結論。

關鍵詞：流體力學；連續性方程；節流口；節流特性

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）03-0210-02

一、前言

在流體力學的學習和研究過程中，一直存在著表面上相互矛盾的問題，即從連續性方程來看，當管道半徑r增大時，其過流斷面面積A同樣增大，流體平均流速v減小；當管道半徑r減小時，其過流斷面面積A同樣減小，流體平均流速v增大。流量連續性方程的物理意義為流體流經不同過流斷面的流量相同。然而根據節流口節流特性，可通過改變過流斷面面積控制流經過流斷面的流量。在以往的學習研究中幾乎沒有提出過此矛盾問題，因為連續性方程是普遍適用的物理規律，而節流口節流特性又是經過實驗驗證的正確結論。如何理這個矛盾，已經成為流體力學課程教學與研究中需要解決的一個關鍵問題。

二、從物理意義及適用條件進行分析

1.流體力學中連續性方程的物理意義。質量守恒方程是自然界的客觀規律（不考慮原子核反應的質量互換等問題），流體力學也必須遵守這個規律。在流場中任取一個控制體積，可通過連續性數學方程，即流進與流出控制體積的流體質量與控制體積內流體質量的變化關系的方程，描述流體流動的質量守恒關系。若在某一時間間隔內，流進控制體積的流體質量大于流出的質量，則在控制體積內的流體質量必然增加，但由于體積是確定不變的，所以流體的密度必然要增大，反之則減小。如果流體為不可壓縮流體，即流體的密度保持不變，則流進控制體積的流體質量必然等于流出的質量，這就是連續性方程的物理本質。

2.節流口節流特性的物理意義。流體流經細長孔、薄壁孔或狹縫等節流口時會遇到阻力，若改變它們的通流截面積或通流長度，則可調節通過節流口的流量，即節流口節流特性是使流體流經小孔或縫隙來調節其過流流量。不同節流口流量特性的通用表達式為Q=Av=KAΔpm。式中，A為孔口或縫隙的過流面積；Δp為孔口或縫隙的前后壓差；K為節流系數，由節流口幾何形狀及流體性質等因素決定；m為節流口形狀和結構決定的指數，當節流口近似為薄壁孔口時取0.5，當節流口近似為細長小孔時取1。流體經過節流口過流斷面時會產生壓差，當節流口面積不變時，壓差保持不變，則流量不會改變（不考慮其他外負載影響）。當節流口面積改變后，其前后壓差也改變，通過此節流口過流斷面流量亦改變。這就是節流特性的物理本質。假設控制體積如圖1所示，若流體為不可壓縮流體，流體從過流斷面A流入，從過流斷面B流出，則通過過流斷面積A和B的流量必然相同，即，當過流斷面積變化時，流經各過流斷面的流量保持不變。

從上述兩個物理本質可以看出，連續性方程側重于研究一個空間內同一時刻流經兩個或多個不同過流斷面的流量情況，而節流口節流特性方程側重于研究不同時刻流體流經節流口過流斷面的流量變化情況。兩者研究的側重點不同，因而會得出看似相矛盾的結論，即使如此兩者也是可以進行統一的。

三、從數學模型進行推導，將連續性方程與節流特性表達出的物理規律進行統一

假設以圓形過流斷面為研究對象。假設流體的體積流量Q是不變的。對于不可壓縮流體的一維管道流動，從連續性方程可知，Q=Av=πr2v=const，當管道半徑r增大時，則流速v與半徑r的平方成反比例關系。從節流口的流量公式可知，Q=KAΔpm，流體流經節流口的阻力分為沿程阻力和局部阻力，式中m的取值與節流口形式有關，當節流口為細長孔時m為，當節流口為薄壁孔時m為0.5，這是由于口為細長孔時壓差主要用于克服沿程阻力損失，而當節流口為薄壁孔時壓差主要用于克服局部阻力損失。

1.節流孔為細長孔。流體流經細長孔時，一般為層流狀態，所以細長孔的流量公式為

Q=πr4Δp/（8μL），若管長L取得足夠小，則Δp/L可改寫為dp/dL，其中dp/dL為沿管道軸線上的壓力梯度。則細長孔流量公式可寫為Q=πr4dp/（8μdL），當Q一定時，壓力梯度dp/dL與半徑r的4次方成反比例關系。且Q=Av=πr2v，則v=r2dp/（2μdL），即流速v與半徑r的平方成反比例關系。因此，此結論與上述連續性方程的結論完全相同。

2.節流口為薄壁小孔。通過薄壁小孔的流量可以用伯努力方程求得。在管道處和小孔處各取過流斷面1-1和過流斷面2-2，如圖2所示：

由伯努利方程可知，

p1/γ+v12/（2g）+h1=p2/γ+v22/（2g）+h2，式中，p1、v1、h1分別為過流斷面1-1位置單位重力流體的壓強勢能、動能和重力勢能；p2、v2、h2分別為過流斷面2-2位置單位重力流體的壓強勢能、動能和重力勢能；γ為重度；g為重力加速度。因為管道面積比小孔面積大得多，所以v1遠大于v2，伯努利方程中的動能項v12/（2g）可忽略不計，假設h1=h2，則p1/γ=p2/γ+v22/（2g），流經薄壁小孔過流斷面的流速v2=sqrt（2gΔp/γ），Δp為過流斷面1-1和2-2之間的壓差。流經小孔的流量為Q=Asqrt（2gΔp/γ）。其中小孔前后壓差為局部壓力損失，則Δp=ηγv2/（2g）。因此，流經薄壁小孔的流量即為Q=πr2vsqrt（η），式中，r為薄壁小孔過流斷面的半徑；v為薄壁小孔過流斷面的平均流速；η為局部阻力系數。從上式可知，πsqrt（η）為常量，薄壁小孔過流斷面的平均流速v與薄壁小孔過流斷的面半徑r的平方成反比。由此可知，此結論與上述連續性方程的結論完全相同。

四、結論

雖然上述分析以圓形孔道過流截面為研究對象，但其分析方法和結論對其他形式的過流斷面，如橢圓形、矩形、方形、扁方形、等邊三角形、直角三角形、圓形環狀等，同樣適用，讀者可根據上述分析方法與思想對新的過流斷面進行驗證。通過上述討論可知，流量連續性方程與節流口節流特性方程并不矛盾，二者是辯證統一的。書本中很多看似矛盾的問題，只要從理論本質出發進行分析，均能夠對其進行正確的認識和理解。

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Contradictionand Unity of the Continuity Equation and Throttling Characteristics

YUAN Xiao-ming1，2，LUO Cheng1，2，LI Ming3

（1.Hebei Key Laboratory of Heavy Mechinery Fluid Power Transimission and Control，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei 066004，China；2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science （Yanshan University），Ministry of Education of China，Qinhuangdao，Hebei 066004，China；

3.Faculty of Science，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei 066004，China）

Abstract：Fluid mechanics is the theoretical basis for hydraulic transmission，in the learning process of the hydraulic fluid mechanics，there has been a problem to the surface to be contradictory，namely from the continuity equation，when the flow pipe radius increases，its closure area also increases，the fluid average flow velocity decreases.According to the properties of throttling mouth，however，by controlling the throttle mouth shut off to control the size of the area through the intercepting traffic below.Understand from the surface，and the equation of continuity of conclusion.In this paper，from both the physical significance of the nature has carried on the theoretical analysis and mathematical model was derived from both，it is concluded that the two are not contradictory，and can be unified.

Key words：fluid mechanics；continuity equation；the throttle opening；throttling characteristics